第1問
a、pを実数とし、aは|a|≦1を満たすものとする。
$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\left\{ \begin{array}{ll}\sf -x^2+3 & (\sf x\leqq a) \\ \sf -a^2+3 & (\sf x>a) \\\end{array} \right.\end{align*}}$
とし、Cをy=f(x)で定まるグラフとする。
またLをy=px+p+2で定まる直線とする。
(1) 直線Lはpによらず、定点を通ることを示せ。また、Lが
放物線y=－x2+3に接するようなpを求めよ。
(2) CとLが相異なる2点のみを共有するようなpの範囲を求め、
さらにその共有点のx座標を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
Lの式は、
(x+1)p+2－y=0
と変形でき、これをpについての恒等式とみなして
係数を比較すると、
x=－1、y=2．
よって、直線Lはpの値によらず、定点(－1，2)を通る。
これをAとおく。
Lとy=－x2+3の2式を連立させると、
－x2+3=px+p+2
⇔ x2+px+p－1=0 ……(#)
であり、これが重解を持てばよいので、
D=p2－4(p－1)=0
⇔ p=2
(2)
曲線Cのx≦aの部分をC1、a＜xの部分をC2とおく。
(ⅰ) －1＜a＜1のとき
(1)で求めた定点AはC1上にあるので、
CとLはpの値によらず点Aを共有する。
また、(2)より、p=2のとき、LとC1は点Aで接し、
Lが点(a，－a2+3)を通るとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf pa+p+2=-a^2+3\ \ \Leftrightarrow\ \ p=\frac{-a^2+1}{a+1}=1-a\end{align*}}$
(ア) 2＜pのとき
(#)の方程式の解は、
(x+1)(x+p－1)=0
⇔ x=－1，1－p
なので、LとC1は、x＜－1の部分に
点A以外の共有点を1つもつ。
(イ) 1－a≦p＜2のとき
LとC1は、－1＜x≦aの部分に
点A以外の共有点を1つもつ。
(ウ) 0＜p＜1－aのとき
LとC2は共有点を持ち、そのx座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ px+p+2=-a^2+3\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{-a^2-p+1}{p}\end{align*}}$
以上より、
0＜p＜1－aのとき、x=－1，$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{-a^2-p+1}{p}\end{align*}}$
1－a≦p＜2、2＜pのとき、 x=－1，1－p
(ⅱ) a=1のとき
Cのグラフは下図のようになるので、
(ⅰ)の(ウ)の場合はあり得ない。
よって、
0＜p＜2、2＜pのとき、 x=－1，1－p
(ⅲ) a=－1のとき
Cのグラフは下図のようになるので、
(ⅰ)の(イ)、(ウ)の場合はあり得ない。
よって、
2＜pのとき、 x=－1，1－p
a=±1の場合は、別で考える必要があります。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2014/11/17(月) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .三重大 2010（医）
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第2問
四面体OABCは、OA=$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt5\end{align*}}$ 、OB=OC=5、AB=AC=$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{30}\end{align*}}$ 、
BC=$\small\sf{\begin{align*} \sf 5\sqrt2\end{align*}}$ を満たすものとする。辺OBを2：1に外分する点をD、
辺OCを3：2に外分する点をEとする。Oから直線DEに引いた
垂線と直線BCとの交点をFとする。$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}=\overrightarrow{\sf OA}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}=\overrightarrow{\sf OB}\ ,\ \overrightarrow{\sf c}=\overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$
として、次の問いに答えよ。
(1) 内積$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}\ ,\ \overrightarrow{\sf c}\cdot\overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ を求めよ。
(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OF}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AF}\end{align*}}$ を$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\ ,\ \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ を用いて表せ。
(3) 線分OFの長さと線分AFの長さおよびcos∠OFAの値を
求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf a}|=\sqrt5\ \ ,\ \ |\overrightarrow{\sf b}|=|\overrightarrow{\sf c}|=5\ \ ,\ \ |\overrightarrow{\sf AB}|=|\overrightarrow{\sf AC}|=\sqrt{30}\ \ ,\ \ |\overrightarrow{\sf BC}|=5\sqrt2\end{align*}}$ ……(#)
(1)
(#)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf AB}|^2=|\overrightarrow{\sf b}-\overrightarrow{\sf a}|^2=|\overrightarrow{\sf a}|^2-2\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}+|\overrightarrow{\sf b}|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(\sqrt{30}\right)^2=\left(\sqrt5\right)^2-2\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}+5^2\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=0\ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf BC}|^2=|\overrightarrow{\sf c}-\overrightarrow{\sf b}|^2=|\overrightarrow{\sf b}|^2-2\overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}+|\overrightarrow{\sf c}|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(5\sqrt{2}\right)^2=5^2-2\overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}+5^2\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ \overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}=0\ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf AC}|^2=|\overrightarrow{\sf c}-\overrightarrow{\sf a}|^2=|\overrightarrow{\sf a}|^2-2\overrightarrow{\sf c}\cdot\overrightarrow{\sf a}+|\overrightarrow{\sf c}|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(\sqrt{30}\right)^2=\left(\sqrt5\right)^2-2\overrightarrow{\sf c}\cdot\overrightarrow{\sf a}+5^2\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ \overrightarrow{\sf c}\cdot\overrightarrow{\sf a}=0\ }\end{align*}}$
(2)
まず、題意より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OD}=2\overrightarrow{\sf b}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OE}=3\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf ED}=2\overrightarrow{\sf b}-3\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$
FはBC上の点なので実数sを用いて、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OF}=(1-s)\overrightarrow{\sf b}+s\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$
と表すことができ、OF⊥EDなので、内積を考えると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OF}\cdot\overrightarrow{\sf ED}=\left\{\left(1-s\right)\overrightarrow{\sf b}+s\overrightarrow{\sf c}\right\}\cdot\left(2\overrightarrow{\sf b}-3\overrightarrow{\sf c}\right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2\left(1-s\right)|\overrightarrow{\sf b}|^2-3s|\overrightarrow{\sf c}|^2=0\end{align*}}$ ←(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2\left(1-s\right)-3s=0\end{align*}}$ ←(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ s=\frac{2}{5}\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OF}=\underline{\ \frac{3}{5}\overrightarrow{\sf b}+\frac{2}{5}\overrightarrow{\sf c}\ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AF}=\overrightarrow{\sf OF}-\overrightarrow{\sf OA}=\underline{\ -\overrightarrow{\sf a}+\frac{3}{5}\overrightarrow{\sf b}+\frac{2}{5}\overrightarrow{\sf c}\ }\end{align*}}$
(3)
(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf OF}\right|^2=\left|\frac{3}{5}\overrightarrow{\sf b}+\frac{2}{5}\overrightarrow{\sf c}\right|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{9}{25}\left|\overrightarrow{\sf b}\right|^2+\frac{4}{25}\left|\overrightarrow{\sf c}\right|^2=13\end{align*}}$ ←(1)、(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf AF}\right|^2=\left|-\overrightarrow{\sf a}+\frac{3}{5}\overrightarrow{\sf b}+\frac{2}{5}\overrightarrow{\sf c}\right|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left|\overrightarrow{\sf a}\right|^2+\frac{9}{25}\left|\overrightarrow{\sf b}\right|^2+\frac{4}{25}\left|\overrightarrow{\sf c}\right|^2=18\end{align*}}$ ←(1)、(#)より
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ OF=\sqrt{13}\ \ ,\ \ AF=3\sqrt2\ }\end{align*}}$
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OF}\cdot\overrightarrow{\sf AF}=\left(\frac{3}{5}\overrightarrow{\sf b}+\frac{2}{5}\overrightarrow{\sf c}\right)\cdot\left(-\overrightarrow{\sf a}+\frac{3}{5}\overrightarrow{\sf b}+\frac{2}{5}\overrightarrow{\sf c}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{9}{25}\left|\overrightarrow{\sf b}\right|^2+\frac{4}{25}\left|\overrightarrow{\sf c}\right|^2=13\end{align*}}$ ←(1)、(#)より
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\angle OFA=\frac{\overrightarrow{\sf OF}\cdot\overrightarrow{\sf AF}}{\left|\overrightarrow{\sf OF}\right|\ \left|\overrightarrow{\sf AF}\right|}=\frac{13}{\sqrt{13}\cdot 3\sqrt2}=\underline{\ \frac{\sqrt{26}}{6}\ }\end{align*}}$
上では計算ゴリ押しで解きましたが、図形的に処理することも出来ます。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2014/11/18(火) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .三重大 2010（医）
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第3問
kは正の定数とし、$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=e^{k\sin x}\cos x\end{align*}}$ とする。曲線Cを、y=f(x)
のグラフの$\small\sf{\begin{align*} \sf -\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ ≦x≦$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ に対応する部分とする。
(1) tの関数g(t)は、$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=e^{k\sin x}g\left(\sin x\right)\end{align*}}$ を満たすものとする。
このときg(t)を求め、－1≦t≦1の範囲におけるg(t)=0
の解を求めよ。
(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf -\frac{\pi}{2}\leqq x\leqq \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ の範囲において、f(x)が最大になるときの
f(x)2の値を求めよ。
(3) 曲線Cとx軸に囲まれた部分の面積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
f(x)の導関数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=k\cos x\cdot e^{k\sin x}\cos x-e^{k\sin x}\sin x\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =e^{k\sin x}\left(k\cos^2x-\sin x\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =e^{k\sin x}\left(-k\sin^2x-\sin x+k\right)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ g\ (t)=-kt^2-t+k\ }\end{align*}}$
となり、k≠0より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ (t)=-kt^2-t+k=0\ \ \Leftrightarrow\ \ t=\frac{-1\pm\sqrt{4k^2+1}}{2k}\end{align*}}$ ･･････(#)
k＞0より、y=g(t)のグラフは、上に凸な放物線であり、
g(1)=－1＜0 かつ g(－1)=1＞0
なので、(#)のうち、－1≦t≦1を満たすのは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ t=\frac{-1+\sqrt{4k^2+1}}{2k}\ }\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{\pi}{2}\leqq x\leqq \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ の範囲でsinxは単調に増加するので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin p=\frac{-1+\sqrt{4k^2+1}}{2k}\ \ \ \left(-\frac{\pi}{2}\lt p<\frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$
となるpがただ1つ存在する。
よって、f(x)の増減は次のようになる。
これより、f(x)はx=pのときに最大となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (p)^2=\left(e^{k\sin p}\cos p\right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =e^{2k\sin p}\left(1-\sin p\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =e^{-1+\sqrt{4k^2+1}}\left\{1-\left(\frac{-1+\sqrt{4k^2+1}}{2k}\right)^2\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{-1+\sqrt{4k^2+1}}{2k^2}\ e^{-1+\sqrt{4k^2+1}}\ }\end{align*}}$
(3)
(2)の増減表より曲線Cの概形は右図のようになるので、
Cとx軸に囲まれた部分の面積をSとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_{-\pi /2}^{\pi /2}e^{k\sin x}\cos x\ dx\end{align*}}$
で求めることができる。
ここで、t=sinxと置換すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dt}{dx}=\cos x\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_{-1}^1e^{kt}\ dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\frac{1}{k}e^{kt}\right]_{-1}^1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{e^k-e^{-k}}{k}\ }\end{align*}}$
誘導のままです。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2014/11/19(水) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .三重大 2010（医）
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第4問
Xを2次の正方行列として以下の問いに答えよ。
(1) p、qを実数とし、q≠0とする。$\small\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf p&\sf q \\ \sf 0 & \sf p \end{pmatrix}X=X\begin{pmatrix} \sf p&\sf q \\ \sf 0 & \sf p \end{pmatrix}\end{align*}}$ ならば、
Xは $\small\sf{\begin{align*} \sf X=\begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf 0 & \sf a \end{pmatrix}\end{align*}}$ の形で表せることを示せ。
(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf X=\begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf 0 & \sf a \end{pmatrix}\end{align*}}$ のとき、自然数nに対し $\small\sf{\begin{align*} \sf X^n=\begin{pmatrix} \sf a^n&\sf na^{n-1}b \\ \sf 0 & \sf a^n \end{pmatrix}\end{align*}}$ と
なることを数学的帰納法により示せ。ただしa0=1とする。
(3) m、nを自然数とする。Xの各成分は0以上の整数で、
$\small\sf{\begin{align*} \sf X^{n+1}-X^n=\begin{pmatrix} \sf 2^{m+1}&\sf 2^{50} \\ \sf 0 & \sf 2^{m+1} \end{pmatrix}\end{align*}}$ を満たすものとする。このような
行列Xが存在するような組(m，n)をすべて求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X=\begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf c & \sf d \end{pmatrix}\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf p&\sf q \\ \sf 0 & \sf p \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf c & \sf d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf c & \sf d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf p&\sf q \\ \sf 0 & \sf p \end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \begin{pmatrix} \sf ap+cq&\sf bp+dq \\ \sf cp & \sf dp \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf ap&\sf bp+aq \\ \sf cp & \sf cq+dp \end{pmatrix}\end{align*}}$
となり、成分を比較すると、
cq=0 かつ aq=dq ．
ここで、q≠0より、c=0、a=dとなるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X=\begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf 0 & \sf a \end{pmatrix}\end{align*}}$ ．
よって、題意は示された。
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X^n=\begin{pmatrix} \sf a^n&\sf na^{n-1}b \\ \sf 0 & \sf a^n \end{pmatrix}\end{align*}}$ ……(#)
(ⅰ)n=1のときは自明
(ⅱ)n=kのとき(#)が成り立つと仮定すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X^k=\begin{pmatrix} \sf a^k&\sf ka^{k-1}b \\ \sf 0 & \sf a^k \end{pmatrix}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X^{k+1}=\begin{pmatrix} \sf a^k&\sf ka^{k-1}b \\ \sf 0 & \sf a^k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf 0 & \sf a \end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\begin{pmatrix} \sf a^{k+1}&\sf a^kb+ka^{k}b \\ \sf 0 & \sf a^{k+1} \end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\begin{pmatrix} \sf a^{k+1}&\sf (k+1)a^{k}b \\ \sf 0 & \sf a^{k+1} \end{pmatrix}\end{align*}}$
となり、(#)はn=k+1のときも成り立つ。
よって、任意の自然数nに対して(#)は成り立つ。
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X^{n+1}-X^n=\begin{pmatrix} \sf 2^{m+1}&\sf 2^{50} \\ \sf 0 & \sf 2^{m+1} \end{pmatrix}\end{align*}}$ ……(ア)
の両辺に左からXをかけると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X^{n+2}-X^{n+1}=X\begin{pmatrix} \sf 2^{m+1}&\sf 2^{50} \\ \sf 0 & \sf 2^{m+1} \end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(X^{n+1}-X^{n}\right)X=X\begin{pmatrix} \sf 2^{m+1}&\sf 2^{50} \\ \sf 0 & \sf 2^{m+1} \end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \begin{pmatrix} \sf 2^{m+1}&\sf 2^{50} \\ \sf 0 & \sf 2^{m+1} \end{pmatrix}X=X\begin{pmatrix} \sf 2^{m+1}&\sf 2^{50} \\ \sf 0 & \sf 2^{m+1} \end{pmatrix}\end{align*}}$ ←(ア)より
となるので、(1)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X=\begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf 0 & \sf a \end{pmatrix}\end{align*}}$
の形で表せる。このXに対して、(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X^n=\begin{pmatrix} \sf a^n&\sf na^{n-1}b \\ \sf 0 & \sf a^n \end{pmatrix}\end{align*}}$
なので、(ア)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf a^{n+1}&\sf (n+1)a^{n}b \\ \sf 0 & \sf a^{n+1} \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \sf a^n&\sf na^{n-1}b \\ \sf 0 & \sf a^n \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf 2^{m+1}&\sf 2^{50} \\ \sf 0 & \sf 2^{m+1} \end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \begin{pmatrix} \sf a^{n}(a-1)&\sf a^{n-1}b\left\{(n+1)a-n\right\} \\ \sf 0 & \sf a^{n}(a-1) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf 2^{m+1}&\sf 2^{50} \\ \sf 0 & \sf 2^{m+1} \end{pmatrix}\end{align*}}$
となる。
r成分を比較すると、
an(a－1)=2m+1 ……(イ) かつ
anb{(n+1)a－n}=250 ……(ウ)
が成り立つ。
(イ)より、aおよびa－1は、2N （N=0，1，2，…）の
形で表される数なので、a=2．
このとき、(イ)は、
2n=2m+1 ⇔ n=m+1 ……(エ)
となり、(ウ)は、
2nb(n+2)=250 ……(オ)
となる。これより、n+2は、2N （N=0，1，2，…）の
形で表される数であり、nは自然数なので、
n+2=22，23，24，25，26，…
⇔ n=2，6，14，30，62，…
また、(オ)より、nは50より小さい。
このことと(エ)より、条件を満たす自然数m、nの組は
(m，n)=(1，2)、(5，6)、(13，14)、(29，30)
である。
(3)は、少し考えにくいかもしれません。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2014/11/20(木) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .三重大 2010（医）
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
