第2問
y=x3－mx+nがx軸と接している。
(1) n2をmで表せ。
(2) m、nが自然数のときに、nが最小となるときのm、nを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
f(x)=x3－mx+n
とおくと、f(x)の導関数は、
f’(x)=3x2－m
(ⅰ) m＜0のとき
常にf’(x)＞0となり、x軸と接することはない。
(ⅱ) m≧0のとき
f’(x)=0となるのは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\pm\sqrt{\frac{m}{3}}\end{align*}}$
のときであり、y=f(x)はx軸に接するので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(\pm\sqrt{\frac{m}{3}}\right)=\pm\frac{m}{3}\sqrt{\frac{m}{3}}-m\left(\pm\sqrt{\frac{m}{3}}\right)+n=0\end{align*}}$ （複号同順）
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ n=\pm\frac{2m}{3}\sqrt{\frac{m}{3}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ n^2=\frac{4m^3}{27} }\end{align*}}$
(2)
(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf n^2=4\left(\frac{m}{3}\right)^3\end{align*}}$ ……(#)
nは自然数なので、mは3の倍数である必要がある。
m=3k （k：自然数）
とおくと、(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf n^2=4k^3\ \ \Leftrightarrow\ \ n=2k\sqrt{k}\ \ (>0)\end{align*}}$
nが自然数になるためには、kが平方数であればよい。
よって、nが最小になるのは、
k=1
のときであり、このとき、
m=3、 n=2
である。
(1)は、場合分けが必要です。
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- 2014/10/20(月) 23:57:00|
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第3問
次の極限値を求めよ。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\log\left(1+\frac{k}{n}\right)\end{align*}}$
(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\sin\frac{k}{n}\pi\end{align*}}$
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\log\left(1+\frac{k}{n}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^1\log\left(1+x\right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^1\left(1+x\right)'\cdot\log\left(1+x\right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\bigg[\left(1+x\right)\log\left(1+x\right)\bigg]_0^1-\int_0^1\left(1+x\right)\cdot\frac{1}{1+x}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\bigg[\left(1+x\right)\log\left(1+x\right)-x\bigg]_0^1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 2\log 2-1\ }\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\sin\frac{k}{n}\pi\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^1\sin (\pi x)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[-\frac{1}{\pi}\cos (\pi x)\right]_0^1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{2}{\pi}\ }\end{align*}}$
いわゆる「区分求積法」ってヤツです。
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- 2014/10/21(火) 23:54:00|
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第4問
2つの曲線y=sinx、y=cos2xと2つの直線x=0、x=2$\small\sf{\pi}$ に
よって囲まれた部分の面積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
2式を連立させると、
sinx=cos2x
⇔ sinx=1－2sin2x ←倍角公式
⇔ 2sin2x+sinx－1=0
⇔ (2sinx－1)(sinx+1)=0
0≦x≦2$\scriptsize\sf{\pi}$ の範囲でこれを満たすのは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{\pi}{6}\ ,\ \frac{5}{6}\pi\ ,\ \frac{3}{2}\pi\end{align*}}$
のときである。
よって、2曲線の位置関係は下図のようになり、
求める面積（Sとする）は水色部分である。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_0^{\pi /6}\left(\cos2x-\sin x\right)dx+\int_{\pi /6}^{5\pi /6}\left(\sin x-\cos2x\right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf +\int_{5\pi /6}^{2\pi}\left(\cos2x-\sin x\right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\frac{1}{2}\sin 2x+\cos x\right]_0^{\pi /6}+\left[-\cos x-\frac{1}{2}\sin 2x\right]_{\pi /6}^{5\pi /6}+\left[\frac{1}{2}\sin 2x+\cos x\right]_{5\pi /6}^{2\pi}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\frac{1}{2}\sin 2x+\cos x\right]_0^{\pi /6}+\left[\frac{1}{2}\sin 2x+\cos x\right]_{5\pi /6}^{\pi /6}+\left[\frac{1}{2}\sin 2x+\cos x\right]_{5\pi /6}^{2\pi}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\frac{1}{2}\sin 2x+\cos x\right]_0^{2\pi}+2\left[\frac{1}{2}\sin 2x+\cos x\right]_{5\pi /6}^{\pi /6}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =0+2\left(\frac{\sqrt3}{4}+\frac{\sqrt3}{2}\right)-2\left(-\frac{\sqrt3}{4}-\frac{\sqrt3}{2}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 3\sqrt3\ }\end{align*}}$
y=cos2xのグラフは、y=cosxのグラフをx軸方向1/2に縮小した曲線です。
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- 2014/10/21(火) 23:57:00|
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