第1問
すべての実数mに対して、次のxについての2次方程式が
実数解をもつときの、aの値の範囲を求めよ。
x2－4x+3+m(x－a)=0
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
与式は、
x2+(m－4)x+3－am=0
と変形でき、これが実数解をもつので、
この方程式の判別式をD1とすると、
D1=(m－4)2－4(3－am)≧0
⇔ m2+4(a－2)m+4≧0 ……(ⅰ)
(ⅰ)が任意のmに対して成り立ためには、
方程式m2+4(a－2)m+4=0の判別式をD2とすると、
D2/4=4(a－2)2－4≦0
であればよいので、この不等式を解くと、
1≦a≦3
を得る。
判別式を用いずに、平方完成してグラフを考えても構いません。
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- 2014/10/12(日) 23:51:00|
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第2問
7人の生徒A、B、C、D、E、F、Gを3人、2人、2人の3組に
分ける。
(1) 分け方の総数を求めよ。
(2) 次の問いに答えよ。
(ⅰ) AとBが3人の組で同じ組になる分け方の総数を求めよ。
(ⅱ) AとBが同じ組になる分け方の総数を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
3人の組の選び方は、
7C3=35通り
残りの4人を2人と2人の組に分ける方法は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{_4C_2}{2!}=3\end{align*}}$ 通り ……(ⅰ)
よって、分け方の総数は、
35×3=105通り
(2)(ⅰ)
3人の組に入る残りの1人の選び方は、C～Gの5通り。
残り4人を2人ずつ分ける方法は、(ⅰ)と同様3通り。
よって、求める場合の数は、
5×3=15通り
(2)(ⅱ)
AとBが2人の組で同じ組になる分け方を考える。
3人の組の選び方は、
5C3=10通り
残り1つの2人組は自動的に決まる。
よって、これと(ⅰ)より、AとBが同じ組になる分け方は
15+10=25通り
(ⅰ)で、2！で割ることに注意しましょう！
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第3問
次の定積分を求めよ。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^2\left|e^x-e\right|dx\end{align*}}$
(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_1^e\frac{\log x}{x^2}\ dx\end{align*}}$
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
e＞1より
x＜1のとき、ex＜e
1＜xのとき、ex＞e
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^2\left|e^x-e\right|dx=\int_0^1\left(-e^x+e\right)dx+\int_1^2\left(e^x-e\right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\bigg[-e^x+ex\bigg]_0^1+\bigg[e^x-ex\bigg]_1^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ e^2-2e+1\ }\end{align*}}$
(2)
部分積分法を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_1^e\frac{\log x}{x^2}\ dx=\bigg[-\frac{\log x}{x}\bigg]_1^e+\int_1^e\frac{1}{x^2}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\bigg[-\frac{\log x}{x}-\frac{1}{x}\bigg]_1^e\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ -\frac{2}{e}+1\ }\end{align*}}$
(1)は、絶対値を外すために場合分けが必要です。
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第4問
次の問いに答えよ。
(1) 曲線y=－x2－2xとx軸とで囲まれた部分の面積Sを求めよ。
(2) 曲線y=－x2－2xをy軸方向に平行移動した曲線をy=f(x)
とする。その曲線y=f(x)とx軸とで囲まれた部分の面積が
8Sとなった。曲線y=f(x)の方程式を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
y=－x2－2xとx軸との交点のx座標は、
－x2－2x=0 ⇔ x=－2，0
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_{-2}^0\left(-x^2-2x\right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\int_{-2}^0x\left(x+2\right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{6}\bigg\{0-(-2)\bigg\}^3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{4}{3}\ }\end{align*}}$
(2)
f(x)=－x2－2x+b
とおくと、曲線y=f(x)とx軸との交点のx座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -x^2-2x+b=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=-1\sqrt{1+b}\end{align*}}$
となるので、y=f(x)とx軸とで囲まれた部分の面積は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_{-1-\sqrt{1+b}}^{-1+\sqrt{1+b}}\left(-x^2-2x+b\right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\int_{-1-\sqrt{1+b}}^{-1+\sqrt{1+b}}\bigg\{x-\left(-1-\sqrt{1+b}\right)\bigg\}\bigg\{x-\left(-1+\sqrt{1+b}\right)\bigg\}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{6}\bigg\{\left(-1+\sqrt{1+b}\right)-\left(-1-\sqrt{1+b}\right)\bigg\}^3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{4}{3}\left(\sqrt{1+b}\right)^3\end{align*}}$ ．
これが8Sに等しいので、(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4}{3}\left(\sqrt{1+b}\right)^3=\frac{4}{3}\cdot 8\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sqrt{1+b}=2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ b=3\end{align*}}$ ．
よって、曲線y=f(x)の方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ y=-x^2-2x+3\ }\end{align*}}$
となる。
公式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}\int_p^q\left(x-p\right)\left(x-q\right)dx=-\frac{1}{6}\left(q-p\right)^3}\end{align*}}$
を使いましょう。
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- 2014/10/13(月) 23:54:00|
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第5問
nを正の整数とする。次の命題を証明せよ。
(1) n2が奇数ならば、nは奇数である。
(2) n3が5で割り切れるならば、nは5で割り切れる。
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【解答】
(1)
nが偶数のとき、自然数mを用いて
n=2m
と表せる。このとき、
n2=4m2=2・2m2
となるので、n2は偶数となる。
よって、ｎが偶数ならば、n2は偶数である。
この命題の対偶をとると、
n2が奇数ならば、nは奇数である。
(2)
nが5で割り切れないとき、整数mを用いて、
(ア) n=5m±1
(イ) n=5m±2
のいずれかの形で表すことができる。
(ア)の場合
n3=(5m±1)3
=125m3±75m2+15m±1
=5(25m3±15m2+3m)±1 （複号同順）
となり、n3は5で割り切れない。
(イ)の場合
n3=(5m±2)3
=125m3±150m2+60m±8
=5(25m3±30m2+12m±1)±3 （複号同順）
となり、n3は5で割り切れない。
以上より、nが5で割り切れないとき、n3も5で割り切れない。
この命題の対偶をとると、
n3が5で割り切れるならば、nは5で割り切れる。
合同式を使えば、もっと楽に書けます。
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- 2014/10/13(月) 23:57:00|
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