第1問
次の極限が有限の値となりように定数a、bを求め、
そのときの極限値を求めよ。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{9-8x+7\cos 2x}-\left(a+bx \right)}{x^2}\end{align*}}$
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
与えられた極限がとる有限値をLとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow 0}\bigg\{\sqrt{9-8x+7\cos 2x}-\left(a+bx \right)\bigg\}=L\cdot \lim_{x\rightarrow 0}\ x^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sqrt{9-0+7\cdot 1}-\left(a+0 \right)=L\cdot 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ a=4\ }\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{9-8x+7\cos 2x}-\left(4+bx \right)}{x^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\left(9-8x+7\cos 2x\right)-\left(4+bx \right)^2}{x^2\left\{ \sqrt{9-8x+7\cos 2x}+\left(4+bx \right)\right\}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{1}{8}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{7\left(1-\cos 2x\right)+8\left(b+1 \right)x+b^2x^2}{x^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{1}{8}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{b^2x^2+14\sin^2x+8\left(b+1 \right)x}{x^2}\end{align*}}$ ←半角公式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{1}{8}\left\{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{b^2x^2}{x^2}+14\lim_{x\rightarrow 0}\left( \frac{\sin x}{x}\right)^2+\lim_{x\rightarrow 0}\frac{8\left(b+1 \right)}{x}\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{1}{8}\left\{b^2+14+8\left(b+1 \right)\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x}\right\}\end{align*}}$ ．
これが有限値をとるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b+1=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ b=-1\ }\end{align*}}$
であればよく、このとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L=-\frac{1}{8}\left\{(-1)^2+14+0\right\}=\underline{\ -\frac{15}{8}\ \ }\end{align*}}$
よくある問題ですね。似たような問題は解いたことがあるはずです。
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- 2014/11/05(水) 23:57:00|
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第2問
関数f(x)=axe-x+bに対して、曲線C：y=f(x)を考える。
ただし、a、bは定数で、eは自然対数の底である。曲線Cは
点P(2，－1)を通り、この点においてCと楕円x2+2y2=6
とは共通接線L：y=g(x)を持つとする。次の問いに答えよ。
(1) a、bの値およびg(x)を求めよ。
(2) x＜2のときf(x)＞g(x)であることを示せ。
(3) 0≦x≦2の範囲で、曲線Cと直線Lおよびy軸とで囲まれた
図形の面積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
楕円x2+2y2=6の点P(2，－1)における接線Lは
L：2x+2･（－y)=6 ⇔ y=x－3
なので、
g(x)=x－3
である。
CはPを通るので、
f(2)=2ae-2+b=－1 ……(ⅰ)
また、Cの導関数は、
ｆ’（x）=a(1－x)e-x
であり、Cは点PでLと接するので、
ｆ’（2）=－ae-2=1 ……(ⅱ)
(ⅰ)、(ⅱ)を連立させて解くと、
a=－e2、 b=1
(2)
(1)より
f(x)=－xe2-x+1
であり、関数h(x)を
h(x)=f(x)－g(x)=－xe2-x－x+4
とおくと、
h’(x)=(x－1)e2-x－1
h”(x)=(2－x)e2-x
となる。
x＜2の範囲において、常にh”(x)＞0なので、
h’(x)はこの区間で単調に増加する。
このことと、h’(2)=0より、x＜2で常にh’(x)＜0
となる。
よって、h(x)はx＜2で単調に減少し、
h(2)=0なので、この区間で常にh(x)＞0が成り立つ。
よって、x＜2のときf(x)＞g(x)である。
(3)
(2)より、0＜x＜2の範囲でCはLの上部にあるので、
求める面積をSとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_0^2\bigg\{f\ (x)-g\ (x)\bigg\}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^2\left(-xe^{2-x}-x+4 \right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\bigg[xe^{2-x}\bigg]_0^2-\int_0^2e^{2-x}dx+\left[-\frac{1}{2}x^2+4x\right]_0^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2+\bigg[e^{2-x}\bigg]_0^2+\left(-2+8\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 9-e^2\ }\end{align*}}$
(2)は、増減表をかくと分かりやすいと思います。
（面倒なので省略してますがｗｗ）
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- 2014/11/06(木) 23:57:00|
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第3問
空間内に4点O(0，0，0)、A(2，0，0)、B(0，2，0)、
C(0，0，2)がある。線分ABの中点をDとし、線分OCの
中点をEとする。線分OA上に点P(p，0，0) （0＜p＜2）
をとり、平面PDEと線分BCの交点をQとする。次の問い
に答えよ。
(1) 点Qの座標をpを用いて表せ。
(2) 線分PQの中点は、直線DE上にあることを示せ。
(3) 四角形PDQEの面積をpの式で表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
点Qは、3点D(1，1，0)、E(0，0，1)、P(p，0，0)を
含む平面上にあるので、r+s+t=1 ……(ⅰ)
を満たす実数r、s、tを用いて、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}=r\overrightarrow{\sf OD}+s\overrightarrow{\sf OE}+t\overrightarrow{\sf OP}=\left(r+pt\ ,\ r\ ,\ s \right)\end{align*}}$
と表すことができる。
また、Qは線分BC上にあるので、実数uを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}=u\overrightarrow{\sf OB}+(1-u)\overrightarrow{\sf OC}=\left(0\ ,\ 2u\ ,\ 2(1-u) \right)\end{align*}}$
とも表せる。
よって、これらの成分を比較すると、
r+pt=0 ……(ⅱ)
r=2u ……(ⅲ)
s=2(1－u) ……(ⅳ)
(ⅰ)～(ⅳ)を連立させて解くと、
t=－1、 r=p、 s=2－p
となるので、点Qの座標は、pを用いて
Q(0，p，2－p)
と表すことができる。
(2)
PQの中点をRとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OR}=\left( \frac{p}{2}\ ,\ \frac{p}{2}\ ,\ \frac{2-p}{2}\right)\end{align*}}$
より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf ER}=\left( \frac{p}{2}\ ,\ \frac{p}{2}\ ,\ -\frac{p}{2}\right)=\frac{p}{2}\left(1\ ,\ 1\ ,\ -1 \right)=\frac{p}{2}\ \overrightarrow{\sf ED}\end{align*}}$
となるので、3点E、R、Dは同一直線上にある。
よって、PQの中点は直線DE上にある。
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf EP}=\left(p\ ,\ 0\ ,\ -1 \right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf ED}=\left(1\ ,\ 1\ ,\ -1 \right)\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle DEP=\frac{1}{2}\sqrt{\left|\overrightarrow{\sf ED} \right|^2\left|\overrightarrow{\sf EP} \right|^2-\left( \overrightarrow{\sf ED}\cdot\overrightarrow{\sf EP}\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\sqrt{3\left(p^2+1 \right)-\left(p+1 \right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\sqrt{2\left(p^2-p+1 \right)}\end{align*}}$
(2)より、PQの中点は直線DE上にあるので、
△DEP=△DEQ．
よって、四角形PDQEの面積をSとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=2\triangle DEP=\underline{\ \sqrt{2\left(p^2-p+1 \right)}\ }\end{align*}}$
(1)さえできれば、(2)、(3)は簡単です。
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- 2014/11/07(金) 23:57:00|
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第4問
実数を成分とする2次の行列A、XとJ=$\small\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf 0&\sf -1 \\ \sf 1 & \sf 0 \end{pmatrix}\end{align*}}$ について、
JA=AXが成り立っている。次の問いに答えよ。
(1) Aが逆行列を持つとき、X2+E=Oであることを示せ。
ただし、Eは単位行列、Oは零行列を表す。
(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf c & \sf d \end{pmatrix}\ ,\ A'=\begin{pmatrix} \sf a&\sf c \\ \sf b & \sf d \end{pmatrix}\end{align*}}$ のとき、A’JAおよびA’J2Aを
計算せよ。
(3) Aが逆行列を持たないとき、A=Oであることを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
JA=AX の両辺に左からAの逆行列A-1をかけると、
A-1JA=X
となるので、
X2=A-1JAA-1JA=A-1J2A．
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf J^2=\begin{pmatrix} \sf 0&\sf -1 \\ \sf 1 & \sf 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf 0&\sf -1 \\ \sf 1 & \sf 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf -1&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf -1 \end{pmatrix}=-E\end{align*}}$
なので、
X2=－A-1A=－E
⇔ X2+E=O
が成り立つ。
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A'JA=\begin{pmatrix} \sf a&\sf c \\ \sf b & \sf d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf 0&\sf -1 \\ \sf 1 & \sf 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf c & \sf d \end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\begin{pmatrix} \sf c&\sf -a \\ \sf d & \sf -b \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf c & \sf d \end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \begin{pmatrix} \sf 0&\sf -(ad-bc) \\ \sf ad-bc & \sf 0 \end{pmatrix}\ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A'J^2A=-A'A\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\begin{pmatrix} \sf a&\sf c \\ \sf b & \sf d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf c & \sf d \end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ -\begin{pmatrix} \sf a^2+c^2&\sf ab+cd \\ \sf ab+cd & \sf b^2+d^2 \end{pmatrix}\ }\end{align*}}$
(3)
(2)のAおよびA’に対して、Aの逆行列が存在しないとき、
ad－bd=0
なので、
A’JA=O ……(ⅰ)
が成り立つ。
また、
A’J2A=A’JJA
=A’JAX ←JA=AXより
=O ←(ⅱ)より
なので、(2)で求めた成分と比較すると、
a2+c2=b2+d2=ab+cd=0．
これを満たす実数a、b、c、dの値は、
a=b=c=d=0
なので、A=Oである。
(3)では、(2)の結果をうまく使ってください。
なるべくなら成分計算は避けたいのですもんね。
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- 2014/11/08(土) 23:57:00|
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