第１問
N、Pは正の整数とする。複素数平面で、原点を中心とする
単位円CをN等分する点をz0、z1、・・・、zN-1とする。ただし、
z0＝1で、z0、z1、・・・、zN-1は円C上を反時計回りに番号
が付けられている。また、zN＝1とする。
このとき、次の値を求めよ。
(１) $\small\sf{\begin{align*}\sf \sum_{k=1}^N\left(z_k\right)^p\end{align*}}$
(２) $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^N \left(z_k-z_{k-1}\right)^p\end{align*}}$
(３) $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^N \left|z_k-z_{k-1}\right|^p\end{align*}}$
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
角$\scriptsize\sf{\theta}$ および複素数wを
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \theta=\frac{2\pi}{N}\ \ ,\ \ w=\cos\theta+i\sin\theta\end{align*}}$
とおくと、k＝0，1，2，・・・，Nに対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z_k=\cos k\theta+i\sin k\theta=\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^k=w^k\end{align*}}$ ……(#)
が成り立つ。
(１)
求める和をSとおくと、(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S=\sum_{k=1}^N\left(z_k\right)^p=\sum_{k=1}^N\left(w^k\right)^p=\sum_{k=1}^N\left(w^p\right)^k\end{align*}}$
(ⅰ) wp＝1となるとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf w^p=\left(\cos\frac{2\pi}{N}+i\sin\frac{2\pi}{N}\right)^{p}=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \cos\frac{2p\pi}{N}+i\sin\frac{2p\pi}{N}=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{2p\pi}{N}=2m \pi\end{align*}}$ （m：自然数）
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p=mN\end{align*}}$
より、pがNの倍数のとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S=\sum_{k=1}^N 1^k=\underline{\ N\ }\end{align*}}$
(ⅱ) pがNの倍数でないとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S=\frac{w^p\left\{1-\left(w^p\right)^N\right\}}{1-w^p}=\frac{w^p\left\{1-\left(w^N\right)^p\right\}}{1-w^p}\end{align*}}$
であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf w^N=\left(\cos\frac{2\pi}{N}+i\sin\frac{2\pi}{N}\right)^{N}=\cos 2\pi+i\sin 2\pi=1\end{align*}}$
より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S=\underline{\ 0\ }\end{align*}}$
(２)
N→∞の極限を求めるので、pはNの倍数でないと考えてよい。
(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z_k-z_{k-1}=w^k-w^{k-1}=w^{k-1}\left(w-1\right)\end{align*}}$ ……(*)
なので、求める極限をL1とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf L_1=\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^N \left\{w^{k-1}\left(w-1\right)\right\}^p\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\left(w-1\right)^p\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^N \left(w^{k-1}\right)^p\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\left(w-1\right)^p\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^N \left(w^{k}\right)^p\ \ \ \ \left(\because \ w^N=w^0=1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\left(w-1\right)^p\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^N \left(z_k\right)^p\end{align*}}$ ←(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{\ 0\ }\end{align*}}$ ←(１)の(ⅱ)より
(３)
(*)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left|z_k-z_{k-1}\right|=\left|w\right|^{k-1}\left|w-1\right|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =1^{k-1}\left|\left(\cos\theta-1\right)+i\sin\theta\right|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\sqrt{\left(\cos\theta-1\right)^2+\sin^2\theta}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\sqrt{2\left(1-\cos\theta\right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\sqrt{4\sin^2\frac{\theta}{2}}\end{align*}}$ ←倍角公式
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =2\sin\frac{\theta}{2}\ \ \ \ \left(\because\ 0\lt \frac{\theta}{2}=\frac{\pi}{N}\leqq \pi\right)\end{align*}}$
なので、求める極限をL2とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf L_2=\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^N \left(2\sin\frac{\theta}{2}\right)^p\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\lim_{N\rightarrow\infty}N \left(2\sin\frac{\theta}{2}\right)^p\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\lim_{\theta \rightarrow 0}\frac{2\pi}{\theta} \left(2\sin\frac{\theta}{2}\right)^p\ \ \ \ \left(\because\ \theta=\frac{2\pi}{N}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =2\pi\lim_{\theta \rightarrow 0}\theta^{p-1} \left(\frac{2}{\theta}\sin\frac{\theta}{2}\right)^p\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =2\pi\lim_{\theta \rightarrow 0}\theta^{p-1} \cdot \lim_{\theta \rightarrow 0}\left(\frac{\sin\frac{\theta}{2}}{\frac{\theta}{2}}\right)^p\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =2\pi\lim_{\theta \rightarrow 0}\theta^{p-1} \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{\ \left\{ \begin{array}{ll}\sf 2\pi & (\sf p=1) \\ \sf 0 & (\sf 2\leqq p) \\\end{array} \right.\ }\end{align*}}$
あいかわらず一問目からヘビーですねぇ・・・・
(１)、(３)は、場合分けが必要なことに注意です。
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- 2018/10/04(木) 05:01:00|
- 大学入試(数学) .関西の公立大学 .京都府立医大 2005
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第２問
関数g(y)は
$\small\sf{\begin{align*}\sf g\ (y)=4\sqrt{y^2-12y+43}-16\end{align*}}$
であり、関数G(y)は関数g(y)の原始関数とする：すなわち
$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{dG\ (y)}{dy}=g\ (y)\end{align*}}$
である。関数h(x)は
$\small\sf{\begin{align*}\sf h\ (x)=\frac{1}{6}x\left(x^2-3\right)+3\end{align*}}$
である。さらに、f(x)＝G(h(x))とおく。このとき、
(１) 次の不等式を示せ。
$\small\sf{\begin{align*}\sf g\ (y)\geqq -3\left(y-3\right)\end{align*}}$
(２) 範囲－3＜x＜3において、関数f(x)が極大値をとるxを求め、
また極小値をとるxを求めよ。
(３) 範囲－3≦x≦3において、関数f(x)が最大値をとるxを求め、
また最小値をとるxを求めよ。
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【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf k (y)=g (y)+3\left(y-3\right)=4\sqrt{y^2-12y+43}+3y-25\end{align*}}$
とおく。 $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y\geqq\frac{25}{3}\end{align*}}$ のときは、明らかにk(y)≧0であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y\lt\frac{25}{3}\end{align*}}$ のときは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf k (y)=\frac{\left(4\sqrt{y^2-12y+43}\right)^2-\left(3y-25\right)^2}{4\sqrt{y^2-12y+43}-\left(3y-25\right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{7y^2-42y+63}{4\sqrt{y^2-12y+43}-\left(3y-25\right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{7\left(y-3\right)^2}{4\sqrt{y^2-12y+43}+25-3y}\geqq 0\end{align*}}$
となるので、常にk(y)≧0を満たす。
よって、不等式
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g\ (y)\geqq -3\left(y-3\right)\end{align*}}$
が成り立つ（等号成立はy＝3のときのみ）。
(２)
f(x)＝G(h(x))より、f(x)をxで微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f '(x)=G '\left(h(x)\right)\cdot h '(x)=g\left(h(x)\right)\cdot h '(x)\end{align*}}$
まず、関数g(y)の符号を調べると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g (y)=4\left(\sqrt{y^2-12y+43}-4\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =4\cdot\frac{\left(\sqrt{y^2-12y+43}\right)^2-4^2}{\sqrt{y^2-12y+43}+4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{4\left(y-3\right)\left(y-9\right)}{\sqrt{y^2-12y+43}+4}\end{align*}}$
となるので、
y＜3、9＜yで、g(y)＞0
y＝3，9で、g(y)＝0 ……(#)
3＜y＜9で、g(y)＜0
次に、h(x)の導関数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf h '(x)=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\left(x-1\right)\left(x+1\right)\end{align*}}$
であり、h(x)＝3となるのは
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf h (x)=\frac{1}{6}x\left(x^2-3\right)+3=3\ \ \Leftrightarrow\ \ x=0\ ,\ \pm\sqrt3\end{align*}}$
のときである。
これらより、h’(x)およびg(h(x))の符号が決まるので、
f(x)の増減は下表のようになる。
よって、範囲－3＜x＜3において、関数f(x)は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\ x=0\ ,\ \pm\sqrt3\ }\end{align*}}$ で極大値をとり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\ x=\pm 1\ }\end{align*}}$で、極小値をとる。
(３)
(２)の増減表より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\left(-\sqrt3 \right)=f\left(0 \right)=f\left(\sqrt3 \right)=G\left(3 \right)\end{align*}}$
なので、範囲－3≦x≦3において、関数f(x)が最大になるのは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\ x=0\ ,\ \pm\sqrt3\ }\end{align*}}$
のときである。
一方、G’(Y)＝g(y)なので、G(y)は(#)より、
0≦y＜3のとき、単調増加
3＜y≦6のとき、単調減少
となる。よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf G\left(0 \right)\lt G\left(\frac{8}{3} \right)\lt G\left(3 \right)\gt G\left(\frac{10}{3} \right)\gt G\left( 6\right)\end{align*}}$
となり、G(y)が最小になるのは、y＝0またはy＝6のいずれかの場合
である。
ここで、G(0)とG(6)の大小を比較するために差をとると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf G(6)-G(0)=\bigg[G(y)\bigg]_0^6\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\int_0^6g(y)\ dy\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \gt\int_0^6\left\{-3\left(y-3\right)\right\}\ dy\end{align*}}$ ←(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =-3\left[\frac{1}{2}y^2-3y\right]_0^6\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ G(6)\gt G(0)\end{align*}}$
となるので、x＝－3のとき、f(x)は最小値G(0)をとる。
関数が入り組んでいるので、上手く整理する必要があります。
↑のように、すべての符号を1つの増減表に書き込むと見やすいと思います。
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- 2018/10/04(木) 05:02:00|
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