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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2010三重大 医学部 数学1



第1問

  a、pを実数とし、aは|a|≦1を満たすものとする。
        $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\left\{ \begin{array}{ll}\sf -x^2+3 & (\sf x\leqq a) \\ \sf -a^2+3 & (\sf x>a) \\\end{array} \right.\end{align*}}$
  とし、Cをy=f(x)で定まるグラフとする。
  またLをy=px+p+2で定まる直線とする。

 (1) 直線Lはpによらず、定点を通ることを示せ。また、Lが
    放物線y=-x2+3に接するようなpを求めよ。

 (2) CとLが相異なる2点のみを共有するようなpの範囲を求め、
    さらにその共有点のx座標を求めよ。



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  1. 2014/11/17(月) 23:57:00|
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2010三重大 医学部 数学2



第2問

  四面体OABCは、OA=$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt5\end{align*}}$ 、OB=OC=5、AB=AC=$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{30}\end{align*}}$ 、
  BC=$\small\sf{\begin{align*} \sf 5\sqrt2\end{align*}}$ を満たすものとする。辺OBを2:1に外分する点をD、
  辺OCを3:2に外分する点をEとする。Oから直線DEに引いた
  垂線と直線BCとの交点をFとする。$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}=\overrightarrow{\sf OA}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}=\overrightarrow{\sf OB}\ ,\ \overrightarrow{\sf c}=\overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$
  として、次の問いに答えよ。

 (1) 内積$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}\ ,\ \overrightarrow{\sf c}\cdot\overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ を求めよ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OF}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AF}\end{align*}}$ を$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\ ,\ \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ を用いて表せ。

 (3) 線分OFの長さと線分AFの長さおよびcos∠OFAの値を
    求めよ。


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  1. 2014/11/18(火) 23:57:00|
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2010三重大 医学部 数学3



第3問

  kは正の定数とし、$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=e^{k\sin x}\cos x\end{align*}}$ とする。曲線Cを、y=f(x)
  のグラフの$\small\sf{\begin{align*} \sf -\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ ≦x≦$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ に対応する部分とする。

 (1) tの関数g(t)は、$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=e^{k\sin x}g\left(\sin x\right)\end{align*}}$ を満たすものとする。
    このときg(t)を求め、-1≦t≦1の範囲におけるg(t)=0
    の解を求めよ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf -\frac{\pi}{2}\leqq x\leqq \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ の範囲において、f(x)が最大になるときの
    f(x)2の値を求めよ。

 (3) 曲線Cとx軸に囲まれた部分の面積を求めよ。



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  1. 2014/11/19(水) 23:57:00|
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2010三重大 医学部 数学4



第4問

  Xを2次の正方行列として以下の問いに答えよ。

 (1) p、qを実数とし、q≠0とする。$\small\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf p&\sf q \\ \sf 0 & \sf p \end{pmatrix}X=X\begin{pmatrix} \sf p&\sf q \\ \sf 0 & \sf p \end{pmatrix}\end{align*}}$ ならば、
    Xは $\small\sf{\begin{align*} \sf X=\begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf 0 & \sf a \end{pmatrix}\end{align*}}$ の形で表せることを示せ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf X=\begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf 0 & \sf a \end{pmatrix}\end{align*}}$ のとき、自然数nに対し $\small\sf{\begin{align*} \sf X^n=\begin{pmatrix} \sf a^n&\sf na^{n-1}b \\ \sf 0 & \sf a^n \end{pmatrix}\end{align*}}$ と
    なることを数学的帰納法により示せ。ただしa0=1とする。

 (3) m、nを自然数とする。Xの各成分は0以上の整数で、
    $\small\sf{\begin{align*} \sf X^{n+1}-X^n=\begin{pmatrix} \sf 2^{m+1}&\sf 2^{50} \\ \sf 0 & \sf 2^{m+1} \end{pmatrix}\end{align*}}$ を満たすものとする。このような
    行列Xが存在するような組(m,n)をすべて求めよ。



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  1. 2014/11/20(木) 23:57:00|
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