第1問
a＞0とする。次の関数f(x)について、0≦x≦1における
最大値および最小値を求めよ。
f(x)=x3－a2x
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
f(x)の導関数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=3x^2-a^2=3\left(x-\frac{a}{\sqrt3}\right)\left(x+\frac{a}{\sqrt3}\right)\end{align*}}$
(ⅰ) $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<\frac{a}{\sqrt3}\leqq 1\end{align*}}$ すなわち $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\lt a\leqq \sqrt3\end{align*}}$ のとき
f(x)の増減は次のようになる。
最小値
x=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a}{\sqrt3}\end{align*}}$ のとき、最小値 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{2\sqrt3}{9}a^3\end{align*}}$
最大値
1－a2＜0 すなわち 1＜a＜$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ のとき、x=0で最大値0
0＜a≦1のとき、x=1で最大値1－a2
(ⅱ) $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1<\frac{a}{\sqrt3}\end{align*}}$ すなわち $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\lt a\end{align*}}$ のとき
0≦x≦1で常にf’(x)＜0なので、
この区間では単調に減少する。
よって、
x=1で最小値1－a2
x=0で最大値0
(ⅰ)、(ⅱ)よりf(x)の0≦x≦1における最大値、最小値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ f\ (x)_{max}=\left\{ \begin{array}{ll}\sf 1-a^2 & (\sf 0\lt a\leqq 1) \\ \sf 0 & (\sf 1\lt a) \\\end{array} \right.}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ f\ (x)_{min}=\left\{ \begin{array}{ll}\sf -\frac{2\sqrt3}{9}a^3 & (\sf 0\lt a\leqq \sqrt3) \\ \sf 1-a^2 & (\sf \sqrt3\lt a) \\\end{array} \right.}\end{align*}}$
丁寧に場合分けしましょう。
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第2問
三角形ABCにおいて、次の関係が成り立つとき、三角形ABCは
直角三角形、または、二等辺三角形であることを示せ。
$\small\sf{\begin{align*} \sf a\cos A=b\cos B\end{align*}}$
ただし、a、bはそれぞれ三角形ABCの辺BC、ACの長さを表し、
A、Bはそれぞれ三角形ABCの∠BAC、∠ABCを表す。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
余弦定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a\cos A=b\cos B\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a\cdot\frac{-a^2+b^2+c^2}{2bc}=b\cdot\frac{a^2-b^2+c^2}{2ca}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a^2\left(-a^2+b^2+c^2\right)=b^2\left(a^2-b^2+c^2\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a^4-b^4-c^2\left(a^2-b^2\right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(a+b\right)\left(a-b\right)\left(a^2+b^2-c^2\right)=0\end{align*}}$
となり、a、b＞0より、
a=b または a2+b2=c2．
よって、△ABCは、
BC=ACの二等辺三角形 または
∠C=90°の直角三角形
となる。
余弦定理一発です！
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第3問
2つのサイコロを投げたとき、その目の和をSとする。3つのサイコロ
を投げたとき、その目の和をTとする。ただし、1つのサイコロには、
1から6までの目がかかれていて、その目の出方はどれも同様に確
からしいものとする。このとき、次の問いに答えよ。
(1) Sの値が6となる確率を求めよ。
(2) Tの値が6となる確率を求めよ。
(3) Sの値が7以上となる確率を求めよ。
(4) Tの値が7以上となる確率を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
2つのサイコロの目の出方の総数は62通り
3つのサイコロの目の出方の総数は63通り
(1)
和が6になる2数の組み合わせおよび順列
1+5 ……順列2通り
2+4 …… 2通り
3+3 …… 1通り
よって、S=6となる確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2+2+1}{6^2}=\underline{\ \frac{5}{36}\ }\end{align*}}$
(2)
和が6になる3数の組み合わせおよび順列
1+1+4 ……順列3通り
1+2+3 …… 6通り
2+2+2 …… 1通り
よって、T=6となる確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3+6+1}{6^3}=\underline{\ \frac{5}{108}\ }\end{align*}}$
(3)
和が5以下になる2数の組み合わせおよび順列
1+1 ……順列1通り
1+2 …… 2通り
1+3 …… 2通り
1+4 …… 2通り
2+2 …… 1通り
2+3 …… 2通り
これと(1)より、S≧7となる確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-\left(\frac{5}{36}+\frac{1+2+2+2+1+2}{6^2}\right)=\underline{\ \frac{7}{12}\ }\end{align*}}$
(4)
和が5以下になる3数の組み合わせおよび順列
1+1+1 ……順列1通り
1+1+2 …… 3通り
1+1+3 …… 3通り
1+2+2 …… 3通り
これと(1)より、T≧7となる確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-\left(\frac{5}{108}+\frac{1+3+3+3}{6^3}\right)=\underline{\ \frac{49}{54}\ }\end{align*}}$
書き出して数えるだけですが、サイコロの場合は重複があるので、
組み合わせではなく、順列で数えなければなりません。
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- 2014/10/17(金) 23:54:00|
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第4問
次の問いに答えよ。
(1) 関数
$\small\sf{\begin{align*} \sf y=\sqrt{4-x^2}\end{align*}}$
のグラフの概形を描け。
(2) 次の定積分を求めよ．
$\small\sf{\begin{align*} \sf \int_{-1}^1\sqrt{4-x^2}\ dx \end{align*}}$
$\small\sf{\begin{align*} \sf \end{align*}}$
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
与式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\sqrt{4-x^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ y^2=4-x^2\ \ ,\ \ y\geqq 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^2+y^2=2^2\ \ ,\ \ y\geqq 0\end{align*}}$
と変形できる。
これは、原点中心、半径2の円の上半分を
表すので、図示すると、右図のようになる。
(2)
求める定積分の値をIとおくと、
Iは、(1)の半円とx軸および2直線
x=±1で囲まれた図形の面積を表す。
図はy軸について対称であり、扇形と
直角三角形に分割して考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf I=2\left(2^2\pi\cdot \frac{1}{12}+\frac{1}{2}\cdot 1\cdot \sqrt3\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{2}{3}\pi+\sqrt3\ }\end{align*}}$
(2)は、x=2cos$\scriptsize\sf{\theta}$ と置換してもOKです。
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- 2014/10/17(金) 23:57:00|
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