第1問
a、pを実数とし、aはa≧1を満たすものとする。
$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\left\{ \begin{array}{ll}\sf -x^2+3 & (\sf x\leqq a) \\ \sf -a^2+3 & (\sf x>a) \\\end{array} \right.\end{align*}}$
とし、Cをy=f(x)で定まるグラフとする。
またLをy=px+p+2で定まる直線とする。
(1) 直線Lはpによらず、定点を通ることを示せ。また、Lが
放物線y=－x2+3に接するようなpを求めよ。
(2) CとLが相異なる2点のみを共有するようなpの範囲を求め、
さらにその共有点のx座標を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
Lの式は、
(x+1)p+2－y=0
と変形でき、これをpについての恒等式とみなして
係数を比較すると、
x=－1、y=2．
よって、直線Lはpの値によらず、定点(－1，2)を通る。
これをAとおく。
Lとy=－x2+3の2式を連立させると、
－x2+3=px+p+2
⇔ x2+px+p－1=0 ……(#)
であり、これが重解を持てばよいので、
D=p2－4(p－1)=0
⇔ p=2
(2)
曲線Cのx≦aの部分をC1、a＜xの部分をC2とおく。
(ⅰ) 1＜aのとき
(1)で求めた定点AはC1上にあるので、
CとLはpの値によらず点Aを共有する。
また、Lが点(a，－a2+3)を通るとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf pa+p+2=-a^2+3\ \ \Leftrightarrow\ \ p=\frac{-a^2+1}{a+1}=1-a\end{align*}}$
(ア) 2＜pのとき
LとC1は2つの共有点を持ち、
そのx座標は、(#)の方程式の解で、
(x+1)(x+p－1)=0
⇔ x=－1，1－p
(イ) p=2のとき
LとC1は点Aで接するので不適。
(ウ) 0≦p＜2のとき
LとC1は2つの共有点を持ち、
そのx座標は、x=－1，1－p
(エ) 1－a＜p＜0のとき
Lは、C1と2つ、C2と1つ、
計3つの共有点をもつので不適。
(オ) p=1－aのとき
LとC1は2つの共有点を持ち、
そのx座標は、x=－1，a
(カ) p＜1－aのとき
LとCは、点Aただ1点しか共有しないので不適。
以上より、
0≦p＜2、2＜pのとき、 x=－1，1－p
p=1－aのとき、x=－1，a
(ⅱ) a=1のとき
(ア) 2＜pのとき
LとC1は2つの共有点を持ち、
そのx座標は、x=－1，1－p
(イ) p=2のとき
LとC1は点Aで接するので不適。
(ウ) 0＜p＜2のとき
LとC1は2つの共有点を持ち、
そのx座標は、x=－1，1－p
(エ) p=0のとき
LとC2が重なるので、
無数の共有点をもち不適。
(オ) p＜0のとき
LとCは、点Aただ1点を共有するので不適。
よって、
0＜p＜2、2＜pのとき、 x=－1，1－p
a=1の場合は、別で考える必要があります。
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第2問
A(－3，－1)、B(－1，－2)、C(3，1)、D(0，5)を考える。
またEを線分ACとBDの交点とする。このとき次の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}\ ,\ \overrightarrow{\sf AC}\end{align*}}$ の大きさおよびcos∠BACの値を求めよ。
(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BD}=\alpha\overrightarrow{\sf BA}+\beta\overrightarrow{\sf BC}\end{align*}}$ を満たす定数$\small\sf{\alpha}$ 、$\small\sf{\beta}$ を求めよ。
また、比AE：ECを求めよ。
(3) △ABEと△CDEの面積の和をS1、△BCEと△DAEの面積の
和をS2とするとき、比S1：S2を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}=\left(2\ ,\ -1\right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf AC}=\left(6\ ,\ 2\right)\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf AB}|=\sqrt{2^2+(-1)^2}=\underline{\ \sqrt5\ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf AC}|=\sqrt{6^2+2^2}=\underline{\ 2\sqrt{10}\ }\end{align*}}$ ．
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}\cdot\overrightarrow{\sf AC}=12-2=10\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\angle BAC=\frac{\overrightarrow{\sf AB}\cdot\overrightarrow{\sf AC}}{|\overrightarrow{\sf AB}||\overrightarrow{\sf AC}|}=\frac{10}{\sqrt5\times 2\sqrt{10}}=\underline{\ \frac{1}{\sqrt2}\ }\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BD}=\alpha\overrightarrow{\sf BA}+\beta\overrightarrow{\sf BC}\end{align*}}$ に成分を代入すると、
(1，7)=$\scriptsize\sf{\alpha}$ (－2，1)+$\scriptsize\sf{\beta}$ (4，3)
となり、両辺の成分を比較すると、
－2$\scriptsize\sf{\alpha}$ +4$\scriptsize\sf{\beta}$ =1 かつ $\scriptsize\sf{\alpha}$ +3$\scriptsize\sf{\beta}$ =7 ．
これらを連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \alpha=\frac{5}{2}\ \ ,\ \ \beta=\frac{3}{2}\ }\end{align*}}$
また、B、E、Dは同一直線上にあるので、実数kを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BE}=k\ \overrightarrow{\sf BD}=\frac{5k}{2}\ \overrightarrow{\sf BA}+\frac{3k}{2}\ \overrightarrow{\sf BC}\end{align*}}$
と表すことができる。EはAC上にあるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{5k}{2}+\frac{3k}{2}=1\ \ \Leftrightarrow\ \ k=\frac{1}{4}\end{align*}}$ ……(ⅰ)
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BE}=\frac{5}{8}\ \overrightarrow{\sf BA}+\frac{3}{8}\ \overrightarrow{\sf BC}\end{align*}}$
となるので、AE：EC=3：5 である。
(3)
(ⅰ)より、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BE}=\frac{1}{4}\ \overrightarrow{\sf BD}\end{align*}}$ なので、DE：BE=3：1．
よって、実数x、y（＞0）を用いて
AE=3x、CE=5x、BE=y、DE=3y
と表すことができ、
∠AEB=$\scriptsize\sf{\theta}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_1=\triangle ABE+\triangle CDE\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\cdot 3x\cdot y\cdot \sin\theta+\frac{1}{2}\cdot 5x\cdot 3y\cdot \sin\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =9xy\sin\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_2=\triangle BCE+\triangle DAE\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\cdot 3x\cdot 3y\cdot \sin\left(\pi -\theta\right)+\frac{1}{2}\cdot 5x\cdot y\cdot \sin\left(\pi -\theta\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =7xy\sin\theta\end{align*}}$ ．
よって、
S1：S2=9：7
上からそのまま計算です。
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第3問
$\small\sf{\sf y=\sin 2x+\cos x}$ のグラフの$\small\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq x\leqq \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ に対応する部分をC
とする。また点 $\small\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{\pi}{2}\ ,\ 0\right)\end{align*}}$ におけるグラフの接線をLとする。
このとき次の問いに答えよ。
(1) 接線Lの方程式を求めよ。
(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq x\leqq \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ の範囲でCがLの上側になる部分はないことを
示せ。
(3) 曲線C、直線Lおよびy軸で囲まれる図形の面積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\sin 2x+\cos x\end{align*}}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=2\cos 2x-\sin x\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '\left(\frac{\pi}{2}\right)=2\cos \pi-\sin \frac{\pi}{2}=-3\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ y=-3\left(x-\frac{\pi}{2}\right)\ }\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ ''(x)=-4\sin 2x-\cos x\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\cos x\left(8\sin x+1\right)<0\ \ \ \ \left(\because \ 0\leqq x\leqq \frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$
なので、Cは上に凸な曲線である。
よって、Cは接線Lより上側に来ることはない。
(3)
求める面積をSとおくと、(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_0^{\pi /2}\bigg\{-3\left(x-\frac{\pi}{2}\right)-\left(\sin 2x+\cos x\right)\bigg\}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[-\frac{3}{2}x^2+\frac{3}{2}\pi x+\frac{1}{2}\cos 2x-\sin x\right]_0^{\pi /2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{3}{8}\pi^2-2\ }\end{align*}}$
もちろん、(2)は、関数
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}g\ (x)=-3\left(x-\frac{\pi}{2}\right)-\left(\sin 2x+\cos x\right)\ \ \ \ \left(0\leqq x\leqq \frac{\pi}{2}\right)}\end{align*}}$
の増減を調べてもオッケーです。
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- 2014/11/23(日) 23:57:00|
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第4問
xの微分可能な関数を成分とする行列 $\small\sf{\begin{align*} \sf M=\begin{pmatrix} \sf m_{11}&\sf m_{12} \\ \sf m_{21} & \sf m_{22} \end{pmatrix}\end{align*}}$ に対して、
Mの各成分をxで微分した行列 $\small\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf m_{11}^{\ \ '}&\sf m_{12}^{\ \ '} \\ \sf m_{21}^{\ \ '} & \sf m_{22}^{\ \ '} \end{pmatrix}\end{align*}}$ をM’と表す。
a11、a12、a21、a22 および b11、b12、b21、b22をxの微分
可能な関数とし、
$\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix} \sf a_{11}&\sf a_{12} \\ \sf a_{21} & \sf a_{22} \end{pmatrix}\ \ ,\ \ B=\begin{pmatrix} \sf b_{11}&\sf b_{12} \\ \sf b_{21} & \sf b_{22} \end{pmatrix}\end{align*}}$
とおく。
(1) 等式(AB)’=A’B+AB’が成り立つが、これを(1，2)成分に
ついて確かめよ。
(2) Aはすべてのxについて逆関数A-1を持つとする。このとき、
(1)の等式を用いて、A’A-1+A(A-1)’を求めよ。
(3) Aはすべてのxについて逆関数を持つとする。(A-1)’をA-1、
A’を用いて表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AB=\begin{pmatrix} \sf a_{11}&\sf a_{12} \\ \sf a_{21} & \sf a_{22} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf b_{11}&\sf b_{12} \\ \sf b_{21} & \sf b_{22} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}&\sf a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22} \\ \sf a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21} & \sf a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22} \end{pmatrix}\end{align*}}$
より、(1，2)成分を微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}\right)'=a_{11}^{\ \ '}b_{12}+a_{11}b_{12}^{\ \ '}+a_{12}^{\ \ '}b_{22}+a_{12}b_{22}^{\ \ '}\end{align*}}$
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A'B=\begin{pmatrix} \sf a_{11}^{\ \ '}&\sf a_{12}^{\ \ '} \\ \sf a_{21}^{\ \ '} & \sf a_{22}^{\ \ '} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf b_{11}&\sf b_{12} \\ \sf b_{21} & \sf b_{22} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf a_{11}^{\ \ '}b_{11}+a_{12}^{\ \ '}b_{21}&\sf a_{11}^{\ \ '}b_{12}+a_{12}^{\ \ '}b_{22} \\ \sf a_{21}^{\ \ '}b_{11}+a_{22}^{\ \ '}b_{21} & \sf a_{21}^{\ \ '}b_{12}+a_{22}^{\ \ '}b_{22} \end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AB'=\begin{pmatrix} \sf a_{11}&\sf a_{12} \\ \sf a_{21} & \sf a_{22} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf b_{11}^{\ \ '}&\sf b_{12}^{\ \ '} \\ \sf b_{21}^{\ \ '} & \sf b_{22}^{\ \ '} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf a_{11}b_{11}^{\ \ '}+a_{12}b_{21}^{\ \ '}&\sf a_{11}b_{12}^{\ \ '}+a_{12}b_{22}^{\ \ '} \\ \sf a_{21}b_{11}^{\ \ '}+a_{22}b_{21}^{\ \ '} & \sf a_{21}b_{12}^{\ \ '}+a_{22}b_{22}^{\ \ '} \end{pmatrix}\end{align*}}$
より、(1，2)成分を比較すると、等式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(AB\right)'=A'B+AB'\end{align*}}$
が成り立っているので、題意は示された。
(2)
2×2の単位行列をE、、零行列をOとおく。
(1)の等式で、B=A-1とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A\left(A^{-1}\right)'+A'A^{-1}=\left(AA^{-1}\right)'=\left(E\right)'=\underline{\ O\ }\end{align*}}$
(3)
(2)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A\left(A^{-1}\right)'=-A'A^{-1}\end{align*}}$
であり、両辺の左からA-1をかけると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \left(A^{-1}\right)'=-A^{-1}A'A^{-1}\ }\end{align*}}$
となる。
(1)→(2)→(3)と、うまく繋げていきましょう。
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- 2014/11/24(月) 23:57:00|
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