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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2001大阪市立大 理系数学1



第1問

   2次曲線 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\end{align*}}$ (a>0、b>0)と xy=k (k>0)が第1象限
  に共有点をもち、その点における2つの曲線の接線が一致するとき、
  kおよびその共有点の座標 (x1,y2)をa、bを用いて表せ。



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  1. 2014/11/09(日) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪市立大 理系 2001
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2001大阪市立大 理系数学2



第2問

  空間内に4点A(0,0,1)、B(2,1,0)、C(0,2,-1)、
  D(0,2,1)がある。

 (1) 点Cから直線ABに下ろした垂線の足Hの座標を求めよ。

 (2) 点Pがxy平面上を動き、点Qが直線AB上を動くとき、
    距離DP、PQの和DP+PQが最小となるP、Qの座標を
    求めよ。



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  1. 2014/11/10(月) 23:57:00|
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2001大阪市立大 理系数学3



第3問

  次の問いに答えよ。eは自然対数の底とする。

 (1) 自然数nに対して
        $\small\sf{\begin{align*} \sf K_n=\int_0^1x^ne^xdx\end{align*}}$
    とおくとき、K1、K2、K3を求めよ。

 (2) 関数f(x)=xexと2次関数g(x)=ax2+bx+c
    (a、b、cは定数)に対して、定積分
        $\small\sf{\begin{align*} \rm I\sf =\int_0^1\bigg\{f\ (x)-g\ (x)\bigg\}^2dx\end{align*}}$
    を考える。f(x)、g(x)がf(0)=g(0)、f(1)=g(1)
    を満たすとき、Iはaの2次式pa2+qa+r (p、q、rは
    いずれもa、b、cに関係しない定数)で表される。
    このとき、p、qの値を求め、さらにIを最小にするaの値
    を求めよ。ただし、rの値およびIの最小値は求めなくて
    よい。
 


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  1. 2014/11/11(火) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪市立大 理系 2001
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2001大阪市立大 理系数学4



第4問

  xy平面上で、y軸と定点A(a,0) (ただし、a>0)からの距離の比が
  a:1となるような点Pの軌跡を考える。

 (1) 点Pの軌跡の方程式を求め、aがどのような値のときにその軌跡は
    双曲線、楕円、放物線になるかを調べよ。

 (2) x座標が0≦x≦a2の範囲内にある点Pの軌跡と直線x=a2で囲ま
    れた部分をx軸の周りに1回転してできる回転体の体積をVとする。
    このとき、極限値
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{a\rightarrow 0}\ \frac{V}{\pi\ a^6}\end{align*}}$
    を求めよ。



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  1. 2014/11/12(水) 23:57:00|
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