FC2ブログ

青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2011奈良県立医大 数学1



第1問

  0以上の任意の整数iに対して、xのi次式gi(x)を
     i=0のとき、g0(x)=1
     i≧1のとき、gi(x)=$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{x(x+1)\ldots(x+i-1)}{i\ !}\end{align*}}$
  と定義する。

 (1) f(x)=$\small\sf{\begin{align*}\sf \sum_{i=0}^n\end{align*}}$ ai (ただし、a0≠0)をxに関する実数係数のn(≧0)次式
    とする。このとき、等式f(x)=$\small\sf{\begin{align*}\sf \sum_{i=0}^n\end{align*}}$ ci(x) が任意の実数xについて成り
    立つような実数c (0≦i≦n、但しc≠0)が一意的に存在することを
    証明せよ。

 (2) (1)において、n>0のとき等式f(x)-f(x-1)=$\small\sf{\begin{align*}\sf \sum_{i=1}^n\end{align*}}$ cii-1(x) が成
    り立つことを証明せよ。

 (3) F(x)(≠0)をxに関する実数係数のn(≧0)次式とし、任意の整数aに
    対してF(a)が整数であると仮定する。このとき、等式
      F(x)=$\small\sf{\begin{align*}\sf \sum_{i=0}^n\end{align*}}$ di(x)
    が任意の実数xについて成り立つような整数d(0≦i≦n、但しd≠0)
    が一意的に存在することを示せ。




テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2018/10/01(月) 01:01:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .奈良県立医大 2011
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

2011奈良県立医大 数学2



第2問

  実数の数列{a}n=1,2,・・・は、任意の正整数p、qに対して不等式
      |ap+q-ap-aq|<1
  を満たしているとする。

 (1) 任意の正整数nと、2以上の任意の整数kに対して、不等式
      |akn-kan|<k-1
    が成り立つことを証明せよ。

 (2) 任意の正整数n、kに対して、不等式
      |nan+k-(n+k)an|<2n+k-2
    が成り立つことを証明せよ。



テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2018/10/01(月) 01:02:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .奈良県立医大 2011
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

2011奈良県立医大 数学3



第3問

  a、bを実数とする。

 (1) 定積分
      $\small\sf{\begin{align*}\rm I\sf(a,b)=\int_{-\pi}^{\pi}\ (1+a\sin x+bx)^2\ dx\end{align*}}$
    を求めよ。

 (2) a、bが実数全体を動くとき、(1)の定積分I(a,b)を最小にするような実数
    の組(a,b)がただ一組存在することを示し、そのような(a,b)及び、I(a,b)
    の最小値を求めよ。



テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2018/10/01(月) 01:03:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .奈良県立医大 2011
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

2011奈良県立医大 数学4(1)(2)(3)




第4問

  xy平面において原点O(0,0)を中心とする半径1の円をSとし、円S
  の任意の点Pに対して、点Pにおける円Sの接線をL(P)とおく。
       $\small\sf{\begin{align*}\sf A=\begin{pmatrix}\sf a &\sf b \\ \sf c &\sf d \end{pmatrix}\end{align*}}$
  を全ての成分が実数からなる2行2列の行列とし、Aによって定まるxy
  平面の一次変換
       $\small\sf{\begin{align*}\sf \begin{pmatrix}\sf x' \\ \sf y' \end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}\sf x \\ \sf y \end{pmatrix}\end{align*}}$
  を$\small\sf{\phi}$ とおく。このとき円Sの任意の点Pに対して円Sの点Qが存在し、接
  線L(P)のいかなる点も$\small\sf{\phi}$ によって接線L(Q)の点に移されると仮定する。
  
 (1) 円Sの点Pの座標を(s,t)として、接線L(P)の方程式を求めよ。

 (2) 行列Aは逆行列をもつことを示せ。

 (3) 円Sの点Qは円Sの点Pにより一意的に定まることを示し、点Qの座標
    (u,v)を点Pの座標(s,t)および行列Aの成分a、b、c、dを用いて表
    示せよ。

 (4) xy平面の一次変換$\small\sf{\phi}$ は、原点O(0,0)を中心とする回転か、または
    原点O(0,0)を通るある直線mを対称軸とする対称変換のいずれか
    であることを証明せよ。



テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2018/10/01(月) 01:04:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .奈良県立医大 2011
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

2011奈良県立医大 数学4(4)




第4問

  xy平面において原点O(0,0)を中心とする半径1の円をSとし、円S
  の任意の点Pに対して、点Pにおける円Sの接線をL(P)とおく。
       $\small\sf{\begin{align*}\sf A=\begin{pmatrix}\sf a &\sf b \\ \sf c &\sf d \end{pmatrix}\end{align*}}$
  を全ての成分が実数からなる2行2列の行列とし、Aによって定まるxy
  平面の一次変換
       $\small\sf{\begin{align*}\sf \begin{pmatrix}\sf x' \\ \sf y' \end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}\sf x \\ \sf y \end{pmatrix}\end{align*}}$
  を$\small\sf{\phi}$ とおく。このとき円Sの任意の点Pに対して円Sの点Qが存在し、接
  線L(P)のいかなる点も$\small\sf{\phi}$ によって接線L(Q)の点に移されると仮定する。
  
 (1) 円Sの点Pの座標を(s,t)として、接線L(P)の方程式を求めよ。

 (2) 行列Aは逆行列をもつことを示せ。

 (3) 円Sの点Qは円Sの点Pにより一意的に定まることを示し、点Qの座標
    (u,v)を点Pの座標(s,t)および行列Aの成分a、b、c、dを用いて表
    示せよ。

 (4) xy平面の一次変換$\small\sf{\phi}$ は、原点O(0,0)を中心とする回転か、または
    原点O(0,0)を通るある直線mを対称軸とする対称変換のいずれか
    であることを証明せよ。



テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2018/10/01(月) 01:05:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .奈良県立医大 2011
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0