FC2ブログ

青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2003神戸大 理系数学1



第1問

  次の問いに答えよ。ただし、iは虚数単位とする。

 (1) 複素数zに対し、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf w=\frac{z-i}{z+i}\end{align*}}$
    とする。zが実軸上を動くとき、複素数平面上でwが表す点が
    描く図形を求めよ。

 (2) 複素数zとその共役複素数 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overline{z}\end{align*}}$ に対し、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf w_1=\frac{z-i}{z+i}\ \ ,\ \ w_2=\frac{\overline{z}-i}{\overline{z}+i}\end{align*}}$
    とする。z≠±iのとき、複素数平面上でw1を表す点をP、w2
    表す点をQとする。P、Qと原点Oが同一直線上にあることを示せ。




テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2014/09/16(火) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .神戸大 理系 2003
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

2003神戸大 理系数学2



第2問

  三角形ABCがあり、AB=2、∠ABC=$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{4}\end{align*}}$ 、∠CAB>$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{4}\end{align*}}$ とする。
  点Aから辺BCに下ろした垂線の足をHとし、∠CAH=$\small\sf{\alpha}$ とする。
  辺ABの中点をMとする。線分AM上にAと異なる点Xをとる。3点
  A、X、Hを通る円の中心をP、半径をr、∠PAH=$\small\sf{\theta}$ とする。この
  円と直線ACとの交点で、Aと異なる点をYとする。次の問いに答
  えよ 。

 (1) $\small\sf{\cos\theta}$ をrを用いて表せ。

 (2) AX+AYをrと$\small\sf{\alpha}$ を用いて表せ。

 (3) Xのとり方によらず、AX+AYが常に一定の値になるときの$\small\sf{\alpha}$
    の値を求めよ。




テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2014/09/17(水) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .神戸大 理系 2003
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

2003神戸大 理系数学3



第3問

  関数
        $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{e^{\frac{1}{4}|x|}}{x^2-3x+18}\end{align*}}$
  とする。次の問いに答えよ。

 (1) f(x)の極小値をすべて求めよ。

 (2) f(x)の最小値を求めよ。ただし、必要ならばe>2.7を用いてよい。



テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2014/09/18(木) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .神戸大 理系 2003
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

2003神戸大 理系数学4



第4問

  f(x)は実数全体で定義された何回でも微分可能な関数で、
  $\small\sf{\sf f(0)=0\ \ ,\ \ f(\pi)=0}$ をみたすとする。次の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\pi}f\ (x)\sin x dx=-\int_0^{\pi}f\ ''(x)\sin x dx\end{align*}}$ を示せ。

 (2) $\small\sf{\sf f(x)=x(x-\pi)}$ のとき、実数aに対し
        $\small\sf{\begin{align*} \sf F\ (a)=\int_0^{\pi}\bigg\{af\ (x)-\sin x\bigg\}^2dx\end{align*}}$
    とする。aを変化させたとき、F(a)を最小にするaの値を
    求めよ。




テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2014/09/19(金) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .神戸大 理系 2003
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

2003神戸大 理系数学5



第5問

  座標平面上の点(p,q)で、pとqがともに整数であるものを
  格子点という。次の問いに答えよ。

 (1) 自然数nに対し、$\small\sf{\sf p+2q=n\ ,\ \ p\gt 0\ ,\ \ q\gt 0}$ をみたす格子点
    (p,q)の個数をanとする。anを求めよ。

 (2) 自然数nに対し、$\small\sf{\sf p+2q\lt n\ ,\ p\gt 0\ ,\ q\gt 0}$ をみたす格子点
    (p,q)の個数をbnとする。bnを求めよ。

 (3) 極限値 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{n^2}\end{align*}}$ と $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{b_n}{n^2}\end{align*}}$ を求めよ。




テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2014/09/20(土) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .神戸大 理系 2003
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0