第1問
0でない複素数zに対して、$\small\sf{\sf w=u+iv}$ を
$\small\sf{\begin{align*} \sf w=\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)\end{align*}}$
とするとき、次の問いに答えよ。ただし、u、vは実数、
iは虚数単位である。
(1) 複素数平面上で、zが単位円|z|=1を動くとき、wは
どのような曲線を描くか。u、vが満たす曲線の方程式
を求め、その曲線を図示せよ。
(2) 複素数平面上で、zが実軸からの偏角$\small\sf{\alpha}$ $\small\sf{\begin{align*} \sf \left(0<\alpha <\frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$
の半直線上を動くとき、wはどのような曲線を描くか。
u、vが満たす曲線の方程式を求め、その曲線を図示
せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
|z|=1より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf z=\cos\theta+i \sin\theta\ \ \ (0\leqq \theta <2\pi)\end{align*}}$
と表せるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{z}=\left(\cos\theta+i \sin\theta\right)^{-1}=\cos(-\theta)+i\sin(-\theta)=\cos\theta-i\sin\theta\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf w=\frac{1}{2}\bigg\{\left(\cos\theta+i \sin\theta\right)+\left(\cos\theta-i \sin\theta\right)\bigg\}=\cos\theta\end{align*}}$
となるので、w=u+ivと成分を比較すると、
$\scriptsize\sf{\sf u=\cos\theta\ ,\ \ v=0}$ 、
これより、u、vが満たす線分の方程式は
$\scriptsize\sf{\sf \underline{\ v=0\ \ （-1\leqq u\leqq1）}}$
となり、これを図示すると右図のようになる。
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\lt\alpha\lt\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ より、$\scriptsize\sf{\sf \cos\alpha\gt0\ ,\ \ \sin\alpha\gt 0}$ ……(#)
r＞0として
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf z=r\left(\cos\alpha+i \sin\alpha\right)\ \ \ (0\leqq \alpha <2\pi)\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{z}=\left\{r\left(\cos\alpha+i \sin\alpha\right)\right\}^{-1}=\frac{1}{r}\left(\cos\alpha-i \sin\alpha\right)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf w=\frac{1}{2}\left\{r\left(\cos\alpha+i \sin\alpha\right)+\frac{1}{r}\left(\cos\alpha-i \sin\alpha\right)\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \end{align*}}$
w=u+ivと成分を比較すると、(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf u=\frac{\cos\alpha}{2}\left(r+\frac{1}{r}\right) \ \ \Leftrightarrow\ \ r+\frac{1}{r}=\frac{2u}{\cos\alpha}\end{align*}}$ ……(ア)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf v=\frac{\sin\alpha}{2}\left(r-\frac{1}{r}\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ r-\frac{1}{r}=\frac{2v}{\sin\alpha}\end{align*}}$ ……(イ)
(ア)、(イ)を辺々加えて、2で割ると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r=\frac{u}{\cos\alpha}+\frac{v}{\sin\alpha}\end{align*}}$
となり、これを(ア)に代入
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{u}{\cos\alpha}+\frac{v}{\sin\alpha}\right)+\frac{1}{\frac{u}{\cos\alpha}+\frac{v}{\sin\alpha}}=\frac{2u}{\cos\alpha}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(\frac{u}{\cos\alpha}+\frac{v}{\sin\alpha}\right)^2+1=\frac{2u}{\cos\alpha}\left(\frac{u}{\cos\alpha}+\frac{v}{\sin\alpha}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ \left(\frac{u}{\cos\alpha}\right)^2-\left(\frac{v}{\sin\alpha}\right)^2=1\ }\end{align*}}$
この式は、頂点が$\scriptsize\sf{\sf (\pm\cos\alpha\ ,\ 0)}$ の双曲線を表しており、
その漸近線は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{u}{\cos\alpha}\pm\frac{v}{\sin\alpha}=0\ \ \Leftrightarrow\ \ v=\pm\left(\tan\alpha\right)\ u\end{align*}}$ ．
また、(#)と$\scriptsize\sf{\sf r\gt 0}$ なので、相加・相乗平均より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf u=\frac{\cos\alpha}{2}\left(r+\frac{1}{r}\right) \geqq (\cos\alpha)\sqrt{r\cdot \frac{1}{r}}=\cos\alpha\end{align*}}$
これを図示すると、下図のようになる。
計算がちょっと面倒です。実際には書くのが面倒なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ {\color{blue} U=\frac{u}{\cos\alpha}\ \ ,\ \ V=\frac{v}{\sin\alpha}}\end{align*}}$
などと置き換えて計算した方がいいでしょうね。
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- 2014/09/21(日) 23:57:00|
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第2問
正の整数nに対して、連立不等式
$\small\sf{\begin{align*} \sf \left\{ \begin{array}{ll}\sf 0\lt x\leqq n \\ \sf x\leqq y\leqq 3x \\\end{array} \right.\end{align*}}$
の表す領域をDnとする。次の問いに答えよ。
(1) 領域Dn内にある格子点P(x，y)の個数をSnとする。
Snをnで表せ。ただし、格子点とはx座標とy座標の
両方が整数であるような点のことである。
(2) 原点O(0，0)を始点とし、領域Dn内の格子点P(x，y)
を終点とする位置ベクトル$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\end{align*}}$ は、ベクトル$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf v_1}\end{align*}}$ =(1，1)、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf v_2}=(1,\ 2)\ ,\ \ \overrightarrow{\sf v_3}=(1,\ 3)\end{align*}}$ と0以上の整数m1、m2、m3
を用いて
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=m_1\overrightarrow{\sf v_1}+m_2\overrightarrow{\sf v_2}+m_3\overrightarrow{\sf v_3}\end{align*}}$
と表せることを証明せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
Dn内の格子点で、x座標が $\scriptsize\sf{\sf k （k=1,2,\cdots ,n）}$ のものは、
$\scriptsize\sf{\sf (k,\ k)\ ,\ (k,\ k+1)\ ,\ \cdots \ ,\ (k,\ 3k)}$ ……(#)
の2k+1個ある。
よって、格子点の総数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_n=\sum_{k=1}^n\left(2k+1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =n\left(n+1\right)+n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ n\left(n+2\right)\ }\end{align*}}$
(2)
(1)の(#)のうち、
$\scriptsize\sf{\sf P(k,\ k+i)\ \ （i=0,1,2,\cdots ,k）}$
で表される点は、0以上の整数k，iを用いて
$\scriptsize\sf{\sf \begin{align*}\sf (k,\ k+1)&=\sf (k,\ (k-i)+2i)\\ &=\sf (k-i)(1,\ 1)+(1,\ 2)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf OP}=(k-i)\ \overrightarrow{\sf v_1}+i\ \overrightarrow{\sf v_2}+0\cdot \overrightarrow{\sf v_3}\end{align*}}$
と表すことができる。
また、(1)の(#)のうち、
$\scriptsize\sf{\sf P(k,\ 2k+j)\ \ （ｊ=1,2,\cdots,k）}$
で表される点は、0以上の整数k，jを用いて
$\scriptsize\sf{\sf \begin{align*}\sf (k,\ 2k+j)&=\sf (k,\ 2(k-j)+3i) \\ &=\sf (k-j)(1,\ 2)+j(1,\ 3)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf OP}=0\cdot \overrightarrow{\sf v_1}+(k-j)\ \overrightarrow{\sf v_2}+j\ \overrightarrow{\sf v_3}\end{align*}}$
と表すことができる。
これらは任意のkについて成り立つので、領域Dn内の点Pは
0以上の整数m1、m2、m3を用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=m_1\overrightarrow{\sf v_1}+m_2\overrightarrow{\sf v_2}+m_3\overrightarrow{\sf v_3}\end{align*}}$
と表せる。
(2)は、いろいろな証明がありますが、どれも書きにくいでしょうねぇ・・・
↑のように、具体的に表してしまう方法がまだマシでしょうか。
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- 2014/09/22(月) 23:57:00|
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第3問
正の実数a、bに対して、2つの曲線
$\small{\sf C_1:\ ay^2=x^3\ \ （x\geqq 0\ ,\ y\geqq 0）}$
$\small{\sf C_2:\ bx^2=y^3\ \ （x\geqq 0\ ,\ y\geqq 0）}$
の原点O以外の交点をPとする。次の問に答えよ。
(1) 交点Pの座標を求め、2つの曲線C1、C2の概形を描け。
(2) 2つの曲線C1、C2で囲まれる部分の面積を、aとbで表せ。
また、この面積が一定値Sであるようにa、bが動くとき、
点Pの軌跡の方程式を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
2曲線の式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf C_1:\ y=a^{-\frac{1}{2}}x^{\frac{3}{2}}\ \ ,\ \ C_2:\ y=b^{\frac{1}{3}}x^{\frac{2}{3}}\end{align*}}$
と変形でき、これらを連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a^{-\frac{1}{2}}x^{\frac{3}{2}}=b^{\frac{1}{3}}x^{\frac{2}{3}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^{\frac{5}{6}}=a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{3}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=\left(a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{6}{5}}=a^{\frac{3}{5}}b^{\frac{2}{5}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=a^{-\frac{1}{2}}\left(a^{\frac{3}{5}}b^{\frac{2}{5}}\right)^{\frac{3}{2}}=a^{\frac{2}{5}}b^{\frac{3}{5}}\end{align*}}$
となるので、2曲線の交点Pの座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ P\left(a^{\frac{3}{5}}b^{\frac{2}{5}}\ ,\ a^{\frac{2}{5}}b^{\frac{3}{5}}\right)\ }\end{align*}}$
一方、C1の第1次および第2次導関数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y\ '=\frac{3}{2}a^{-\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{2}}\ (>0)\ \ ,\ \ y\ ''=\frac{3}{4}a^{-\frac{1}{2}}x^{-\frac{1}{2}}\ (>0)\end{align*}}$
C1の第1次および第2次導関数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y\ '=\frac{2}{3}b^{\frac{1}{3}}x^{-\frac{1}{3}}\ (>0)\ \ ,\ \ y\ ''=-\frac{2}{9}b^{\frac{1}{3}}x^{-\frac{4}{3}}\ (<0)\end{align*}}$
であり、共に原点を通るので、グラフの概形は下図のようになる。
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p=a^{\frac{3}{5}}b^{\frac{2}{5}}\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_0^p\left(b^{\frac{1}{3}}x^{\frac{2}{3}}-a^{-\frac{1}{2}}x^{\frac{3}{2}}\right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\frac{3}{5}b^{\frac{1}{3}}x^{\frac{5}{3}}-\frac{2}{5}a^{-\frac{1}{2}}x^{\frac{5}{2}}\right]_0^p\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{3}{5}b^{\frac{1}{3}}\left(a^{\frac{3}{5}}b^{\frac{2}{5}}\right)^{\frac{5}{3}}-\frac{2}{5}a^{-\frac{1}{2}}\left(a^{\frac{3}{5}}b^{\frac{2}{5}}\right)^{\frac{5}{2}} \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{3}{5}ab-\frac{2}{5}ab\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{5}ab\ }\end{align*}}$
また、(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P\left(X,Y\right)=\left(a^{\frac{3}{5}}b^{\frac{2}{5}}\ ,\ a^{\frac{2}{5}}b^{\frac{3}{5}}\right)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf XY=a^{\frac{3}{5}}b^{\frac{2}{5}}\cdot a^{\frac{2}{5}}b^{\frac{3}{5}}=ab\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ XY=5S\ }\end{align*}}$
これが、求める点Pの軌跡の方程式である。
細かい指数計算に注意が必要です。
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- 2014/09/23(火) 23:57:00|
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第4問
関数f(x)は任意の実数xに対して定義されているとする。
次の問に答えよ。
(1) f(x)がx=aにおいて微分可能であることの定義を述べよ。
(2) 次の2つの命題のうち正しいものを選び、それが正しい理由
を示せ。
(ⅰ) f(x)がx=aにおいて連続ならば、必ず、f(x)はx=aに
おいて微分可能である。
(ⅱ) f(x)がx=aにおいて連続であっても、f(x)はx=aに
おいて微分可能であるとは限らない。
(3) 関数$\small{\sf f(x)=\cos x}$ がx=aにおいて微分可能であることを、
(1)で答えた定義を用いて証明せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
極限 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\ (a+h)-f\ (a)}{h}\end{align*}}$ が存在する。
(2)
f(x)=|x－a|とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow a+0}f\ (x)=\lim_{x\rightarrow a-0}f\ (x)=f\ (a)=0\end{align*}}$
なので、f(x)はx=aで連続である。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{h\rightarrow +0}\frac{f\ (a+h)-f\ (a)}{h}=\lim_{h\rightarrow +0}\frac{h-0}{h}=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{h\rightarrow -0}\frac{f\ (a+h)-f\ (a)}{h}=\lim_{h\rightarrow -0}\frac{-h-0}{h}=-1\end{align*}}$
なので、極限 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{h\rightarrow 0}f\ (a)\end{align*}}$ が存在しない。
よって、f(x)はx=aで連続ではあるが、微分可能ではないので、
命題(ⅱ)が正しい。
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{h\rightarrow \pm 0}\frac{f\ (a+h)-f\ (a)}{h}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{h\rightarrow \pm 0}\frac{\cos (a+h)-\cos a}{h}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{h\rightarrow \pm 0}\frac{\left(\cos a\cos h-\sin a\sin h\right)-\cos a}{h}\end{align*}}$ ←加法定理
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{h\rightarrow \pm 0}\frac{\cos h-1}{h}\cdot \cos a-\lim_{h\rightarrow \pm 0}\frac{\sin h}{h}\cdot \sin a\end{align*}}$
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\cos h-1}{h}=\frac{\left(\cos h-1\right)\left(\cos h+1\right)}{h\left(\cos h+1\right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\cos^2h-1}{h\left(\cos h+1\right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{-\sin^2h}{h\left(\cos h+1\right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{\sin h}{h}\cdot\frac{\sin h}{\cos h+1}\end{align*}}$
であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{h\rightarrow \pm 0}\frac{\sin h}{h}=1\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{h\rightarrow \pm 0}\frac{f\ (a+h)-f\ (a)}{h}=-1\cdot\frac{0}{1+1}-1\cdot \sin a=-\sin a\end{align*}}$
となり、極限 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\ (a+h)-f\ (a)}{h}\end{align*}}$ が存在する。
よって、f(x)は、x=aにおいて微分可能である。
高校生が苦手なヤツです。まずは定義をちゃんと覚えましょう！
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- 2014/09/24(水) 23:57:00|
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第5問
数字1，2，…，Nの書かれたカードが1枚ずつN枚入っている
箱から、元に戻さずに1枚ずつk枚のカードを引く試行を考える。
ここで、2≦k≦Nとする。引いたカードの順に、書かれている
数字をx1，x2，…，xkとする。次の問に答えよ。
(1) x1＜x2…＜xk、すなわち、k枚のカードを数字の小さい順に
引く確率pを求めよ。
(2) iは整数で、2≦i≦kをみたすとする。
x1＜x2＜…＜xi-1
xi-1＞xi
である確率、すなわち、k枚のカードのうちi－1枚目までは
小さい順にカードを引き、i枚目に初めてi－1枚目よりも数字
の小さいカードを引く確率qiを求めよ。
(3) Nは5以上の整数で、k=5とする。2≦i≦5をみたす各整数i
について上の(2)の事象が起こるとき、得点i点が与えられる
とする。それ以外のときの得点は0点とする。このとき，得点の
期待値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
取り出したカードの並べ方は k!通りあり、このうちで
x1＜x2＜…＜xk
となっている並び方は1通りなので、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ p=\frac{1}{k\ !}\ }\end{align*}}$
(2)
取り出したカードの並べ方は k!通りある。
x1＜x2＜…＜xi-1＞xi
となるためには、xi-1が最大の数である必要がある。
xiは、xi-1以外のi－1通りの場合が考えられ、
x1、x2、…、xi-2の並び方は1通りある。
よって、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ q_i=\frac{i-1}{i\ !}\ }\end{align*}}$
(3)
求める期待値をEとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf E=2q_2+3q_3+4q_4+5q_5\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\cdot\frac{2-1}{2\ !}+3\cdot\frac{3-1}{3\ !}+4\cdot\frac{4-1}{4\ !}+5\cdot\frac{5-1}{5\ !}\end{align*}}$ ←(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{8}{3}\ }\end{align*}}$
よくある問題ですね。
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- 2014/09/25(木) 23:57:00|
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