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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2010三重大 工学部 数学1



第1問

  a、pを実数とし、aはa≧1を満たすものとする。
        $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\left\{ \begin{array}{ll}\sf -x^2+3 & (\sf x\leqq a) \\ \sf -a^2+3 & (\sf x>a) \\\end{array} \right.\end{align*}}$
  とし、Cをy=f(x)で定まるグラフとする。
  またLをy=px+p+2で定まる直線とする。

 (1) 直線Lはpによらず、定点を通ることを示せ。また、Lが
    放物線y=-x2+3に接するようなpを求めよ。

 (2) CとLが相異なる2点のみを共有するようなpの範囲を求め、
    さらにその共有点のx座標を求めよ。



テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2014/11/21(金) 23:54:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .三重大 2010(工)
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2010三重大 工学部 数学2



第2問

  A(-3,-1)、B(-1,-2)、C(3,1)、D(0,5)を考える。
  またEを線分ACとBDの交点とする。このとき次の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}\ ,\ \overrightarrow{\sf AC}\end{align*}}$ の大きさおよびcos∠BACの値を求めよ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BD}=\alpha\overrightarrow{\sf BA}+\beta\overrightarrow{\sf BC}\end{align*}}$ を満たす定数$\small\sf{\alpha}$ 、$\small\sf{\beta}$ を求めよ。
    また、比AE:ECを求めよ。

 (3) △ABEと△CDEの面積の和をS1、△BCEと△DAEの面積の
    和をS2とするとき、比S1:S2を求めよ。




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  1. 2014/11/22(土) 23:57:00|
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2010三重大 工学部 数学3



第3問

  $\small\sf{\sf y=\sin 2x+\cos x}$ のグラフの$\small\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq x\leqq \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ に対応する部分をC
  とする。また点 $\small\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{\pi}{2}\ ,\ 0\right)\end{align*}}$ におけるグラフの接線をLとする。
  このとき次の問いに答えよ。

 (1) 接線Lの方程式を求めよ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq x\leqq \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ の範囲でCがLの上側になる部分はないことを
    示せ。

 (3) 曲線C、直線Lおよびy軸で囲まれる図形の面積を求めよ。



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  1. 2014/11/23(日) 23:57:00|
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2010三重大 工学部 数学4



第4問

  xの微分可能な関数を成分とする行列 $\small\sf{\begin{align*} \sf M=\begin{pmatrix} \sf m_{11}&\sf m_{12} \\ \sf m_{21} & \sf m_{22} \end{pmatrix}\end{align*}}$ に対して、
  Mの各成分をxで微分した行列 $\small\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf m_{11}^{\ \ '}&\sf m_{12}^{\ \ '} \\ \sf m_{21}^{\ \ '} & \sf m_{22}^{\ \ '} \end{pmatrix}\end{align*}}$ をM’と表す。
  a11、a12、a21、a22 および b11、b12、b21、b22をxの微分
  可能な関数とし、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix} \sf a_{11}&\sf a_{12} \\ \sf a_{21} & \sf a_{22} \end{pmatrix}\ \ ,\ \ B=\begin{pmatrix} \sf b_{11}&\sf b_{12} \\ \sf b_{21} & \sf b_{22} \end{pmatrix}\end{align*}}$
   とおく。

 (1) 等式(AB)’=A’B+AB’が成り立つが、これを(1,2)成分に
    ついて確かめよ。

 (2) Aはすべてのxについて逆関数A-1を持つとする。このとき、
    (1)の等式を用いて、A’A-1+A(A-1)’を求めよ。

 (3) Aはすべてのxについて逆関数を持つとする。(A-1)’をA-1
    A’を用いて表せ。



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  1. 2014/11/24(月) 23:57:00|
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