第1問
次の設問に答えよ。
(1) 2次方程式 x2－ax－a+8=0が、異なる2つの正の実数解を
もつように、定数aの値の範囲を定めよ。
(2) 次の等式を満たす実数xの値を求めよ。
|x|+2|x－2|=x+2
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
判別式Dを考えると、
D=a2－4(－a+8)=(a－4)(a+8)＞0
⇔ a＜－8、 4＜a ．
2つの正の解を$\scriptsize\sf{\alpha}$ 、$\scriptsize\sf{\beta}$ とすると、解と係数の関係より
$\scriptsize\sf{\alpha}$ +$\scriptsize\sf{\beta}$ =a＞0
$\scriptsize\sf{\alpha}$ $\scriptsize\sf{\beta}$ =－a+8＞0 ⇔ a＜8
となる。
これらを同時に満たすaの値の範囲は、
4＜a＜8
(2)
(ⅰ) x＜0のとき
|x|=－x、 |x－2|=－x+2 より、
与式は、
－x－2x+4=x+2
となり、これを解くと
x=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2} \end{align*}}$ ．
これは、x＜0を満たさないので不適
(ⅱ) 0≦x＜2のとき
|x|=x、 |x－2|=－x+2 より、
与式は、
x－2x+4=x+2
となり、これを解くと
x=1．
これは、0≦x＜2を満たす
(ⅲ) 2≦xのとき
|x|=x、 |x－2|=x－2 より、
与式は、
x+2x－4=x+2
となり、これを解くと
x=3．
これは、2≦x＜0を満たす
以上より、与式を満たすxの値は、
x=1、3
(1)は、グラフで考える手もあります。
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第2問
2つのベクトル $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$=(－1，1，－1) と $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$=(1，2，4) について
次の設問に答えよ。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}+t\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ が垂直となるように実数tの値を定めよ。
(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ の両方に垂直な単位ベクトルを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$=(－1，1，－1) 、 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$=(1，2，4) ……(#)
(1)
(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}+t\overrightarrow{\sf b}=\left(-1+t\ ,\ 1+2t\ ,\ -1+4t\right)\end{align*}}$
なので、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ との内積を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\overrightarrow{\sf a}+t\overrightarrow{\sf b}\right)\cdot\overrightarrow{\sf a}=-\left(-1+t\right)+\left(1+2t\right)-\left(-1+4t\right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ t=1\ }\end{align*}}$
(2)
求める単位ベクトルを
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf e}=\left(x\ ,\ y\ ,\ z\right)\end{align*}}$
とする。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf e}\bot\overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ かつ、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf e}\bot\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ なので、内積を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf e}\cdot\overrightarrow{\sf a}=-x+y-z=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf e}\cdot\overrightarrow{\sf b}=x+2y+4z=0\end{align*}}$
となり、これらを連立させて解くと、
x=－2z かつ y=－z ……(ⅰ)
を得る。
また、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf e}\end{align*}}$ は単位ベクトルなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf e}\right|^2=x^2+y^2+z^2=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(-2z\right)^2+\left(-z\right)^2+z^2=1\end{align*}}$ ←(ⅰ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 6z^2=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ z=\pm\frac{1}{\sqrt6}\end{align*}}$ ．
以上より、求める単位ベクトルは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \overrightarrow{\sf e}=\pm\frac{1}{\sqrt6}\left(2\ ,\ 1\ ,\ -1\right)\ }\end{align*}}$ ．
単位ベクトルというのは、大きさが1のベクトルのことです。
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第3問
2つの円
C1： x2+y2=5
C2： x2+y2－8x+6y=0
について、次の設問に答えよ。
(1) 2つの円C1、C2の共有点を通る直線のy切片を求めよ。
(2) 2つの円C1、C2の共有点とC2の中心O2を通る円C3の
方程式を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
2円C1、C2の交点を通る円（または直線）の方程式は
x2+y2－8x+6y+k( x2+y2－5)=0 ……(#)
と表せる。
(1)
(#)において、k=－1のとき直線を表すので、
x2+y2－8x+6y－( x2+y2－5)=0
⇔ －8x+6y+5=0．
この直線において、x=0のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 6y+5=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ y=-\frac{5}{6}}\end{align*}}$
となるので、これが求めるy切片である。
(2)
C2の方程式は
(x－4)2+(y+3)2=25
と変形できるので、C2の中心はO2(4，－3)である。
(#)がこれを通るので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 16+9-32-18+\left(16+9-5\right)k=0\ \ \Leftrightarrow\ \ k=\frac{5}{4}\end{align*}}$ ．
よって、求める円C3の方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2+y^2-8x+6y+\frac{5}{4}\left(x^2+y^2-5\right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ x^2+y^2-\frac{32}{9}x+\frac{8}{3}y-\frac{25}{9}=0\ }\end{align*}}$
となる。
(#)を使わずに、2円の交点の座標を求めようとすると、
計算が大変なことになります！
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第4問
関数f(x)を
$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=2\sin\left(\frac{1}{2}\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\right)\ \ \ \ \left(0\leqq x\leqq 2\pi\right)\end{align*}}$
とする。このとき、次の設問に答えよ。
(1) 曲線y=f(x)とy軸との交点Pの座標を求めよ。
(2) 曲線y=f(x)とx軸との交点Qの座標を求めよ。
(3) 曲線y=f(x)のグラフを描け。
(4) PとQを結んだ直線をLとする。曲線y=f(x)と
直線Lで囲まれた領域の面積を求めよ．
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (0)=2\sin\frac{\pi}{6}=1\end{align*}}$
より、y軸との交点は P(0，1) である。
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq x\leqq 2\pi\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{\pi}{6}\leqq \frac{1}{2}\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\leqq \frac{7}{6}\pi\end{align*}}$
より、f(x)=0となるのは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=\pi\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{5}{3}\pi\end{align*}}$
なので、x軸との交点は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ Q\left(\frac{5}{3}\pi\ ,\ 0\right)\ }\end{align*}}$
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ (x)=2\sin\left(\frac{1}{2}x\right)\end{align*}}$
とおくと、曲線y=g(x)は、y=sinxのグラフを
x軸方向に2倍、y軸方向に2倍に拡大したグラフになる。
さらに、曲線y=f(x)は、y=g(x)のグラフをx軸方向に
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{\pi}{3}\end{align*}}$ だけ平行移動したグラフなので、下図のようになる。
(4)
曲線y=f(x)と直線Lで囲まれた領域は、
右図の水色部分なので、
求める面積をSとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_0^{\frac{5}{3}\pi}2\sin\left(\frac{1}{2}\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\right)dx-\frac{1}{2}\cdot\frac{5}{3}\pi\cdot 1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[-4\cos\left(\frac{1}{2}\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\right)\right]_0^{\frac{5}{3}\pi}-\frac{5}{6}\pi\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-4\left(\cos\pi-\cos\frac{\pi}{6}\right)-\frac{5}{6}\pi\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 4+2\sqrt3-\frac{5}{6}\pi\ }\end{align*}}$
(3)は、わざわざ微分する必要はありません。
数Ⅱ範囲です。
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第5問
三角形の3辺の垂直二等分線は1点で交わることを証明せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
△ABCにおいて、AB、AC、BCの中点をそれぞれ
P、Q、Rとする。
AB、ACの垂直二等分線の交点をOとすると、
△OAP≡△OBPより、OA=OB
△OAQ≡△OCQより、OA=OC
となるので、
OB=OC．
これより、△OBR≡△OCRとなるので、
∠ORB=∠ORC=90°．
よって、ORは辺BCの垂直二等分線となるので、
△ABCの3辺の垂直二等分線は1点Oで交わる。
Oは△ABCの外心です。
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