第1問
行列A、Bを
$\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix} \sf k&\sf 4 \\ \sf -1 & \sf k-4 \end{pmatrix}\ \ ,\ \ B=\begin{pmatrix} \sf a&\sf 1 \\ \sf 1 & \sf b \end{pmatrix}\end{align*}}$
とする。次の問いに答えよ。
(1) Aの逆行列が存在しないようなkの値を求めよ。
(2) Aの逆行列が存在するとき、AX=BとなるX=$\small\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf p&\sf q \\ \sf r & \sf s \end{pmatrix}\end{align*}}$ を
a、b、kを用いて表せ。
(3) Aの逆行列が存在しないとき、AX=Bを満たす行列Xが
あるようなa、bの値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
Aのデターミナントを考えると、
$\scriptsize\sf{\sf detA=k(k-4)+4=(k-2)^2=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{k=2}}$
(2)
k≠2のとき、Aの逆行列A-1が存在し、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A^{-1}=\frac{1}{(k-2)^2}\begin{pmatrix} \sf k-4&\sf -4 \\ \sf 1 & \sf k \end{pmatrix}\end{align*}}$ ．
これを、AX=Bの両辺に左からかけると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X=A^{-1}B\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{(k-2)^2}\begin{pmatrix} \sf k-4&\sf -4 \\ \sf 1 & \sf k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf a&\sf 1 \\ \sf 1 & \sf b \end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{(k-2)^2}\begin{pmatrix} \sf a(k-4)-4&\sf k-4-4b \\ \sf a+k & \sf 1+bk \end{pmatrix}\ }\end{align*}}$
(3)
k=2のとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix} \sf 2&\sf 4 \\ \sf -1 & \sf -2 \end{pmatrix}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AX=B\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \begin{pmatrix} \sf 2&\sf 4 \\ \sf -1 & \sf -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf p&\sf q \\ \sf r & \sf s \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf a &\sf 1 \\ \sf 1 & \sf b \end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \begin{pmatrix} \sf 2p+4r&\sf -p-2r \\ \sf 2q+4s & \sf -q-2s \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf a &\sf 1 \\ \sf 1 & \sf b \end{pmatrix}\end{align*}}$ ．
成分を比較すると、
2(p+2r)=a かつ －(p+2r)=1 より a=－2
2(q+2s)=1 かつ －(q+2s)=b より $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ b=-\frac{1}{2}}\end{align*}}$
これは易し目
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- 2014/09/26(金) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .神戸大 理系 2001
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第3問
次の問に答えよ。
(1) a、b、cを整数とする。xに関する3次方程式
x3+ax2+bx+c=0
が有理数の解をもつならば、その解は整数であることを示せ。
ただし、正の有理数は1以外の公約数をもたない2つの自然数
m、nを用いて $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{n}{m}\end{align*}}$ と表せることを用いよ。
(2) 方程式 x3+2x2+2=0 は、有理数の解をもたないことを
背理法を用いて示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
x3+ax2+bx+c=0 ……(イ)が
有理数 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{n}{m}\end{align*}}$ （m、nは互いに素な整数）をもつとする。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{n^3}{m^3}+\frac{an^2}{m^2}+\frac{bn}{m}+c=0\end{align*}}$
両辺にm2をかけると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{n^3}{m}=-\left(am^2+bmn+cm^2\right)\end{align*}}$
となり、a、b、c、m、nは整数なので、右辺は整数である。
よって、左辺 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{n^3}{m}\end{align*}}$ も整数となり、mとnは互いに素なので、
m=1．
よって、(ア)が有理数の解をもつとき、その解は整数である。
(2)
x3+2x2+2=0 ……(イ) が有理数解をもつと仮定する。
(1)より、その解は整数（nとおく）なので、
n3+2n2+2=0
⇔ n2(n+2)=－2
n2は平方数なので、この式を満たすのは、
n2=1 かつ n+2=－2
のときであるが、これらを同時に満たすようなnは存在しない。
よって、(イ)は有理数の解を持たない。
整数問題も、高校生が嫌いな分野ですね。
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- 2014/09/28(日) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .神戸大 理系 2001
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第4問
関数
$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=1+\frac{1}{2x}+\frac{\log x}{x}\end{align*}}$
を考える。次の問に答えよ。ただし、eは自然対数logxの底である。
(1) f(x)の極値と変曲点を求め、グラフの概形を描け。ここで
$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\log x}{x}=0\end{align*}}$
を用いてよい。また、グラフと座標軸との交点の座標は求めなくて
よい。
(2) 定積分 $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_{\frac{1}{e}}^ef\ (x)dx\end{align*}}$ の値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
f(x)の第1次および第2次導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=-\frac{1}{2x^2}+\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\left(\log x\right)\cdot 1}{x^2}=\frac{1-2\log x}{2x^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ ''(x)=\frac{-\frac{2}{x}\cdot x^2-\left(1-2\log x\right)\cdot 2x}{2x^4}=\frac{2\left(\log x-1\right)}{x^3}\end{align*}}$
であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow\infty}f\ (x)=1+0+0=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow +0}f\ (x)=-\infty\end{align*}}$
なので、f(x)の増減・凹凸およびグラフの概形は次のようになる。
極大値 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ 1+\frac{1}{e}\ \ \left(x=\frac{1}{e}\right)}\end{align*}}$ 変曲点 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \left(e\ ,\ 1+\frac{3}{2e}\right)}\end{align*}}$
(2)
求める定積分をIとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \rm I\sf =\int_{\frac{1}{e}}^e\left(1+\frac{1}{2x}+\frac{\log x}{x}\right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[x+\frac{1}{2}\log x\right]_{\frac{1}{e}}^e+\int_{\frac{1}{e}}^e\frac{\log x}{x}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =e-\frac{1}{e}+1+\int_{\frac{1}{e}}^e\frac{\log x}{x}\ dx\end{align*}}$
ここで、$\scriptsize\sf{\sf t=\log x}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dt}{dx}=\frac{1}{x}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_{\frac{1}{e}}^e\frac{\log x}{x}\ dx=\int_{-1}^1\frac{t}{x}\cdot xdt=\int_{-1}^1\ t\ dt=0\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\rm I\sf =e-\frac{1}{e}+1}\end{align*}}$
これは普通の問題ですね。
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- 2014/09/29(月) 23:57:00|
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第5問
白球3個、赤球2個、青球1個合計6個の入っている袋がある。
最初にA君が、次のルール(ⅰ)、(ⅱ)に従って袋から球を1個
または2個取り出す。次にB君が同じルールに従って、袋に残
った球を1個または2個取り出す。ただし、いったん取り出した
球は元の袋には戻さないものとする。
(ⅰ)取り出した1個目が赤球ならば、2個目を取り出すことは
できない．
(ⅱ)取り出した1個目が赤球以外ならば、さらに1個だけ取り
出す。
白球は1点、赤球は2点、青球は3点とし、取り出した球の合計
点を各自の得点とする。このとき次の問に答えよ。
(1) A君とB君の得点が同じになる確率p1を求めよ。
(2) A君の得点がB 君の得点より大きくなる確率p2を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
1個目が白玉のときは、さらに1個取り出すので、得点が1点に
なることはない。また、Aが4点以上取ったときは、Bは3点以下
にしかならない。
(ア) ともに2点になる場合
・Aが赤、Bが赤を取り出す
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{6}\cdot\frac{1}{5}=\frac{1}{15}\end{align*}}$
・Aが赤、Bが白→白の順に取り出す
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{6}\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4}=\frac{1}{10}\end{align*}}$
・Aが白→白、Bが赤の順に取り出す
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{6}\cdot\frac{2}{5}\cdot\frac{2}{4}=\frac{1}{10}\end{align*}}$
(イ) ともに3点になる場合
・Aが白→赤、Bも白→赤の順に取り出す
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{6}\cdot\frac{2}{5}\cdot\frac{2}{4}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{30}\end{align*}}$
以上より、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{15}+\frac{1}{10}+\frac{1}{10}+\frac{1}{30}=\underline{\ \frac{3}{10}\ }\end{align*}}$
(2)
(ウ) Aが3点、Bが2点になる場合
・Aが白→赤、Bが赤をに取り出す
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{6}\cdot\frac{2}{5}\cdot\frac{2}{4}=\frac{1}{20}\end{align*}}$
・Aが白→赤、Bが白→白の順に取り出す
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{6}\cdot\frac{2}{5}\cdot\frac{2}{4}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{30}\end{align*}}$
(エ) Aが4点になる場合
・Aが白→青 または 青→白 の順に取り出す
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{6}\cdot\frac{1}{5}\cdot 2=\frac{1}{5}\end{align*}}$
(オ) Aが5点になる場合
・Aが青→赤の順に取り出す
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{6}\cdot\frac{2}{5}=\frac{1}{15}\end{align*}}$
以上より、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{5}+\frac{1}{15}=\underline{\ \frac{7}{20}\ }\end{align*}}$
ルールが単純ではないので、具体的に書き出していきましょう。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2014/09/30(火) 23:57:00|
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