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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2001神戸大 理系数学1



第1問

  行列A、Bを
        $\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix} \sf k&\sf 4 \\ \sf -1 & \sf k-4 \end{pmatrix}\ \ ,\ \ B=\begin{pmatrix} \sf a&\sf 1 \\ \sf 1 & \sf b \end{pmatrix}\end{align*}}$
  とする。次の問いに答えよ。

 (1) Aの逆行列が存在しないようなkの値を求めよ。

 (2) Aの逆行列が存在するとき、AX=BとなるX=$\small\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf p&\sf q \\ \sf r & \sf s \end{pmatrix}\end{align*}}$ を
    a、b、kを用いて表せ。

 (3) Aの逆行列が存在しないとき、AX=Bを満たす行列Xが
    あるようなa、bの値を求めよ。



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  1. 2014/09/26(金) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .神戸大 理系 2001
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2001神戸大 理系数学2



第2問

  3点O、A、Bは一直線上にない点とし、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}=2\overrightarrow{\sf OA}+3\overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ とする。
  また、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}=\overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf OB}=\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ とおく。このとき次の問いに答えよ。

 (1) 点Pを $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BP}=t\ \overrightarrow{\sf BC}\end{align*}}$ (tは実数)を満たす点とする。このとき、
    $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\end{align*}}$ を $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a},\overrightarrow{\sf b},t\end{align*}}$ で表せ。

 (2) 点Qを $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}=2s\ \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ (sは実数)を満たす点とする。PとQの中点
    をMとする。t、sが0≦t≦1、0≦s≦1を満たしながら変化する
    とき、点Mの存在する範囲を図示せよ。

   
           図01
解答はこちら↓

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  1. 2014/09/27(土) 23:57:00|
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2001神戸大 理系数学3



第3問

  次の問に答えよ。

 (1) a、b、cを整数とする。xに関する3次方程式
        x3+ax2+bx+c=0
    が有理数の解をもつならば、その解は整数であることを示せ。
    ただし、正の有理数は1以外の公約数をもたない2つの自然数
    m、nを用いて $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{n}{m}\end{align*}}$ と表せることを用いよ。

 (2) 方程式 x3+2x2+2=0 は、有理数の解をもたないことを
    背理法を用いて示せ。


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  1. 2014/09/28(日) 23:57:00|
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2001神戸大 理系数学4



第4問

  関数
        $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=1+\frac{1}{2x}+\frac{\log x}{x}\end{align*}}$
  を考える。次の問に答えよ。ただし、eは自然対数log⁡xの底である。

 (1) f(x)の極値と変曲点を求め、グラフの概形を描け。ここで
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\log x}{x}=0\end{align*}}$
    を用いてよい。また、グラフと座標軸との交点の座標は求めなくて
    よい。

(2) 定積分 $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_{\frac{1}{e}}^ef\ (x)dx\end{align*}}$ の値を求めよ。



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  1. 2014/09/29(月) 23:57:00|
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2001神戸大 理系数学5



第5問

  白球3個、赤球2個、青球1個合計6個の入っている袋がある。
  最初にA君が、次のルール(ⅰ)、(ⅱ)に従って袋から球を1個
  または2個取り出す。次にB君が同じルールに従って、袋に残
  った球を1個または2個取り出す。ただし、いったん取り出した
  球は元の袋には戻さないものとする。
   (ⅰ)取り出した1個目が赤球ならば、2個目を取り出すことは
     できない.
   (ⅱ)取り出した1個目が赤球以外ならば、さらに1個だけ取り
     出す。
  白球は1点、赤球は2点、青球は3点とし、取り出した球の合計
  点を各自の得点とする。このとき次の問に答えよ。

 (1) A君とB君の得点が同じになる確率p1を求めよ。

 (2) A君の得点がB 君の得点より大きくなる確率p2を求めよ。



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  1. 2014/09/30(火) 23:57:00|
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