第1問
以下の設問に答えよ。
(1) 初項a、公比rの無限等比級数は|r|＜1のとき収束し、
その和が $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{a}{1-r}\end{align*}}$ となることを示せ。
(2) 座標平面上で、動点Pが点(1，1)からx軸の負の向きに1だけ
進み、次にy軸の負の向きに $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$ だけ進み、次にx軸の負の向き
に $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3^2}\end{align*}}$ だけ進み、次にy軸の負の向きに $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3^3}\end{align*}}$ だけ進む。以下、
動点Pがこのような運動を続けるとき、動点Pが限りなく近づく
点の座標を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
初項a、公比r （|r|＜1)の等比数列anの初項から第n項
までの和をSnとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_n=\frac{a\left(1-r^n\right)}{1-r}\end{align*}}$ ．
|r|＜1より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ r^n=0\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{n=1}^{\infty}s_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\ S_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a\left(1-r^n\right)}{1-r}=\underline{\ \frac{a}{1-r}\ }\end{align*}}$
(2)
x座標
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-1-\frac{1}{3^2}-\frac{1}{3^4}-\frac{1}{3^6}-\ldots\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =1-\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{9}\right)^{n-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =1-\frac{1}{1-\frac{1}{9}}\end{align*}}$ ←(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{1}{8}\end{align*}}$
y座標
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-\frac{1}{3}-\frac{1}{3^3}-\frac{1}{3^5}-\ldots\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =1-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3}\left(\frac{1}{9}\right)^{n-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =1-\frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{9}}\end{align*}}$ ←(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{5}{8}\end{align*}}$
以上より、動点Pは、点 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \left(-\frac{1}{8}\ ,\ \frac{5}{8}\right)}\end{align*}}$ に近づく。
等比数列の和の公式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}S_n=\frac{a\left(1-r^n\right)}{1-r}}\end{align*}}$
も証明しておいた方がいいのかもしれませんが、省略です（笑）
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- 2014/10/18(土) 23:57:00|
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第2問
自然数nに対して
$\small\sf{\begin{align*} \rm I{\sf _n}\sf =\int_0^{\pi /2}\cos^nx\ dx\end{align*}}$
と置く。このとき，以下の設問に答えよ。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \rm I{\sf _n}\sf =\int_0^{\pi /2}\left(\cos^{n-1}x\right)\left(\sin x\right)'dx\end{align*}}$ と書きなおし、部分積分を適用して
InとIn-2の関係式を求めよ。但しn≧3とする。
(2) I5を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \rm I{\sf _n}\sf =\int_0^{\pi /2}\left(\cos^{n-1}x\right)\left(\sin x\right)'dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\bigg[\left(\cos^{n-1}x\right)\sin x\bigg]_0^{\pi /2}-\int_0^{\pi /2}(n-1)\left(\cos^{n-2}x\right)\left(-\sin x\right)\sin x\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =0+(n-1)\int_0^{\pi /2}\left(\cos^{n-2}x\right)\sin^2 x\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =(n-1)\int_0^{\pi /2}\left(\cos^{n-2}x\right)\left(1-\cos^2 x\right) dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =(n-1)\int_0^{\pi /2}\cos^{n-2}x\ dx-(n-1)\int_0^{\pi /2}\cos^{n}x\ dx\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \rm I{\sf _n}\sf =(n-1)\rm I{\sf _n-2}\sf -(n-1)\rm I{\sf _n}\sf \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ n\rm I{\sf _n}\sf =(n-1)I_{n-2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ \rm I{\sf _n}\sf =\frac{n-1}{n}\ \rm I{\sf _n-2}\sf \ }\end{align*}}$
(2)
(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \rm I{\sf _5}\sf =\frac{4}{5}\ \rm I{\sf _3}\sf \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{4}{5}\cdot\frac{2}{3}\ \rm I{\sf _1}\sf \end{align*}}$ ←(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{8}{15}\int_0^{\pi/2}\cos x\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{8}{15}\bigg[\sin x\bigg]_0^{\pi /2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{8}{15}\ }\end{align*}}$
有名問題です。誘導がついているので、そのままです。
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- 2014/10/18(土) 23:59:00|
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第3問
次の設問に答えよ。
(1) 関数 $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{1}{2}\left(x-\frac{1}{x}\right)\ \ \ \left(x>0\right)\end{align*}}$ の逆関数を求めよ。
(2) 関数 $\small\sf{\begin{align*} \sf g\ (x)=\frac{1}{2}\left(e^x-e^{-x}\right)\end{align*}}$ の逆関数h(x)を求めよ。
(3) 上で求めた関数h(x)の導関数を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
y=f(x) とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{1}{2}\left(x-\frac{1}{x}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^2-2yx-1=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=y+\sqrt{y^2+1}\ \ (>0)\end{align*}}$
と変形できるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=f^{-1}(y)=y+\sqrt{y^2+1}\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ f^{-1}(x)=x+\sqrt{x^2+1}\ }\end{align*}}$
(2)
y=g(x)とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{1}{2}\left(e^x-e^{-x}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ e^x=y+\sqrt{y^2+1}\ \ (>0)\end{align*}}$ ←(1)と同様の変形
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=\log\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ h\ (x)=g^{-1}(x)=\log\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\ }\end{align*}}$
(3)
（2）より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h\ '(x)=\frac{\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)'}{x+\sqrt{x^2+1}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1+\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2x+2\sqrt{x^2+1}}{2\sqrt{x^2+1}\ \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}}\end{align*}}$
(3)の結果は有名ですが、知らなくても
上からの誘導に乗っていけば大丈夫！
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- 2014/10/19(日) 23:54:00|
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第4問
eを自然対数の底とする。関数f(x)を
$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\log(e-x)\ \ \ (x\lt e)\end{align*}}$
とする。このとき，以下の設問に答えよ。
(1) 曲線y=f(x)とx軸との交点を求めよ。
(2) 曲線y=f(x)とy軸との交点をPとする。点Pにおける曲線
y=f(x)の接線をLとする。直線Lの方程式を求めよ。
(3) 曲線y=f(x)と直線Lのグラフを描け。
(4) 曲線y=f(x)と直線Lおよびx軸によって囲まれた図形を
y軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log\left(e-x\right)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ e-x=1 \ \Leftrightarrow\ \ x=e-1\end{align*}}$
より、曲線y=f(x)とx軸との交点は (e－1，0)
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (0)=\log\left(e-0\right)=1\end{align*}}$
より、曲線y=f(x)とy軸との交点は P(0，1) ．
また、f(x)の導関数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=-\frac{1}{e-x}\end{align*}}$
なので、Pにおける接線Lは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ L:\ y=-\frac{1}{e}\ x+1\ }\end{align*}}$
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\log\left\{-\left(x-e\right)\right\}\end{align*}}$
と変形できるので、y=f(x)のグラフは、
y=logxのグラフをy軸について対称移動し、
x軸方向に+eだけ平行した曲線になる。
これと点Pにおける接線Lを図示すると、
右図のようになる。
(4)
y=f(x)の式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\log\left(e-x\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ x=e-e^y\end{align*}}$
と変形できる。また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0=-\frac{1}{e}\ x+1\ \ \Leftrightarrow\ \ x=e\end{align*}}$
より、Lとx軸の交点は(e，0)である。
よって、求める回転体の体積をVとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\pi\cdot e^2\cdot 1\cdot \frac{1}{3}-\pi\int_0^{1}\left(e-e^y\right)^2dy\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi\ e^2}{3}-\pi\int_0^1\left(e^2-2e^{y+1}+e^{2y}\right)dy\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi\ e^2}{3}-\pi\left[e^2y-2e^{y+1}+\frac{1}{2}e^{2y}\right]_0^1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{\pi}{6}\left(5e^2-12e+3\right)\ }\end{align*}}$
この年の問題は数Ⅲばっかりですね。
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- 2014/10/19(日) 23:57:00|
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