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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2008大阪大 理系数学1






第1問

  2次の正方行列A0、A1、A2、A3、・・・・を
     A0=O 、 An=B+An-1C  (n=1,2,3,・・・)
  で定める。ただし、Oは2次の零行列、BとCは2次の正方行列とする。

 (1) An(E-C)をBとCを用いて表せ。ここでEは2次の単位行列とする。

 (2) BとCを
       $\small\sf{\begin{align*} \sf B=\begin{pmatrix}\sf 0 &\sf 1\\ \sf 1 &\sf 0\end{pmatrix}\ \ ,\ \ C=\begin{pmatrix}\sf 1 &\sf 3\\ \sf -1 &\sf 1\end{pmatrix}\end{align*}}$
    とするとき、A3nを求めよ。



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  1. 2011/11/26(土) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪大 理系 2008
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2008大阪大 理系数学2






第1問

  点Oで交わる2つの半直線OX、OYがあって、∠XOY=60°とする。
  2点A、BがOX上にO、A、Bの順に、2点C、DがOY上にO、C、Dの
  順に並んでいるとして、線分ACの中点をM、線分BDの中点をNとする。
  線分ABの長さをs、線分CDの長さをtとするとき、以下の問いに答えよ。

 (1) 線分MNの長さをsとtを用いて表せ。

 (2) 点A、BとC、Dが$\small\sf{\sf s^2+t^2=1}$ を満たしながら動くとき、線分MNの長さ
    の最大値を求めよ。




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  1. 2011/11/27(日) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪大 理系 2008
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2008大阪大 理系数学3





第3問

  Nを2以上の自然数とする。

 (1) 関数$\small\sf{\sf f(x)=(N-x)\log x}$ を1≦x≦Nの範囲で考える。このとき、曲線
    y=f(x)は上に凸であり、関数f(x)は極大値を1つだけとる。このこと
    を示せ。

 (2) 自然数の列a1,a2,・・・・,aN
      an=nN-n  (n=1,2,・・・,N)
    で定める。a1,a2,・・・・,aNのうちで最大の値をMとし、M=an
    なるnの個数をkとする。このとき、k≦2であることを示せ。

 (3) (2)でk=2となるのは、Nが2のときだけであることを示せ。




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  1. 2011/11/28(月) 23:57:00|
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2008大阪大 理系数学4




第4問

  tを負の実数とし、xy平面上で曲線y=22x+2tと曲線y=2x+3tおよび
  y軸で囲まれる部分をDとする。

 (1) Dをx軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積V(t)を求めよ。

 (2) tが負の実数の範囲を動くとき、V(t)の最大値を求めよ。




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  1. 2011/11/29(火) 23:57:00|
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2008大阪大 理系数学5





第5問

  1枚の硬貨を繰り返し投げる反復試行を行い、表が500回続けて出たときに
  終わるものとする。nを500以上の自然数とするとき、この反復試行がn回目
  で終わる確率をp(n)とする。

 (1) 501≦n≦1000のとき、p(n)はnに関係なく一定の値になることを示し、
    またその値を求めよ。

 (2) p(1002)-p(1001)の値を求めよ。

 (3) 1002≦n≦1500のとき、p(n+1)-p(n)の値を求めよ。




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  1. 2011/11/30(水) 23:57:00|
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