青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2002神戸大 理系数学1



第1問

  0でない複素数zに対して、w=u+iv を
        橿原 学習塾 青木ゼミ
  とするとき、次の問いに答えよ。ただし、u、vは実数、
  iは虚数単位である。

 (1) 複素数平面上で、zが単位円|z|=1を動くとき、wは
    どのような曲線を描くか。u、vが満たす曲線の方程式
    を求め、その曲線を図示せよ。

 (2) 複素数平面上で、zが実軸からの偏角α 橿原 学習塾 青木ゼミ
    の半直線上を動くとき、wはどのような曲線を描くか。
    u、vが満たす曲線の方程式を求め、その曲線を図示
    せよ。



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  1. 2014/09/21(日) 23:57:00|
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2002神戸大 理系数学2



第2問

  正の整数nに対して、連立不等式
        橿原 学習塾 青木ゼミ
  の表す領域をDnとする。次の問いに答えよ。

 (1) 領域Dn内にある格子点P(x,y)の個数をSnとする。
    Snをnで表せ。ただし、格子点とはx座標とy座標の
    両方が整数であるような点のことである。

 (2) 原点O(0,0)を始点とし、領域Dn内の格子点P(x,y)
    を終点とする位置ベクトル橿原 学習塾 青木ゼミ は、ベクトル橿原 学習塾 青木ゼミ =(1,1)、
    橿原 学習塾 青木ゼミ =(1,2)、橿原 学習塾 青木ゼミ =(1,3)と0以上の整数m1、m2、m3
    を用いて
        橿原 学習塾 青木ゼミ
    と表せることを証明せよ。




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  1. 2014/09/22(月) 23:57:00|
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2002神戸大 理系数学3



第3問

  正の実数a、bに対して、2つの曲線
     C1: ay2=x3 (x≧0、y≧0)
     C2: bx2=y3 (x≧0、y≧0)
  の原点O以外の交点をPとする。次の問に答えよ。

 (1) 交点Pの座標を求め、2つの曲線C1、C2の概形を描け。

 (2) 2つの曲線C1、C2で囲まれる部分の面積を、aとbで表せ。
    また、この面積が一定値Sであるようにa、bが動くとき、
    点Pの軌跡の方程式を求めよ。



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  1. 2014/09/23(火) 23:57:00|
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2002神戸大 理系数学4



第4問

  関数f(x)は任意の実数xに対して定義されているとする。
  次の問に答えよ。

 (1) f(x)がx=aにおいて微分可能であることの定義を述べよ。
 (2) 次の2つの命題のうち正しいものを選び、それが正しい理由
    を示せ。
   (ⅰ) f(x)がx=aにおいて連続ならば、必ず、f(x)はx=aに
      おいて微分可能である。
   (ⅱ) f(x)がx=aにおいて連続であっても、f(x)はx=aに
      おいて微分可能であるとは限らない。

 (3) 関数f(x)=cosxがx=aにおいて微分可能であることを、
    (1)で答えた定義を用いて証明せよ。



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  1. 2014/09/24(水) 23:57:00|
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2002神戸大 理系数学5



第5問

  数字1,2,…,Nの書かれたカードが1枚ずつN枚入っている
  箱から、元に戻さずに1枚ずつk枚のカードを引く試行を考える。
  ここで、2≦k≦Nとする。引いたカードの順に、書かれている
  数字をx1,x2,…,xkとする。次の問に答えよ。

 (1) x1<x2…<xk、すなわち、k枚のカードを数字の小さい順に
    引く確率pを求めよ。

 (2) iは整数で、2≦i≦kをみたすとする。
        x1<x2<…<xi-1
        xi-1>xi
    である確率、すなわち、k枚のカードのうちi-1枚目までは
    小さい順にカードを引き、i枚目に初めてi-1枚目よりも数字
    の小さいカードを引く確率qiを求めよ。

 (3) Nは5以上の整数で、k=5とする。2≦i≦5をみたす各整数i
    について上の(2)の事象が起こるとき、得点i点が与えられる
    とする。それ以外のときの得点は0点とする。このとき,得点の
    期待値を求めよ。



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  1. 2014/09/25(木) 23:57:00|
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