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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2004大阪市立大 理系数学1



第1問

  自然数nに対して
        $\small\sf{\begin{align*} \rm I_{\sf n}\sf =\int_0^1x^ne^{-x}dx\end{align*}}$
  とおく。ただし、eは自然対数の底である。

 (1) 次の関係式が成り立つことを示せ。
        $\small\sf{\begin{align*} \rm I_{\sf n+1}\sf =-\frac{1}{e}+\left(n+1 \right)\rm I_{\sf n}\end{align*}}$

 (2) 次の等式を示せ。
        $\small\sf{\begin{align*} \rm I_{\sf n}\sf =\frac{n!}{e}\left(e-1-\sum_{k=1}^n\frac{1}{k!}\right)\end{align*}}$




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  1. 2014/10/28(火) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪市立大 理系 2004
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2004大阪市立大 理系数学2



第2問

  x>0の範囲で
        $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{\sin x}{x}\end{align*}}$
  を考える。

 (1) f(x)は、0<x≦$\small\sf{\pi}$ において減少することを示せ。

 (2) nを自然数とする。f(x)が極小値・極大値をとるxのうちで、
        (2n-1)$\small\sf{\pi}$ ≦x≦(2n+1)$\small\sf{\pi}$
    をみたすものが、それぞれちょうど1つずつ存在することを
    示せ。

 (3) f(x)が極値をとるxの値を小さい方から順に
        x1、x2、x3、… (0<x1<x2<x3<…)
    とするとき、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\cos x_n=0\end{align*}}$
    を示せ。



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  1. 2014/10/29(水) 23:57:00|
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2004大阪市立大 理系数学3



第3問

  2次正方行列 $\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf c & \sf d \end{pmatrix}\end{align*}}$ に対して、s=-(a+d)、t=ad-bc
  とおく。$\small\sf{\begin{align*} \sf P=\begin{pmatrix} \sf p&\sf x \\ \sf q & \sf y \end{pmatrix}\end{align*}}$ について、$\small\sf{\begin{align*} \sf AP=P\begin{pmatrix} \sf 0&\sf -t \\ \sf 1 & \sf -s \end{pmatrix}\end{align*}}$ となるための必要十分
  条件は、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \binom{x}{y}=A\binom{p}{q}\end{align*}}$
  であることを示せ。



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  1. 2014/10/30(木) 23:57:00|
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2004大阪市立大 理系数学4



第4問

  xy平面上の3点O(0,0)、A(1,-t)、B(0,-t)
  (0<t<$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\sqrt3}\end{align*}}$ )に対し、y軸上にB、O、C、Dの順に並ぶ
  点C、Dを
        ∠OAO=∠OAC=∠CAD
  となるようにとる。また、線分BA上の点Eを
        3∠BDE=∠BDA
  となるようにとる。

 (1) 直線ACの方程式を求めよ。

 (2) 直線DEの方程式を求めよ。

 (3) 直線ACと直線DEの交点をP(x1,y1)とするとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{y_1}{x_1}\end{align*}}$
    の値を求めよ。



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  1. 2014/10/31(金) 23:57:00|
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