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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2005大阪市立大 理系数学1



第1問

  実数を成分とする2次の正方行列のうち、その(1,1)成分、
  (2,2)成分が正で、(2,1)成分が0である行列の全体集合
  をMとする。Eは2次の単位行列を表すものとして、次の問
  いに答えよ。

 (1) Aが集合Mに属するならば、B(A+2E)=3AをみたすB
    でMに属するものがただ一つ存在することを示せ。

 (2) 2次の正方行列An (n=1,2,3,…)を
        $\small\sf{\begin{align*} \sf A_1=\begin{pmatrix} \sf 3&\sf 2 \\ \sf 0 & \sf 1 \end{pmatrix}\ \ ,\ \ A_{n+1}\left(A_n+2E\right)=3A_n\end{align*}}$
    によって定めるとき、Anをnを用いて表せ。



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  1. 2014/10/24(金) 23:54:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪市立大 理系 2005
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2005大阪市立大 理系数学2



第2問

  xy座標平面において、原点O(0,0)を中心とする半径1の円Sと、
  2点A(0,2)、B(0,-2)を考える。S上の点P(cos$\small\sf{\theta}$ ,sin$\small\sf{\theta}$ )
  に対し、直線APとx軸との交点をXA、直線BPとx軸との交点を
  XBとする。次の問いに答えよ。

 (1) 2点XA、XBのx座標をそれぞれ$\small\sf{\theta}$ を用いて表せ。

 (2) 0<$\small\sf{\theta}$ <$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ の範囲で点P(cos$\small\sf{\theta}$ ,sin$\small\sf{\theta}$ )がS上を動くとき、
    線分XAXBの長さの最大値を求めよ。
        




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  1. 2014/10/24(金) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪市立大 理系 2005
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2005大阪市立大 理系数学3



第3問

  Mを2以上の自然数とする。Nを自然数全体の集合とし、
  n∈Nについて、集合
        $\small\sf{\begin{align*} \sf A_n=\left\{m\bigg|\ m\in N\ ,\ m\leqq\frac{M}{n}\right\}\end{align*}}$
  の要素の個数をanとする。S(M)=a1+a2+…+aMとおくとき、
  次の問いに答えよ。

 (1) 不等式 $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{n=2}^M\frac{M}{n}\lt S\ (M)\leqq\sum_{n=1}^M\frac{M}{n}\end{align*}}$ が成り立つことを示せ。

 (2) 関数$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{1}{x}\end{align*}}$ の定積分を用いて、
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{M\rightarrow\infty}\frac{S\ (M)}{M\log M}=1\end{align*}}$
    であることを示せ。



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  1. 2014/10/25(土) 23:57:00|
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2005大阪市立大 理系数学4



第4問

  座標空間に3点A(0,0,1)、B(1,0,0)、P(1,tan$\small\sf{\theta}$ ,0)をとる。
  座標空間の原点をO(0,0,0)で表す。線分OP上に点QをOP・OQ
  =1となるようにとり、s=BQとおくとき、次の問いに答えよ。

 (1) sを$\small\sf{\theta}$ を用いて表し、線分の長さAQをsのみを用いて表せ。

 (2) 0<$\small\sf{\theta}$ <$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ のとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{ds}{d\theta}=\frac{AQ}{AP}\end{align*}}$ であることを示せ。

 (3) $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (\theta)=\frac{1}{AP}\end{align*}}$ とおくとき、定積分 $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\frac{\pi}{4}}f\ (\theta)\ d\theta\end{align*}}$ を求めよ。





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  1. 2014/10/26(日) 23:57:00|
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2005大阪市立大 理系数学5



第5問

  座標平面上の原点Oを中心とする半径1の円S上に、異なる3点
  A(a1,a2)、B(b1,b2)、C(c1,c2)がある。実数$\small\sf{\alpha}$ 、$\small\sf{\beta}$ 、γ
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \binom{c_1}{c_2}=\begin{pmatrix} \sf a_1 &\sf -a_2 \\ \sf a_2 & \sf a_1 \end{pmatrix}\binom{\alpha}{\beta}\end{align*}}$
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \gamma=\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$
  で定める。点D(d1,d2) を
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \binom{d_1}{d_2}=\begin{pmatrix} \sf -\alpha &\sf \beta \\ \sf -\beta & \sf -\alpha \end{pmatrix}\binom{b_1}{b_2}\end{align*}}$
  で定め、線分AD、BCの中点をそれぞれM、Nとする。次の問いに
  答えよ。

 (1) $\small\sf{\alpha}$ 2+$\small\sf{\beta}$ 2=1を示し、これを用いて、点Dが円S上にある
    ことを示せ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OC}\ ,\ \overrightarrow{\sf OB}\cdot\overrightarrow{\sf OD}\ ,\ \overrightarrow{\sf OC}\cdot\overrightarrow{\sf OD}\end{align*}}$ を$\small\sf{\alpha}$ 、$\small\sf{\beta}$ 、γを用いて表せ。

 (3) 2直線AD、BCは直交することを示せ。また、2直線AD、BCの
    交点をHとすると
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OH}=\overrightarrow{\sf OM}+\overrightarrow{\sf ON}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OB}+\overrightarrow{\sf OC}+\overrightarrow{\sf OD}\right)\end{align*}}$
    が成り立つことを示せ。




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  1. 2014/10/27(月) 23:57:00|
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