第1問
実数を成分とする2次の正方行列のうち、その(1，1)成分、
(2，2)成分が正で、(2，1)成分が0である行列の全体集合
をMとする。Eは2次の単位行列を表すものとして、次の問
いに答えよ。
(1) Aが集合Mに属するならば、B(A+2E)=3AをみたすB
でMに属するものがただ一つ存在することを示せ。
(2) 2次の正方行列An （n=1，2，3，…）を
$\small\sf{\begin{align*} \sf A_1=\begin{pmatrix} \sf 3&\sf 2 \\ \sf 0 & \sf 1 \end{pmatrix}\ \ ,\ \ A_{n+1}\left(A_n+2E\right)=3A_n\end{align*}}$
によって定めるとき、Anをnを用いて表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf 0 & \sf d \end{pmatrix}\ \ \ \left(a,d>0\right)\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A+2E=\begin{pmatrix} \sf a+2&\sf b \\ \sf 0 & \sf d+2 \end{pmatrix}\end{align*}}$
のデターミナントは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf det\left(A+2E\right)=\left(a+2\right)\left(d+2\right)\ne 0\ \ \ \ \left(\because\ a,d>0\right)\end{align*}}$
となるので、A+2Eの逆行列が存在し、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(A+2E\right)^{-1}=\frac{1}{(a+2)(d+2)}\begin{pmatrix} \sf d+2&\sf -b \\ \sf 0 & \sf a+2 \end{pmatrix}\end{align*}}$ ．
これを、B(A+2E)=3Aの両辺に右からかけると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B=3\begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf 0 & \sf d \end{pmatrix}\cdot\frac{1}{(a+2)(d+2)}\begin{pmatrix} \sf d+2&\sf -b \\ \sf 0 & \sf a+2 \end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{3}{(a+2)(d+2)}\begin{pmatrix} \sf a(d+2)&\sf 2b \\ \sf 0 & \sf d(a+2)\end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\begin{pmatrix} \sf \frac{3a}{a+2}&\sf \frac{6b}{(a+2)(d+2)} \\ \sf 0 & \sf \frac{3d}{d+2}\end{pmatrix}\end{align*}}$ ……(#)
となる。
a、d＞0より、Bの(1，1)成分と(2，2)成分はともに正であり、
(2，1)成分は0なので、BはMに属する。
よって、題意は示された。
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A_n=\begin{pmatrix} \sf a_n&\sf b_n \\ \sf c_n & \sf d_n \end{pmatrix}\ \ \ \ \left(n=1,2,3,\ldots\right)\end{align*}}$
とおくと、
a1=3、 b1=2、 c1=0、 d1=1
なので、A1はMに属する。
よって、(#)と同様に計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_2=\frac{3a_1}{a_1+2}=\frac{9}{5}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_2=\frac{6b_1}{\left(a_1+2\right)\left(d_1+2\right)}=\frac{4}{5}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c_2=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf d_2=\frac{3d_1}{d_1+2}=1\end{align*}}$
となり、A2もMに属する。
以下も順次計算していくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_3=\frac{27}{19}\ \ ,\ \ b_3=\frac{8}{19}\ \ ,\ \ c_3=0\ \ ,\ \ d_3=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_4=\frac{81}{65}\ \ ,\ \ b_4=\frac{16}{65}\ \ ,\ \ c_4=0\ \ ,\ \ d_4=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_5=\frac{243}{211}\ \ ,\ \ b_5=\frac{32}{211}\ \ ,\ \ c_5=0\ \ ,\ \ d_5=1\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=\frac{3^n}{3^n-2^n}\ \ ,\ \ b_n=\frac{2^n}{3^n-2^n}\ \ ,\ \ c_n=0\ \ ,\ \ d_n=1\end{align*}}$ ……(*)
と類推することができる。
これを数学的帰納法で示す。
(ⅰ) n=1のときは自明
(ⅱ) n=kのとき(*)が成り立つと仮定すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_k=\frac{3^k}{3^k-2^k}\ \ ,\ \ b_k=\frac{2^k}{3^k-2^k}\ \ ,\ \ c_k=0\ \ ,\ \ d_k=1\end{align*}}$
となり、AkはMに属することになるので、
(#)と同様に計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{k+1}=\frac{3a_k}{a_k+2}=\frac{\frac{3^k}{3^k-2^k}\cdot 3}{\frac{3^k}{3^k-2^k}+2}=\frac{3^{k+1}}{3^{k+1}-2^{k+1}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_{k+1}=\frac{6b_k}{\left(a_k+2\right)\left(d_k+2\right)}=\frac{\frac{2^k}{3^k-2^k}\cdot 6}{\left(\frac{3^k}{3^k-2^k}+2\right)\cdot (1+2)}=\frac{2^{k+1}}{3^{k+1}-2^{k+1}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c_{k+1}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf d_{k+1}=\frac{3d_k}{d_k+2}=\frac{3\cdot 1}{1+2}=1\end{align*}}$
となり、n=k+1のときの(*)が成り立つ。
以上より(*)の類推は正しいことが証明されたので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ A_n=\begin{pmatrix} \sf \frac{3^n}{3^n-2^n}&\sf \frac{2^n}{3^n-2^n} \\ \sf 0 & \sf 1 \end{pmatrix}\ }\end{align*}}$
(2)の漸化式を直接解くこともできなくもないのですが、少し煩雑です。
A2、A3ぐらいまで具体的に求めると、類推できると思いますが。
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- 2014/10/24(金) 23:54:00|
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第2問
xy座標平面において、原点O(0，0)を中心とする半径1の円Sと、
2点A(0，2)、B(0，－2)を考える。S上の点P(cos$\small\sf{\theta}$ ，sin$\small\sf{\theta}$ )
に対し、直線APとx軸との交点をXA、直線BPとx軸との交点を
XBとする。次の問いに答えよ。
(1) 2点XA、XBのx座標をそれぞれ$\small\sf{\theta}$ を用いて表せ。
(2) 0＜$\small\sf{\theta}$ ＜$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ の範囲で点P(cos$\small\sf{\theta}$ ，sin$\small\sf{\theta}$ )がS上を動くとき、
線分XAXBの長さの最大値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
点XA、XBのx座標をそれぞれxA、xBとおく。
(1)
cos$\scriptsize\sf{\theta}$ =0のとき
直線AP、BPともにy軸と一致するので、
xA=xB=0
cos$\scriptsize\sf{\theta}$ ≠0のとき
直線AP、BPの式はそれぞれ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AP:\ y=-\frac{2-\sin\theta}{\cos\theta}\ x+2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf BP:\ y=\frac{2+\sin\theta}{\cos\theta}\ x-2\end{align*}}$
となり、それぞれ(xA，0)、(xB，0)を通るので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0=-\frac{2-\sin\theta}{\cos\theta}\ x_A+2\ \ \Leftrightarrow\ \ x_A=\frac{2\cos\theta}{2-\sin\theta}\ \ \ \left(\because\ -1\leqq \sin\theta\leqq 1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0=\frac{2+\sin\theta}{\cos\theta}\ x_B-2\ \ \Leftrightarrow\ \ x_B=\frac{2\cos\theta}{2+\sin\theta}\ \ \ \left(\because\ -1\leqq \sin\theta\leqq 1\right)\end{align*}}$
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ x_A=\frac{2\cos\theta}{2-\sin\theta}\ \ ,\ \ x_B=\frac{2\cos\theta}{2+\sin\theta}\ }\end{align*}}$
(2)
線分XAXBの長さをf($\scriptsize\sf{\theta}$ )とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (\theta)=\bigg|x_A-x_B\bigg|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left|\frac{2\cos\theta}{2-\sin\theta}-\frac{2\cos\theta}{2+\sin\theta}\right|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left|\frac{4\sin\theta\cos\theta}{4-\sin^2\theta}\right|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{4\sin\theta\cos\theta}{4-\sin^2\theta}\ \ \ \left(\because\ 0<\theta <\frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2\sin 2\theta}{4-\frac{1-\cos 2\theta}{2}}\end{align*}}$ ←倍角公式・半角公式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{4\sin 2\theta}{7+\cos 2\theta}\end{align*}}$ ．
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(\theta)=4\cdot\frac{2\cos 2\theta\left(7+\cos 2\theta\right)-\sin2\theta\left(-2\sin2\theta\right)}{\left(7+\cos 2\theta\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =4\cdot\frac{2\left(\cos^22\theta+\sin^22\theta\right)+14\cos2\theta}{\left(7+\cos 2\theta\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{8\left(7\cos 2\theta+1\right)}{\left(7+\cos 2\theta\right)^2}\end{align*}}$
0＜2$\scriptsize\sf{\theta}$ ＜$\scriptsize\sf{\pi}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos2\theta=-\frac{1}{7}\end{align*}}$
となる$\scriptsize\sf{\theta}$ が、0＜$\scriptsize\sf{\theta}$ ＜$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ の範囲にただ1つ存在し、
その値を$\scriptsize\sf{\alpha}$ とおくと、f($\scriptsize\sf{\theta}$ )の増減は次のようになる。
ここで、上で定めた$\scriptsize\sf{\alpha}$ に対して、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin2\alpha=\sqrt{1-\left(-\frac{1}{7}\right)^2}=\frac{4\sqrt3}{7}\ \ (>0)\end{align*}}$
なので、f($\scriptsize\sf{\theta}$ )の最大値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (\alpha)=\frac{4\sin 2\alpha}{7+\cos2\alpha}=\frac{4\cdot 4\sqrt3}{7-\frac{1}{7}}=\underline{\ \frac{1}{\sqrt3}\ }\end{align*}}$
となる。
(2)は、いろいろな考え方がありますが、
微分してしまうのが一番考えやすいと思います。
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- 2014/10/24(金) 23:57:00|
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第3問
Mを2以上の自然数とする。Nを自然数全体の集合とし、
n∈Nについて、集合
$\small\sf{\begin{align*} \sf A_n=\left\{m\bigg|\ m\in N\ ,\ m\leqq\frac{M}{n}\right\}\end{align*}}$
の要素の個数をanとする。S(M)=a1+a2+…+aMとおくとき、
次の問いに答えよ。
(1) 不等式 $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{n=2}^M\frac{M}{n}\lt S\ (M)\leqq\sum_{n=1}^M\frac{M}{n}\end{align*}}$ が成り立つことを示せ。
(2) 関数$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{1}{x}\end{align*}}$ の定積分を用いて、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{M\rightarrow\infty}\frac{S\ (M)}{M\log M}=1\end{align*}}$
であることを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
実数xに対して、xを越えない最大の整数を[x]で表すことにすると、
集合Anの要素は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A_n=\left\{1\ ,\ 2\ ,\ \ldots\ ,\ \left[\frac{M}{n}\right]\right\}\end{align*}}$
なので、要素の個数anは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=\left[\frac{M}{n}\right]\ \ \ \left(n=1,2,\ldots,M\right)\end{align*}}$
と表せる。記号[ ]の定義から不等式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{M}{n}-1\lt a_n\leqq \frac{M}{n}\end{align*}}$
が得られ、これはn=1，2，…，Mに対して成り立つので、
和をとると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{n=1}^M\left(\frac{M}{n}-1\right)<\sum_{n=1}^M\ a_n\leqq \sum_{n=1}^M\frac{M}{n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(\sum_{n=1}^M\frac{M}{n}\right)-M\lt S\ (M)\leqq \sum_{n=1}^M\frac{M}{n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sum_{n=2}^M\frac{M}{n}\lt S\ (M)\leqq \sum_{n=1}^M\frac{M}{n}\end{align*}}$
(2)
自然数kに対して、n≦x＜n+1となる実数xを考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{n+1}<\frac{1}{x}\leqq \frac{1}{n}\end{align*}}$
が成り立つので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_n^{n+1}\frac{1}{n+1}\ dx<\int_n^{n+1}\frac{1}{x}\ dx<\int_n^{n+1}\frac{1}{n}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{n+1}<\int_n^{n+1}\frac{1}{x}\ dx<\frac{1}{n}\end{align*}}$ ．
この不等式は、n=1，2，…，M－1に対して成り立つので、
和をとると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{n=1}^{M-1}\frac{1}{n+1}<\sum_{n=1}^{M-1}\int_n^{n+1}\frac{1}{x}\ dx<\sum_{n=1}^{M-1}\frac{1}{n}\end{align*}}$ ……(ⅰ)
ここで(ⅰ)の中辺は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{n=1}^{M-1}\int_k^{n+1}\frac{1}{x}\ dx=\int_1^{M}\frac{1}{x}\ dx=\bigg[\log x\bigg]_1^M=\log M\end{align*}}$
となるので、(ⅰ)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{n=1}^{M-1}\frac{1}{n+1}<\log M<\sum_{n=1}^{M-1}\frac{1}{n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sum_{n=1}^{M-1}\frac{M}{n+1}\lt M\log M<\sum_{n=1}^{M-1}\frac{M}{n}\end{align*}}$ ……(ⅱ)
と変形できる。
(ⅱ)の前の2項より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{n=1}^{M}\frac{M}{n}=\frac{M}{1}+\sum_{n=1}^{M-1}\frac{M}{n+1}\lt M+M\log M\end{align*}}$ ……(ⅲ)
(ⅱ)の後ろの2項より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{n=2}^{M}\frac{M}{n}=\left(\sum_{n=1}^{M-1}\frac{M}{n}\right)-\frac{M}{1}+\frac{M}{M}>M\log M-M+1\end{align*}}$ ……(ⅳ)
(ⅲ)、(ⅳ)と(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf M\log M-M+1\lt S\ (M)\lt M+M\log M\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 1-\frac{1}{\log M}+\frac{1}{M\log M}<\frac{S\ (M)}{M\log M}<\frac{1}{\log M}+1\ \ \ \left(\because\ M\log M>0\right)\end{align*}}$
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{M\rightarrow\infty}\frac{1}{\log M}=\lim_{M\rightarrow\infty}\frac{1}{M\log M}=0\end{align*}}$
なので、はさみうちの原理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \lim_{M\rightarrow\infty}\frac{S\ (M)}{M\log M}=1\ }\end{align*}}$
となり、題意は示された。
(ⅲ)、(ⅳ)の処理で不等号の向きを逆にする必要があります。
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- 2014/10/25(土) 23:57:00|
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第4問
座標空間に3点A(0，0，1)、B(1，0，0)、P(1，tan$\small\sf{\theta}$ ，0)をとる。
座標空間の原点をO(0，0，0)で表す。線分OP上に点QをOP・OQ
=1となるようにとり、s=BQとおくとき、次の問いに答えよ。
(1) sを$\small\sf{\theta}$ を用いて表し、線分の長さAQをsのみを用いて表せ。
(2) 0＜$\small\sf{\theta}$ ＜$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ のとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{ds}{d\theta}=\frac{AQ}{AP}\end{align*}}$ であることを示せ。
(3) $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (\theta)=\frac{1}{AP}\end{align*}}$ とおくとき、定積分 $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\frac{\pi}{4}}f\ (\theta)\ d\theta\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
点Qは線分OP上にあるので
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}=k\ \overrightarrow{\sf OP}\ \ \ \left(0\leqq k\leqq 1\right)\end{align*}}$
と表すことができる。よって、題意より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OP\cdot OQ=k\ \left|\overrightarrow{\sf OP}\right|^2=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ k\left(1^2+\tan^2\theta+0^2\right)=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{k}{\cos^2\theta}=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ k=\cos^2\theta\end{align*}}$ ．
これより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}=\cos^2\theta\ \overrightarrow{\sf OP}=\left(\cos^2\theta\ ,\ \sin\theta\cos\theta\ ,\ 0 \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BQ}=\left(\cos^2\theta-1\ ,\ \sin\theta\cos\theta\ ,\ 0 \right)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s=\sqrt{\left(\cos^2\theta-1\right)^2+\left(\sin^2\theta\cos^2\theta\right)+0}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{\left(-\sin^2\theta\right)^2+\sin^2\theta\left(1-\sin^2\theta\right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{\sin^2\theta}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \left|\ \sin\theta\ \right|}\end{align*}}$ ……・(#)
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AQ}=\left(\cos^2\theta\ ,\ \sin\theta\cos\theta\ ,\ -1 \right)\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AQ=\sqrt{\left(\cos^2\theta\right)^2+\left(\sin^2\theta\cos^2\theta\right)+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{\left(1-\sin^2\theta\right)^2+\sin^2\theta\left(1-\sin^2\theta\right)+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{2-\sin^2\theta}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \sqrt{2-s^2}\ }\end{align*}}$ ←(#)より
(2)
0＜$\scriptsize\sf{\theta}$ ＜$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ の範囲において(#)より
s=sin$\scriptsize\sf{\theta}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{ds}{d\theta}=\cos\theta\end{align*}}$ ……(ⅰ)
一方、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AP}=\left(1\ ,\ \tan\theta\ ,\ -1 \right)\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AP=\sqrt{1+\tan^2\theta+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{\frac{1}{\cos^2\theta}+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\sqrt{1+\cos^2\theta}}{\cos\theta}\ \ \ \left(\because\ 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\sqrt{2-\sin^2\theta}}{\cos\theta}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{AQ}{\cos\theta}\end{align*}}$ ←(1)より
よって、これと(ⅰ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{AQ}{AP}=\frac{ds}{d\theta}=\cos\theta\end{align*}}$
となるので、題意は示された。
(3)
求める定積分をIとおく。
(#)のように置換すると、(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{AP}=\frac{1}{AQ}\cdot\frac{ds}{d\theta}\end{align*}}$
であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \theta:\ 0\ \rightarrow\ \frac{\pi}{4}\end{align*}}$ のとき $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s:\ 0\ \rightarrow\ \frac{1}{\sqrt2}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \rm I\sf =\int_0^{\pi/4}\frac{1}{AP}\ d\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{1/\sqrt2}\frac{1}{AQ}\ ds\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{1/\sqrt2}\frac{1}{\sqrt{2-s^2}}\ ds\end{align*}}$ ←(1)より
となる。
さらに、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s=\sqrt2 \sin t\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{ds}{dt}=\sqrt2\cos t\end{align*}}$
であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s:\ 0\ \rightarrow\ \frac{1}{\sqrt2}\end{align*}}$ のとき $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t:\ 0\ \rightarrow\ \frac{\pi}{6}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \rm I\sf =\int_0^{\pi /6}\frac{1}{\sqrt{2-2\sin^2 t}}\cdot\sqrt2\cos t\ dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{\pi /6}\ dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{\pi}{6}\ }\end{align*}}$
(3)は、(2)をうまく使いましょう。
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- 2014/10/26(日) 23:57:00|
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第5問
座標平面上の原点Oを中心とする半径1の円S上に、異なる3点
A(a1，a2)、B(b1，b2)、C(c1，c2)がある。実数$\small\sf{\alpha}$ 、$\small\sf{\beta}$ 、γを
$\small\sf{\begin{align*} \sf \binom{c_1}{c_2}=\begin{pmatrix} \sf a_1 &\sf -a_2 \\ \sf a_2 & \sf a_1 \end{pmatrix}\binom{\alpha}{\beta}\end{align*}}$
$\small\sf{\begin{align*} \sf \gamma=\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$
で定める。点D(d1，d2) を
$\small\sf{\begin{align*} \sf \binom{d_1}{d_2}=\begin{pmatrix} \sf -\alpha &\sf \beta \\ \sf -\beta & \sf -\alpha \end{pmatrix}\binom{b_1}{b_2}\end{align*}}$
で定め、線分AD、BCの中点をそれぞれM、Nとする。次の問いに
答えよ。
(1) $\small\sf{\alpha}$ 2+$\small\sf{\beta}$ 2=1を示し、これを用いて、点Dが円S上にある
ことを示せ。
(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OC}\ ,\ \overrightarrow{\sf OB}\cdot\overrightarrow{\sf OD}\ ,\ \overrightarrow{\sf OC}\cdot\overrightarrow{\sf OD}\end{align*}}$ を$\small\sf{\alpha}$ 、$\small\sf{\beta}$ 、γを用いて表せ。
(3) 2直線AD、BCは直交することを示せ。また、2直線AD、BCの
交点をHとすると
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OH}=\overrightarrow{\sf OM}+\overrightarrow{\sf ON}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OB}+\overrightarrow{\sf OC}+\overrightarrow{\sf OD}\right)\end{align*}}$
が成り立つことを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
点A、B、Cは円S上にあるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_1^{\ 2}+a_2^{\ 2}=b_1^{\ 2}+b_2^{\ 2}=c_1^{\ 2}+c_2^{\ 2}=1\end{align*}}$ ……(ⅰ)
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \gamma=\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}=a_1b_1+a_2b_2\end{align*}}$ ……(ⅱ)
(1)
まず
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{c_1}{c_2}=\begin{pmatrix} \sf a_1 &\sf -a_2 \\ \sf a_2 & \sf a_1 \end{pmatrix}\binom{\alpha}{\beta}=\binom{a_1\alpha-a_2\beta}{a_2\alpha+a_1\beta}\end{align*}}$
であり、(ⅰ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c_1^{\ 2}+c_2^{\ 2}=\left( a_1\alpha-a_2\beta\right)^2+\left(a_2\alpha+a_1\beta\right)^2=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a_1^{\ 2}\alpha^2+a_2^{\ 2}\beta^2+a_2^{\ 2}\alpha^2+a_1^{\ 2}\beta^2=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left( a_1^{\ 2}+a_2^{\ 2}\right)\left(\alpha^2+\beta^2 \right)=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \alpha^2+\beta^2 =1\end{align*}}$ ……(ⅲ)
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{d_1}{d_2}=\begin{pmatrix} \sf -\alpha &\sf \beta \\ \sf -\beta & \sf -\alpha \end{pmatrix}\binom{b_1}{b_2}=\binom{-b_1\alpha+b_2\beta}{-b_1\beta-b_1\alpha}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf d_1^{\ 2}+d_2^{\ 2}=\left(-b_1\alpha+b_2\beta\right)^2+\left(-b_1\beta-b_1\alpha\right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =b_1^{\ 2}\alpha^2+b_2^{\ 2}\beta^2+b_1^{\ 2}\beta^2+b_1^{\ 2}\alpha^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left( b_1^{\ 2}+b_2^{\ 2}\right)\left(\alpha^2+\beta^2 \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =1\end{align*}}$ ←(ⅰ)、(ⅲ)より
よって、点Dは円S上にある。
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OC}=a_1c_1+a_2c_2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =a_1\left(a_1\alpha-a_2\beta \right)+a_2\left(a_2\alpha+a_1\beta \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =a_1^{\ 2}\alpha+a_2^{\sf 2}\alpha\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(a_1^{\ 2}+a_2^{\sf 2}\right)\alpha\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \alpha\ }\end{align*}}$ ←(ⅰ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}\cdot\overrightarrow{\sf OD}=b_1d_1+b_2d_2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =b_1\left(-b1\alpha+b_2\beta \right)+b_2\left(-b_1\beta-b_2\alpha \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-b_1^{\ 2}\alpha-b_2^{\sf 2}\alpha\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\left(b_1^{\ 2}+b_2^{\sf 2}\right)\alpha\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ -\alpha\ }\end{align*}}$ ←(ⅰ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}\cdot\overrightarrow{\sf OD}=c_1d_1+c_2d_2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(a_1\alpha-a_2\beta \right)\left(-b1\alpha+b_2\beta \right)+\left(a_2\alpha+a_1\beta \right)\left(-b_1\beta-b_2\alpha \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-a_1b_1\alpha^2-a_1b_1\beta^2-a2b_2\alpha^2-a_2b_2\beta^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\left(a_1b_1+a2b_2\right)\left(\alpha^2+\beta^2\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\left(a_1b_1+a2b_2\right)\end{align*}}$ ←(ⅲ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ -\gamma\ }\end{align*}}$ ←(ⅱ)より
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AD}\cdot\overrightarrow{\sf BC}=\left(\overrightarrow{\sf OD}-\overrightarrow{\sf OA} \right)\cdot\left(\overrightarrow{\sf OC}-\overrightarrow{\sf OB}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\overrightarrow{\sf OD}\cdot\overrightarrow{\sf OC}-\overrightarrow{\sf OB}\cdot\overrightarrow{\sf OD}-\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OC}+\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\gamma+\alpha-\alpha+\gamma\end{align*}}$ ←(ⅱ)と(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =0\end{align*}}$
となるので、2直線AD、BCは直交する。……(ⅳ)
また、ADとBCが円Sの直径とならないときは、
M、Nはそれぞれの弦の中点なので、
OM⊥AD、 ON⊥BC
となる。これと(ⅳ)より、四角形OMHNは長方形となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OH}=\overrightarrow{\sf OM}+\overrightarrow{\sf ON}\end{align*}}$ ……(ⅴ)
が成り立つ。さらに、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OM}=\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OD}\right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf ON}=\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{\sf OB}+\overrightarrow{\sf OC}\right)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OH}=\overrightarrow{\sf OM}+\overrightarrow{\sf ON}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OB}+\overrightarrow{\sf OC}+\overrightarrow{\sf OD}\right)\end{align*}}$
が成り立つ。
ADが円Sの直径となるとき、MはOと一致し、
HはNと一致するので、このときも(ⅴ)は成り立つ。
BCが円の直径となるときも同様に(ⅴ)が成り立つ。
途中までは、ひたすら内積の計算です。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2014/10/27(月) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪市立大 理系 2005
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