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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2006奈良県立医科大 数学1



第1問

  2×2行列A、Rを
        $\small\sf{\begin{align*}\sf A=\begin{pmatrix} \rm 2&\rm 3 \\ \rm 2 & \rm 1 \end{pmatrix}\ \ ,\ \ R=\begin{pmatrix} \rm 2&\rm 2 \\ \rm 2 & \rm -3 \end{pmatrix}\end{align*}}$
  とする。また、数列{pn}、{qn}は、次の関係式
        $\small\sf{\begin{align*}\sf \begin{pmatrix}\sf p_n\\ \sf q_n\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}\sf p_{n+1}\\ \sf q_{n+1}\end{pmatrix}\ \ (n\geq 1)\ \ ,\ \ p_1+2q_1=1\end{align*}}$
  を満たすものとする。このとき、次の問いに答えよ。

 (1) B=RAR-1とするとき、Bを求めよ。

 (2) 数列{pn}、{qn}が、すべての自然数nに対して、
    pn≧0、qn≧0を満たすとき、p1、q1の値を求めよ。



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  1. 2018/10/02(火) 00:01:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .奈良県立医大 2006
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2006奈良県立医科大 数学2



第2問

  nは自然数とする。白球がn個、赤球が1個入った袋がある。
  この袋から1個球を取り出し、球の色を確認してもとに戻す。
  ただし、どの球が取り出されるかは同様に確からしいものと
  する。このとき、次の問いに答えよ。ただし、必要ならば
        $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{h\rightarrow 0}\left(1+h \right)^{\frac{1}{h}}=e\end{align*}}$
  は用いてよい。

 (1) kを自然数とする。k回目に初めて赤球を取り出す確率を
    pn(k)とするとき、pn(k)をn、kを用いて表せ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*}\sf F_n=\sum_{k=n}^{\infty}p_n(k)\end{align*}}$ とするとき、極限値 $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ F_n\end{align*}}$ を求めよ。

 (3) $\small\sf{\begin{align*}\sf E_n=\sum_{k=1}^{n}kp_n(k)\end{align*}}$ とするとき、極限値 $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{E_n}{n}\end{align*}}$ を求めよ。



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2006奈良県立医科大 数学3



第3問

  実数aは正の定数とする。
        $\small\sf{\begin{align*}\sf f\ (x)=\left|ax-\sqrt{1-x^2} \right|\ \ \ \left( 0\leqq x\leqq 1\right)\end{align*}}$
  によって表される曲線C:y=f(x)について、次の問いに
  答えよ。

 (1) 関数y=f(x)の増減、凹凸を調べ、曲線Cの概形をかけ。

 (2) 曲線C、x軸、およびy軸とで囲まれる部分の面積をS1
    曲線C、x軸、および直線x=1とで囲まれる部分の面積
    をS1とする。S1=S2となるようにaの値を定めよ。




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2006奈良県立医科大 数学4



第4問

  関数f(x)は微分可能で、f’(x)≧f(x)が恒等的に成り立つもの
  とする。また、関数g(x)は第2次導関数を持ち、g(0)=0で、
  g”(x)≧g(x)が恒等的に成り立つものとする。このとき、次の問
  いに答えよ。

 (1) (f(x)e-x)’≧0が成り立つことを示せ。また、特に、f’(x)=
    f(x)が恒等的に成り立つとき、f(x)=f(0)exであることを示せ。

 (2) x>0において、
        $\small\sf{\begin{align*}\sf \left(\frac{g\ (x)}{e^x-e^{-x}}\right)'\geq 0\end{align*}}$
    であることを示せ。

 (3) 特にg”(x)=g(x)が恒等的に成り立つとき、x≧0において
        $\small\sf{\begin{align*}\sf g\ (x)=\frac{g\ '(0)\left(e^x-e^{-x} \right)}{2}\end{align*}}$
    であることを示せ。




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