第1問
m、nを自然数とするとき、次の問いに答えよ。但しmは定数とする。
(1) 1，2，3，…，mnの総和をS(n)とする。S(n)をm、nの式で表せ。
(2) 1，2，3，…，mnの中でmの倍数以外の総和をT(n)とする。
T(n)をm、nの式で表せ。
(3) 次の極限を求めよ。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{T\ (n)}{S\ (n)}\end{align*}}$
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\ (n)=\sum_{k=1}^{mn}k=\underline{\ \frac{1}{2}mn\left(mn+1\right)\ }\end{align*}}$
(2)
1，2，3，…，mnの中でmの倍数の和は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf m+2m+3m+\ldots +mn=m\sum_{k=1}^nk=\frac{1}{2}mn\left(n+1\right)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T\ (n)=\frac{1}{2}mn\left(mn+1\right)-\frac{1}{2}mn\left(n+1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{2}mn^2\left(m-1\right)\ }\end{align*}}$
(3)
(1)、(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{T\ (n)}{S\ (n)}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\frac{1}{2}mn^2\left(m-1\right)}{\frac{1}{2}mn\left(mn+1\right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n\left(m-1\right)}{mn+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{m-1}{m+\frac{1}{n}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{m-1}{m}\ }\end{align*}}$
(1)→(2)→(3)と、そのまま計算です。
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- 2014/10/22(水) 23:54:00|
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第2問
分数関数
$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{2x+1}{x+1}\end{align*}}$
の逆関数をg(x)とする。このとき、次の問いに答えよ。
(1) g(x)を求めよ。
(2) y=g(x)のグラフの概形をかけ。
(3) 不等式g(x)＞－3を解け。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
y=f(x) とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{2x+1}{x+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ yx+y=2x+1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(y-2\right)x=1-y\end{align*}}$
この等式は、y=2では成立しないので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=-\frac{y-1}{y-2}=f^{-1}(y)\end{align*}}$
よって、f(x)の逆関数g(x)は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ g\ (x)=-\frac{x-1}{x-2} }\end{align*}}$
である。
(2)
(1)で求めたg(x)の式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ (x)=-\frac{1}{x-2}-1\end{align*}}$
と変形できるので、y=g(x)のグラフは、
2直線x=2、y=－1を漸近線とする双曲線となる（下図）。
(3)
g(x)=－3となるのは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{x-1}{x-2}=-3\ \ \Leftrightarrow\ \ -x+1=-3x+6\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{5}{2}\end{align*}}$ ．
y=g(x)のグラフと直線y=－3の位置関係を考えると、
不等式g(x)＞－3の解は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \ x<2\ \ ,\ \ \frac{5}{2}\lt x}\end{align*}}$
となる。
(3)の不等式をそのまま解くのであれば、
分母を払う際に場合分けが必要になります。
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- 2014/10/22(水) 23:57:00|
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第3問
次の等式を満たす関数f(x)を求めよ。
$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\cos x+2\int_0^{\frac{\pi}{2}}t\ f\ (t)\sin t\ dt\end{align*}}$
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
定数kを
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\frac{\pi}{2}}t\ f\ (t)\sin t\ dt=k\end{align*}}$ ……(ⅰ)
とおくと、与式より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\cos x+2k\end{align*}}$ ……(ⅱ)
と表せる。
これを(ⅰ)に代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=\int_0^{\pi /2}t\left(\cos t+2k\right)\sin t\ dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{\pi /2}t\left(\frac{1}{2}\sin 2t+2k\sin t\right)dt\end{align*}}$ ←倍角公式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[t\left(-\frac{1}{4}\cos 2t-2k\cos t\right)\right]_0^{\pi /2}-\int_0^{\pi /2}\left(-\frac{1}{4}\cos 2t-2k\cos t\right)dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[t\left(-\frac{1}{4}\cos 2t-2k\cos t\right)+\left(\frac{1}{8}\sin 2t+2k\sin t\right)\right]_0^{\pi /2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi}{8}+2k\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ k=-\frac{\pi}{8}\end{align*}}$
よって、(ⅱ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ f\ (x)=\cos x-\frac{\pi}{4}\ }\end{align*}}$
よくある問題ですね。(ⅰ)がすべてです！
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- 2014/10/23(木) 23:54:00|
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第4問
関数 $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=x-1+\sqrt{|x-1|}\end{align*}}$ について、次の問いに答えよ。
(1) x=1において、f(x)が微分可能でないことを証明せよ。
(2) x≠1のとき、f(x)の導関数f’(x)を求めよ。
(3) f(x)のグラフをCとする。傾きが $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{4}\end{align*}}$ であるCの接線Lの方程式を
求めよ。
(4) x≦0の領域において、接線LとグラフCで囲まれる領域の面積を
求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\left\{ \begin{array}{ll}\sf x-1+\sqrt{x-1} & (\sf 1\leqq x) \\ \sf x-1+\sqrt{1-x} & (\sf x<1) \\\end{array} \right.\end{align*}}$ ……(#)
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow 1+0}\frac{f\ (x)-f\ (1)}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1+0}\frac{\left(x-1+\sqrt{x-1}\right)-0}{x-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{x\rightarrow 1+0}\left(1+\frac{1}{\sqrt{x-1}}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =+\infty\end{align*}}$
より、極限 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow 1}\frac{f\ (x)-f\ (1)}{x-1}\end{align*}}$ が存在しないので、
f(x)はx=1において微分可能ではない。
(2)
x＞1のとき、(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ f\ '(x)=1+\frac{1}{2\sqrt{x-1}}\ }\end{align*}}$
x＜1のとき、(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ f\ '(x)=1-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}\ }\end{align*}}$
(3)
(2)より、x＞1のときは常にf’(x)＞1となるため、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\frac{3}{4}\end{align*}}$
とはならない。
よって、x＜1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=1-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}=\frac{3}{4}\ \ \Leftrightarrow\ \ \sqrt{1-x}=2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=-3\end{align*}}$
となるので、求める接線Lの方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-f\ (-3)=\frac{3}{4}\left(x+3\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ y=\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}\ }\end{align*}}$
(4)
x＜1において、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ ''(x)=-\frac{1}{4\left(\sqrt{1-x}\right)^3}<0\end{align*}}$
なので、f(x)のグラフは上に凸となる。
よって、この範囲では、y=f(x)のグラフは接線Lより常に
下側にあるので、求める面積をSとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_{-3}^0\left\{\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}-\left(x-1+\sqrt{1-x}\right)\right\}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_{-3}^0\left(-\frac{1}{4}x+\frac{5}{4}-\sqrt{1-x}\right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[-\frac{1}{8}x^2+\frac{5}{4}x+\frac{2}{3}\left(\sqrt{1-x}\right)^3\right]_{-3}^0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{5}{24}\ }\end{align*}}$
奈良教育大、一気に6年分解いてしまいました。
次は大阪市大の理系の問題を解きます。
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- 2014/10/23(木) 23:57:00|
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