第1問
次の問に答えよ。
(1) 複素数$\small\sf{\begin{align*} \sf 1+i\end{align*}}$ および $\small\sf{\begin{align*} \sf 1+\sqrt3\ i\end{align*}}$ を極形式であらわせ。ただし、i は
虚数単位である。
(2) 正の整数m、nが $\small\sf{\begin{align*} \sf \left|\left(1+i\right)^n\right|=\left|\left(1+\sqrt3\ i\right)^m\right|\end{align*}}$ をみたすとき、m、nの
関係式を求めよ。
(3) 正の整数m、nで $\small\sf{\begin{align*} \sf \left(1+i\right)^n=\left(1+\sqrt3\ i\right)^m\end{align*}}$ かつm+n≦100をみたす
組(m，n)をすべて求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |1+i|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|1+\sqrt3\right|=\sqrt{1^2+\left(\sqrt3\right)^2}=2\end{align*}}$ ･･････(#)
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1+i=\sqrt2\left(\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt2}\ i\right)=\underline{\ \sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)\ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1+\sqrt3\ i=2\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{2}\ i\right)=\underline{\ 2\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)\ }\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\left(1+i\right)^n\right|=\left|\left(1+\sqrt3\ i\right)^m\right|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left|1+i\right|^n=\left|1+\sqrt3\ i\right|^m\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(\sqrt2\right)^n=2^m\end{align*}}$ ←(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(\sqrt2\right)^n=\left(\sqrt2\right)^{2m}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ n=2m\ }\end{align*}}$
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(1+i\right)^n=\left(1+\sqrt3\ i\right)^m\end{align*}}$ が成り立つためには、
両辺の絶対値が等しく、両辺の偏角が等しければよい。
絶対値に関しては、(2)より、n=2mであればよい。
偏角に関して、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \arg\left(1+i\right)^n=\arg\left(1+\sqrt3\ i\right)^m\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ n\cdot\arg\left(1+i\right)=m\cdot\arg\left(1+\sqrt3\ i\right)\end{align*}}$ ←ド・モアブルの定理
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{n\pi}{4}=\frac{m\pi}{3}+2k\pi\end{align*}}$ (kは整数)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{m\pi}{2}=\frac{m\pi}{3}+2k\pi\end{align*}}$ ←(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ m=12k\ \ ,\ \ n=24k\end{align*}}$ ．
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\lt m+n=12k+24k\leqq 100\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 0\lt k\leqq \frac{25}{9}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ k=1\ ,\ 2\end{align*}}$
となるので、題意を満たす整数m、nの組は、
$\scriptsize\sf{\sf \underline{(m,\ n)=(12,\ 24)\ ,\ (24,\ 48)}}$
である。
誘導のまんまです。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2014/12/13(土) 23:54:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .神戸大 文系 2001
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第3問
aを正の定数として、関数
$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\left( x-1\right)\left\{4x^2-\left(6a-4 \right)x+12a-11 \right\}\end{align*}}$
を考える。次の問いに答えよ。
(1) 導関数f’(x)を求めよ。
(2) f’(x)≧0が区間0≦x≦2でなりたつとき、aの取りうる
値の範囲を求めよ。
(3) (2)のとき、区間0≦x≦2における|f(x)|の最大値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\sf f(x)=4x^3-6ax^2+(18a-15)x-12a+11}$
$\scriptsize\sf{\sf f'(x)=12x^2-12ax+18a-15}$
(2)
(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=12\left(x-\frac{a}{2}\right)^2-3a^2+18a-15\end{align*}}$
となり、f’(x)のグラフは下に凸な放物線になる。
(ⅰ) $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\lt \frac{a}{2}\leqq 2\end{align*}}$ すなわち、$\scriptsize\sf{\sf 0\lt a\leqq 4}$のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '\left( \frac{a}{2}\right)\geqq 0\end{align*}}$
であればよいので、
$\scriptsize\sf{\sf -3a^2+18a-15\geq 0}$
⇔ $\scriptsize\sf{\sf (a-1)(a-5)\leqq 0}$
⇔ $\scriptsize\sf{\sf 1\leqq a\leqq 5}$
よって、$\scriptsize\sf{\sf 1\leqq a\leqq 4}$
(ⅱ) $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\lt \frac{a}{2}\end{align*}}$ すなわち、$\scriptsize\sf{\sf 4\lt a}$ のとき
$\scriptsize\sf{\sf f'(2)=-6a+33\geqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ a\geqq 5.5}$
であればよいので、
$\scriptsize\sf{\sf 4\lt a\leqq 5.5}}$
(ⅰ)、(ⅱ)より、求めるaの値の範囲は、
$\scriptsize\sf{\sf \underline{1\leqq a\leqq 5.5}}$
である。
(3)
(2)のとき、区間0≦x≦2においてf(x)は単調に増加するので、
$\scriptsize\sf{\sf g(x)=|f(x)|}$
とおくと、f(x)および$\scriptsize\sf{\sf g(x)}$ の増減は次のようになる。
よって、$\scriptsize\sf{\sf g(x)}$ が最大になるのは、x=0またはx=2のいずれかの
場合である。
$\scriptsize\sf{\sf g(0)}$ と$\scriptsize\sf{\sf g(2)}$ の大小を比較するために差をとると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ (0)-g\ (2)=\left(12a-11 \right)-13=12\left(a-2 \right)\end{align*}}$
となるので、g(x)の最大値は、
$\scriptsize\sf{\sf 1\leqq a\lt 2}$ のとき、$\scriptsize\sf{\sf \underline{13}}$
$\scriptsize\sf{\sf 2\leqq a\leqq 5.5}$ のとき、$\scriptsize\sf{\sf \underline{12a－11}}$
(3)は、f(1)=0に気づくと楽です。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2014/12/14(日) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .神戸大 文系 2001
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
