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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2014大阪教育大 後期数学1



第1問

  以下の問いに答えよ。

 (1) nは正の整数とする。n3が偶数であるならば、nは偶数である
    ことを証明せよ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt[3]2\end{align*}}$ は有理数でないことを証明せよ。

 (3) $\small\sf{\alpha}$ =$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt[3]2\end{align*}}$ とする。$\small\sf{\alpha}$ 2+p$\small\sf{\alpha}$ +q=0を満たす有理数p、qが存在
    しないことを証明せよ。



テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2014/11/29(土) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪教育大 後期 2014
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2014大阪教育大 後期数学2



第2問

  tは正の実数とし、2次方程式$\small\sf{\sf x^2-tx-t=0}$ の2つの実数解を
  $\small\sf{\alpha\ ,\ \beta\ \ (\alpha\lt\beta)}$ とする。初項がt2、公比が$\small\sf{\sf t-\alpha}$ の等比数列
  を{an}とし、初項が2t、公比が$\small\sf{\beta-t}$ の等比数列を{bn}とする。
  以下の問いに答えよ。

 (1) 任意の自然数nに対して、an>0かつbn>0であることを示せ。

 (2) cn=logan、dn=logbn (n=1、2、3、…)とする。このとき、
    次の極限値を求めよ。
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{c_n+d_n}{n}\ \ ,\ \ \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^n\left(c_k+d_k\right)\end{align*}}$



テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2014/11/30(日) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪教育大 後期 2014
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2014大阪教育大 後期数学3



第3問

  実数a、bに対して、2次の正方行列
        $\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix} \sf a&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf a \end{pmatrix}\ \ ,\ \ B=\begin{pmatrix} \sf 0&\sf -b \\ \sf b& \sf 0 \end{pmatrix}\end{align*}}$
   とおく。ただし、a≠0、b≠0とする。以下の問いに答えよ。

 (1) B2、B3、B4を求めよ。

 (2) 自然数nと2次の正方行列Xに対して、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \left(E+X\right)^n=\sum_{k=0}^n\ _nC_kX^k\end{align*}}$
    が成立することを数学的帰納法によって証明せよ。ただし、
    Eは2次の単位行列として、X0=Eとする。また、1≦k≦n
    に対して、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf _nC_k=\frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}\end{align*}}$
    かつ、nC0=1とする。

 (3) (A+B)5の(1,1)成分を求めよ。

 (4) $\small\sf{\begin{align*} \sf a=\cos\frac{\pi}{10}\ ,\ b=\sin\frac{\pi}{10}\end{align*}}$ とおくことにより、$\small\sf{\begin{align*} \sf \sin\frac{\pi}{10}\end{align*}}$ の値を求めよ。


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  1. 2014/12/01(月) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪教育大 後期 2014
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2014大阪教育大 後期数学4



第4問

  曲線 $\small\sf{\begin{align*} \sf y=e^{-x}\cos x\end{align*}}$ の0≦x≦$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ の部分と、x軸、y軸で囲まれた
  図形を、x軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ。




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  1. 2014/12/02(火) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪教育大 後期 2014
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