第1問
2次曲線 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\end{align*}}$ （a＞0、b＞0）と xy=k （k＞0）が第1象限
に共有点をもち、その点における2つの曲線の接線が一致するとき、
kおよびその共有点の座標 (x1，y2)をa、bを用いて表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf C_1:\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\ \ ,\ \ c_2:\ y=\frac{k}{x}\end{align*}}$
とおき、C1とC2の第1象限内の共有点をP(x1，y1)とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{x_1^{\ 2}}{a^2}+\frac{y_1^ {\ 2}}{b^2}=1\end{align*}}$ ……(ⅰ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x_1y_1=k\end{align*}}$ ……(ⅱ)
一方、PにおけるC1の接線は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{x_1x}{a^2}+\frac{y_1y}{b^2}=1\ \ \Leftrightarrow\ \ y=-\frac{b^2x_1}{a^2y_1}\ x+\frac{b^2}{y_1}\end{align*}}$
であり、C2の導関数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y\ '=-\frac{k}{x^2}\end{align*}}$
なので、PにおけるC2の接線は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-y_1=-\frac{k}{x_1^{\ 2}}\left( x-x_1\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ y=-\frac{k}{x_1^{\ 2}}\ x+y_1+\frac{k}{x_1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ y=-\frac{y_1}{x_1}\ x+2y_1\end{align*}}$ ←(ⅱ)より
題意よりこれら2本の接線が一致するので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{b^2x_1}{a^2y_1}=-\frac{y_1}{x_1}\ \ \Leftrightarrow\ \ x_1^{\ 2}=\frac{a^2y_1^{\ 2}}{b^2}\end{align*}}$ ……(ⅲ) かつ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{b^2}{y_1}=2y_1\ \ \Leftrightarrow\ \ y_1^{\ 2}=\frac{b^2}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ y_1=\frac{b}{\sqrt2}\ (>0)\end{align*}}$ ……(ⅳ)
(ⅳ)を(ⅲ)に代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x_1^{\ 2}=\frac{a^2}{b^2}\cdot\frac{b^2}{2}=\frac{a^2}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ x_1=\frac{a}{\sqrt2}\ (>0)\end{align*}}$
よって、共有点Pの座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ P\left( \frac{a}{\sqrt2}\ ,\ \frac{b}{\sqrt2}\right)\ }\end{align*}}$
となり、これと(ⅱ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=\frac{a}{\sqrt2}\cdot\frac{b}{\sqrt2}=\underline{\ \frac{ab}{2}\ }\end{align*}}$
また、このx1、y1は(ⅰ)も満たす。
そのまま計算していけば最後までたどり着きます。
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- 2014/11/09(日) 23:57:00|
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第2問
空間内に4点A(0，0，1)、B(2，1，0)、C(0，2，－1)、
D(0，2，1)がある。
(1) 点Cから直線ABに下ろした垂線の足Hの座標を求めよ。
(2) 点Pがxy平面上を動き、点Qが直線AB上を動くとき、
距離DP、PQの和DP+PQが最小となるP、Qの座標を
求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
A(0，0，1)、B(2，1，0)、C(0，2，－1)、D(0，2，1)
(1)
Hは直線AB上にあるので、実数kを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AH}=k\ \overrightarrow{\sf AB}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf OH}=\left(1-k \right)\overrightarrow{\sf OA}+k\ \overrightarrow{\sf OB}=\left(2k\ ,\ k\ ,\ 1-k \right)\end{align*}}$ ……(ⅰ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf CH}=\left(2k\ ,\ k-2\ ,\ 2-k \right)\end{align*}}$
と表せる。
題意より、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf CH}\end{align*}}$ は $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}=\left(2\ ,\ 1\ ,\ -1\right)\end{align*}}$ と垂直なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf CH}\cdot\overrightarrow{\sf AB}=2\cdot 2k+\left(k-2\right)-\left(2-k \right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ k=\frac{2}{3}\end{align*}}$ ．
よって、(ⅰ)よりHの座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ H\left(\frac{4}{3}\ ,\ \frac{2}{3}\ ,\ \frac{1}{3} \right)\ }\end{align*}}$
となる。
(2)
CとDはxy平面に関して対称なので、xy平面上の点Pに対して、
CP=DP
である。よって、
DP+PQ=CP+PQ
となり、これが最小になるのは、3点C、P、Qが一直線上にあり、
CQ⊥ABとなるときである。
よって、Qは(1)で求めたHと一致するので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ Q\left(\frac{4}{3}\ ,\ \frac{2}{3}\ ,\ \frac{1}{3} \right)\ }\end{align*}}$
また、P(a，b，0)とおくと、実数kを用いて、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf CP}=k\ \overrightarrow{\sf CQ}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(a\ ,\ b-2\ ,\ 1 \right)=k\left( \frac{4}{3}\ ,\ -\frac{4}{3}\ ,\ \frac{4}{3}\right)\end{align*}}$
と表せるので、成分を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=\frac{3}{4}\ \ ,\ \ a=b=1\end{align*}}$
を得る。よって、点Pの座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ P\left(1\ ,\ 1\ ,\ 0 \right)\ }\end{align*}}$
である。
(2)をまともに計算だけで処理しようとすると確実に死にますｗｗ
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- 2014/11/10(月) 23:57:00|
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第3問
次の問いに答えよ。eは自然対数の底とする。
(1) 自然数nに対して
$\small\sf{\begin{align*} \sf K_n=\int_0^1x^ne^xdx\end{align*}}$
とおくとき、K1、K2、K3を求めよ。
(2) 関数f(x)=xexと2次関数g(x)=ax2+bx+c
（a、b、cは定数）に対して、定積分
$\small\sf{\begin{align*} \rm I\sf =\int_0^1\bigg\{f\ (x)-g\ (x)\bigg\}^2dx\end{align*}}$
を考える。f(x)、g(x)がf(0)=g(0)、f(1)=g(1)
を満たすとき、Iはaの2次式pa2+qa+r （p、q、rは
いずれもa、b、cに関係しない定数）で表される。
このとき、p、qの値を求め、さらにIを最小にするaの値
を求めよ。ただし、rの値およびIの最小値は求めなくて
よい。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf K_1=\int_0^1xe^xdx =\bigg[xe^x\bigg]_0^1-\int_0^1e^xdx=\bigg[xe^x-e^x\bigg]_0^1=\underline{\ 1\ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf K_2=\int_0^1x^2e^xdx =\bigg[x^2e^x\bigg]_0^1-\int_0^12xe^xdx=e-2K_1=\underline{\ e-2\ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf K_3=\int_0^1x^3e^xdx =\bigg[x^3e^x\bigg]_0^1-\int_0^13x^2e^xdx=e-3K_2=\underline{\ -2e+6\ }\end{align*}}$
(2)
f(x)=xex と g(x)=ax2+bx+c に対して
f(0)=g(0) より、c=0
f(1)=g(1) より、e=a+b
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \rm I\sf =\int_0^1\bigg\{xe^x-ax^2- \left(e-a \right)x\bigg\}^2dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^1\bigg\{\left(x-x^2 \right)a+\left(e^x-e \right)x\bigg\}^2dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =a^2\int_0^1\left(x-x^2 \right)^2dx+2a\int_0^1\left(x-x^2 \right)\left(e^x-e \right)x\ dx+\int_0^1\left(e^x-e \right)^2x^2dx\end{align*}}$ ．
この式における定積分の値はすべて、a、b、cに関係しないので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p=\int_0^1\left(x-x^2 \right)^2dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^1\left(x^4-2x^3+x^2 \right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\frac{x^5}{5}-\frac{x^4}{2}+\frac{x^3}{3}\right]_0^1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{30}\ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q=2\int_0^1\left(x-x^2 \right)\left(e^x-e \right)x\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\int_0^1\left(-x^3e^x+x^2e^x+ex^3-ex^2\right) dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-2K_3+2K_2+2\left[\frac{e}{4}x^4-\frac{e}{3}x^3 \right]_0^1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-2\left( -2e+6\right)+2\left( e-2\right)+2\left(\frac{e}{4}-\frac{e}{3} \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{35}{6}e-16\ }\end{align*}}$
よって、これらより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \rm I\sf =\frac{1}{30}a^2+\left(\frac{35}{6}e-16\right)a+r\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{30}\left\{a-\frac{5}{2}\left(96-35e \right)\right\}^2+r-\frac{5}{24}\left(96-35e \right)^2\end{align*}}$
となるので、Iが最小となるのは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a=\frac{5}{2}\left(96-35e \right)\ }\end{align*}}$
のときである。
上から順に計算していきましょう！
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- 2014/11/11(火) 23:57:00|
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第4問
xy平面上で、y軸と定点A(a，0) （ただし、a＞0）からの距離の比が
a：1となるような点Pの軌跡を考える。
(1) 点Pの軌跡の方程式を求め、aがどのような値のときにその軌跡は
双曲線、楕円、放物線になるかを調べよ。
(2) x座標が0≦x≦a2の範囲内にある点Pの軌跡と直線x=a2で囲ま
れた部分をx軸の周りに1回転してできる回転体の体積をVとする。
このとき、極限値
$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{a\rightarrow 0}\ \frac{V}{\pi\ a^6}\end{align*}}$
を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
点Pの座標を(X，Y)とし、Pの軌跡が
描く曲線をCとすると、題意より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |X|:\sqrt{\left(X-a\right)^2+Y^2}=a:1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a^2\left(X^2-2aX+a^2\right)+a^2Y^2=X^2\ \ \ \ \left(\because a>0\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(a^2-1\right)X^2-2a^3X+a^2Y^2+a^4=0\end{align*}}$
となるので、曲線Cの方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ C:\ \left(a^2-1\right)x^2-2a^3x+a^2y^2+a^4=0\ }\end{align*}}$ ……(#)
と表せる。
(ⅰ) a=1のとき、(#)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -2x+y^2+1=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{1}{2}\left(y^2+1\right)\end{align*}}$
となり、x軸と軸とする放物線を表す。
(ⅱ) a≠1のとき、(#)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(a^2-1\right)\left(x^2-\frac{2a^3}{a^2-1}x\right)+a^2y^2+a^4=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(a^2-1\right)\left(x-\frac{a^3}{a^2-1}\right)^2+a^2y^2=\frac{a^6}{a^2-1}-a^4=\frac{a^4}{a^2-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{\left(a^2-1\right)^2}{a^4}\left(x-\frac{a^3}{a^2-1}\right)^2+\frac{a^2-1}{a^2}\ y^2=1\end{align*}}$
となる。よって、Cは
1＜aのときは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\left(a^2-1\right)^2}{a^4}>0\ ,\ \frac{a^2-1}{a^2}>0\end{align*}}$ なので楕円を表し、
0＜a＜1のときは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\left(a^2-1\right)^2}{a^4}>0\ ,\ \frac{a^2-1}{a^2}<0\end{align*}}$ なので双曲線を表す。
(2)
a→0の極限を求めるので、0＜a＜1の場合、すなわちCが
双曲線となる場合を考えればよい。
(#)より、Cのx切片は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(a^2-1\right)x^2-2a^3x+a^4=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left\{ \left(a-1 \right)x-a^2\right\}\left\{ \left(a+1 \right)x-a^2\right\}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{a^2}{a-1}\ ,\ \frac{a^2}{a+1}\end{align*}}$ ．
0＜a＜1より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a^2}{a-1}<0<\frac{a^2}{a+1} なので、Cと直線x=a2との位置関係は
右図のようになる。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{V}{\pi a^6}=\frac{1}{a^6}\int_{\frac{a^2}{a+1}}^{a^2}y^2dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{a^6} \int_{\frac{a^2}{a+1}}^{a^2}\left(\frac{1-a^2}{a^2}x^2+2ax-a^2 \right)dx\end{align*}}$ ←(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{a^6}\left[ \frac{1-a^2}{3a^2}x^3+ax^2-a^2x\right]_{\frac{a^2}{a+1}}^{a^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1-a^2}{3a^8}\left\{\left(a^2 \right)^3-\left(\frac{a^2}{a+1}\right)^3\right\}+\frac{1}{a^5}\left\{\left(a^2 \right)^2-\left(\frac{a^2}{a+1}\right)^2\right\}-\frac{1}{a^4}\left(a^2-\frac{a^2}{a+1}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1-a^2}{3a^8}\cdot\frac{a^6\left(a^3+3a^2+3a \right)}{\left(a+1\right)^3}+\frac{1}{a^5}\cdot\frac{a^4\left( a^2+2a\right)}{\left(a+1\right)^2}-\frac{1}{a^4}\cdot\frac{a^2\cdot a}{a+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\left(1-a\right)\left(a^2+3a+3 \right)}{3a\left(a+1\right)^2}+\frac{ a+2}{\left(a+1\right)^2}-\frac{1}{a\left(a+1\right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\left(1-a\right)\left(a^2+3a+3 \right)+3a\left( a+2\right)-3\left( a+1\right)}{3a\left(a+1\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{-a^2+a+3}{3\left(a+1\right)^2}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{a\rightarrow 0}\frac{V}{\pi a^6}=\frac{-0+0+3}{3\left(0+1\right)^2}=\underline{\ 1\ }\end{align*}}$
最後の計算がイヤです・・・
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- 2014/11/12(水) 23:57:00|
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