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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2002神戸大 理系数学1



第1問

  0でない複素数zに対して、$\small\sf{\sf w=u+iv}$ を
        $\small\sf{\begin{align*} \sf w=\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)\end{align*}}$
  とするとき、次の問いに答えよ。ただし、u、vは実数、
  iは虚数単位である。

 (1) 複素数平面上で、zが単位円|z|=1を動くとき、wは
    どのような曲線を描くか。u、vが満たす曲線の方程式
    を求め、その曲線を図示せよ。

 (2) 複素数平面上で、zが実軸からの偏角$\small\sf{\alpha}$ $\small\sf{\begin{align*} \sf \left(0<\alpha <\frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$
    の半直線上を動くとき、wはどのような曲線を描くか。
    u、vが満たす曲線の方程式を求め、その曲線を図示
    せよ。



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  1. 2014/09/21(日) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .神戸大 理系 2002
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2002神戸大 理系数学2



第2問

  正の整数nに対して、連立不等式
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \left\{ \begin{array}{ll}\sf 0\lt x\leqq n \\ \sf x\leqq y\leqq 3x \\\end{array} \right.\end{align*}}$
  の表す領域をDnとする。次の問いに答えよ。

 (1) 領域Dn内にある格子点P(x,y)の個数をSnとする。
    Snをnで表せ。ただし、格子点とはx座標とy座標の
    両方が整数であるような点のことである。

 (2) 原点O(0,0)を始点とし、領域Dn内の格子点P(x,y)
    を終点とする位置ベクトル$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\end{align*}}$ は、ベクトル$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf v_1}\end{align*}}$ =(1,1)、
    $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf v_2}=(1,\ 2)\ ,\ \ \overrightarrow{\sf v_3}=(1,\ 3)\end{align*}}$ と0以上の整数m1、m2、m3
    を用いて
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=m_1\overrightarrow{\sf v_1}+m_2\overrightarrow{\sf v_2}+m_3\overrightarrow{\sf v_3}\end{align*}}$
    と表せることを証明せよ。




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  1. 2014/09/22(月) 23:57:00|
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2002神戸大 理系数学3



第3問

  正の実数a、bに対して、2つの曲線
     $\small{\sf C_1:\ ay^2=x^3\ \ (x\geqq 0\ ,\ y\geqq 0)}$
     $\small{\sf C_2:\ bx^2=y^3\ \ (x\geqq 0\ ,\ y\geqq 0)}$
  の原点O以外の交点をPとする。次の問に答えよ。

 (1) 交点Pの座標を求め、2つの曲線C1、C2の概形を描け。

 (2) 2つの曲線C1、C2で囲まれる部分の面積を、aとbで表せ。
    また、この面積が一定値Sであるようにa、bが動くとき、
    点Pの軌跡の方程式を求めよ。



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  1. 2014/09/23(火) 23:57:00|
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2002神戸大 理系数学4



第4問

  関数f(x)は任意の実数xに対して定義されているとする。
  次の問に答えよ。

 (1) f(x)がx=aにおいて微分可能であることの定義を述べよ。
 (2) 次の2つの命題のうち正しいものを選び、それが正しい理由
    を示せ。
   (ⅰ) f(x)がx=aにおいて連続ならば、必ず、f(x)はx=aに
      おいて微分可能である。
   (ⅱ) f(x)がx=aにおいて連続であっても、f(x)はx=aに
      おいて微分可能であるとは限らない。

 (3) 関数$\small{\sf f(x)=\cos x}$ がx=aにおいて微分可能であることを、
    (1)で答えた定義を用いて証明せよ。



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  1. 2014/09/24(水) 23:57:00|
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2002神戸大 理系数学5



第5問

  数字1,2,…,Nの書かれたカードが1枚ずつN枚入っている
  箱から、元に戻さずに1枚ずつk枚のカードを引く試行を考える。
  ここで、2≦k≦Nとする。引いたカードの順に、書かれている
  数字をx1,x2,…,xkとする。次の問に答えよ。

 (1) x1<x2…<xk、すなわち、k枚のカードを数字の小さい順に
    引く確率pを求めよ。

 (2) iは整数で、2≦i≦kをみたすとする。
        x1<x2<…<xi-1
        xi-1>xi
    である確率、すなわち、k枚のカードのうちi-1枚目までは
    小さい順にカードを引き、i枚目に初めてi-1枚目よりも数字
    の小さいカードを引く確率qiを求めよ。

 (3) Nは5以上の整数で、k=5とする。2≦i≦5をみたす各整数i
    について上の(2)の事象が起こるとき、得点i点が与えられる
    とする。それ以外のときの得点は0点とする。このとき,得点の
    期待値を求めよ。



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  1. 2014/09/25(木) 23:57:00|
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