第1問
次の問いに答えよ。ただし、ｉは虚数単位とする。
(1) 複素数zに対し、
$\small\sf{\begin{align*} \sf w=\frac{z-i}{z+i}\end{align*}}$
とする。zが実軸上を動くとき、複素数平面上でwが表す点が
描く図形を求めよ。
(2) 複素数zとその共役複素数 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overline{z}\end{align*}}$ に対し、
$\small\sf{\begin{align*} \sf w_1=\frac{z-i}{z+i}\ \ ,\ \ w_2=\frac{\overline{z}-i}{\overline{z}+i}\end{align*}}$
とする。z≠±iのとき、複素数平面上でw1を表す点をP、w2を
表す点をQとする。P、Qと原点Oが同一直線上にあることを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf w=\frac{z-i}{z+i}\ \ \Leftrightarrow\ \ \left(z+i\right)w=z-i\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ z-wz=iw+i\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(1-w\right)z=\left(1+w\right)i\end{align*}}$
w=1のとき、この式は成り立たないので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf z=\frac{1+w}{1-w}\ i\end{align*}}$ ……(ア)
一方、題意よりzは実数なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf z=\overline{z}\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1+w}{1-w}\ i=\overline{\left(\frac{1+w}{1-w}\ i\right)}\end{align*}}$ ←(ア)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1+w}{1-w}\ i=\frac{1+\overline{w}}{1-\overline{w}}\cdot( -i)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(1+w\right)\left(1-\overline{w}\right)=-\left(1-w\right)\left(1+\overline{w}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 1+w-\overline{w}-w\overline{w}=-1+w-\overline{w}+w\overline{w}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ w\overline{w}=|w|^2=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ |w|=1\end{align*}}$
となるので、wは、原点中心半径1の円周上を動く。
（ただし、点1は除く）
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{w_1}{w_2}=\frac{\left(z-i\right)\left(\overline{z}+i\right)}{\left(z+i\right)\left(\overline{z}-i\right)}\end{align*}}$
に対して、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overline{\left( \frac{w_1}{w_2}\right)}=\frac{\overline{\left(z-i\right)}\ \overline{\left(\overline{z}+i\right)}}{\overline{\left(z+i\right)}\ \overline{\left(\overline{z}-i\right)}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\left(\overline{z}+i\right)\left(z-i\right)}{\left(\overline{z}-i\right)\left(z+i\right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{w_1}{w_2}\end{align*}}$
なので、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{w_1}{w_2}\end{align*}}$ は実数である。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf arg\ \frac{w_1}{w_2}=\angle QOP=0\ ,\ \pi\end{align*}}$
となるので、3点O、P、Qは同一直線上にある。
もちろん成分計算でも出来ますが、面倒なので・・・・・・
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- 2014/09/16(火) 23:57:00|
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第2問
三角形ABCがあり、AB=2、∠ABC=$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{4}\end{align*}}$ 、∠CAB＞$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{4}\end{align*}}$ とする。
点Aから辺BCに下ろした垂線の足をHとし、∠CAH=$\small\sf{\alpha}$ とする。
辺ABの中点をMとする。線分AM上にAと異なる点Xをとる。3点
A、X、Hを通る円の中心をP、半径をr、∠PAH=$\small\sf{\theta}$ とする。この
円と直線ACとの交点で、Aと異なる点をYとする。次の問いに答
えよ 。
(1) $\small\sf{\cos\theta}$ をrを用いて表せ。
(2) AX+AYをrと$\small\sf{\alpha}$ を用いて表せ。
(3) Xのとり方によらず、AX+AYが常に一定の値になるときの$\small\sf{\alpha}$
の値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
△ABHは直角二等辺三角形になるので、 
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AH=BH=2\cdot \frac{1}{\sqrt2}=\sqrt2\end{align*}}$
であり、△PAHは
PA=PH=r、 ∠PAH=$\scriptsize\sf{\theta}$
の二等辺三角形なので、余弦定理を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\theta=\frac{\left(\sqrt2\right)^2+r^2-r^2}{2\sqrt2\ r}=\underline{\ \frac{1}{\sqrt2\ r}\ }\end{align*}}$
(2)
(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin\theta=\sqrt{1-\left(\frac{1}{\sqrt2\ r}\right)^2}=\frac{\sqrt{2r^2-1}}{\sqrt2\ r}\ \ (>0)\end{align*}}$ ……(#)
△APXは
PA=PX=r、 ∠PAX=$\scriptsize\sf{\theta}$ +$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{4}\end{align*}}$
の二等辺三角形なので、余弦定理を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r^2=r^2+AX^2-2r\cdot AX\ \cos\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ AX=2r\cos\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)\ (\ne 0)\end{align*}}$
同様にして、△APXは
PA=PY=r、 ∠PAY=|$\scriptsize\sf{\theta}$ －$\scriptsize\sf{\alpha}$ |
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AY=2r\cos\left(\theta-\alpha\right)\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AX+AY\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2r\cos\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)+2r\cos\left(\theta-\alpha\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2r\left\{\left(\cos\theta\cos\frac{\pi}{4}-\sin\theta\sin\frac{\pi}{4}\right)+\left(\cos\theta\cos\alpha+\sin\theta\sin\alpha\right)\right\}\end{align*}}$ ←加法定理
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2r\left(\frac{1}{\sqrt2\ r}\cdot\frac{1}{\sqrt2}-\frac{\sqrt{2r^2-1}}{\sqrt2\ r}\cdot\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt2\ r}\cos\alpha+\frac{\sqrt{2r^2-1}}{\sqrt2\ r}\sin\alpha\right)\end{align*}}$ ←(1)、(#)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 1+\sqrt2 \cos\alpha+\sqrt{2r^2-1}\left(\sqrt2\ \sin\alpha-1\right)}\end{align*}}$
(3)
Xのとり方を変えることによって、rの値が変化する。
rの値によらず(2)のAX+AYの値が一定になるためには、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\ \sin\alpha=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sin\alpha=\frac{1}{\sqrt2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ \alpha=\frac{\pi}{4}\ \ \ \ \left(\because 0<\alpha<\frac{\pi}{2}\right)\ }\end{align*}}$
であればよい。
$\scriptsize\sf{\alpha}$ と$\scriptsize\sf{\theta}$ の大小関係は分からないので、∠PAY=|$\scriptsize\sf{\theta}$ －$\scriptsize\sf{\alpha}$ |のように
絶対値が必要です。
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- 2014/09/17(水) 23:57:00|
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第3問
関数
$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{e^{\frac{1}{4}|x|}}{x^2-3x+18}\end{align*}}$
とする。次の問いに答えよ。
(1) f(x)の極小値をすべて求めよ。
(2) f(x)の最小値を求めよ。ただし、必要ならばe＞2.7を用いてよい。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
(ⅰ) x＞0のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{e^{\frac{1}{4}x}}{x^2-3x+18}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\frac{\frac{1}{4}e^{\frac{1}{4}x}\left(x^2-3x+18\right)-e^{\frac{1}{4}x}\left(2x-3\right)}{\left(x^2-3x+18\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{x^2-11x+30}{4\left(x^2-3x+18\right)^2}\ e^{\frac{1}{4}x}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\left(x-5\right)\left(x-6\right)}{4\left(x^2-3x+18\right)^2}\ e^{\frac{1}{4}x}\end{align*}}$
(ⅱ) x＞0のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{e^{-\frac{1}{4}x}}{x^2-3x+18}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\frac{-\frac{1}{4}e^{-\frac{1}{4}x}\left(x^2-3x+18\right)-e^{-\frac{1}{4}x}\left(2x-3\right)}{\left(x^2-3x+18\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{x^2+5x+6}{4\left(x^2-3x+18\right)^2}\ e^{-\frac{1}{4}x}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{\left(x+2\right)\left(x+3\right)}{4\left(x^2-3x+18\right)^2}\ e^{-\frac{1}{4}x}\end{align*}}$
これらより、f(x)の増減は次のようになる。
よって、f(x)の極小値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ f\ (-3)=\frac{e^{\frac{3}{4}}}{36}\ \ ,\ \ f\ (0)=\frac{1}{18}\ \ ,\ \ f\ (6)=\frac{e^{\frac{3}{2}}}{36}\ }\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\sf e\lt 2.7\lt 1}$ と
$\scriptsize\sf{\sf 2.7^3=19.689\gt 16=2^4}$
より、
$\scriptsize\sf{\sf e^6\gt e^3\lt 2.7^3\gt 2^4\gt 0}$
なので、各辺の正の4乗根をとると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf e^{\frac{3}{2}}>e^{\frac{3}{4}}>2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{e^{\frac{3}{2}}}{36}>\frac{e^{\frac{3}{4}}}{36}>\frac{1}{18}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ f\ (6)>f\ (-3)>f\ (0)\end{align*}}$
よって、f(x)の最小値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ f\ (0)=\frac{1}{18}\ }\end{align*}}$
これはそのままです。
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第4問
f(x)は実数全体で定義された何回でも微分可能な関数で、
$\small\sf{\sf f(0)=0\ \ ,\ \ f(\pi)=0}$ をみたすとする。次の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\pi}f\ (x)\sin x dx=-\int_0^{\pi}f\ ''(x)\sin x dx\end{align*}}$ を示せ。
(2) $\small\sf{\sf f(x)=x(x－\pi)}$ のとき、実数aに対し
$\small\sf{\begin{align*} \sf F\ (a)=\int_0^{\pi}\bigg\{af\ (x)-\sin x\bigg\}^2dx\end{align*}}$
とする。aを変化させたとき、F(a)を最小にするaの値を
求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
部分積分法を2回用いると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\pi}f\ (x)\sin x dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\bigg[-f\ (x)\ \cos x\bigg]_0^{\pi}-\int_0^{\pi}\bigg\{-f\ '(x)\cos x\bigg\}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{\pi}f\ '(x)\cos xdx\ \ \ \ \left(\because f(0)=f(\pi)=0\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\bigg[f\ (x)\ \sin x\bigg]_0^{\pi}-\int_0^{\pi}f\ ''(x)\sin xdx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\int_0^{\pi}f\ ''(x)\sin xdx\ \ \ \ \left(\because \sin 0=\sin\pi=0\right)\end{align*}}$
となるので、題意は示された。
(2)
まず、
$\scriptsize\sf{\sf f(x)=x(x-\pi)=x^2-\pi\ x}$
に対して、
$\scriptsize\sf{\sf f'(x)=2x-\pi\ \ ,\ \ f''(x)=2}$ ……(#)
題意より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf F\ (a)=\int_0^{\pi}\bigg\{af\ (x)-\sin x\bigg\}^2dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =a^2\int_0^{\pi}\bigg\{f\ (x)\bigg\}^2dx-2a\int_0^{\pi}f\ (x)\sin x\ dx+\int_0^{\pi}\sin^2x\ dx\end{align*}}$
であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\pi}\bigg\{f\ (x)\bigg\}^2dx=\int_0^{\pi}\left(x^4-2\pi x^3+\pi^2x^2\right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\frac{1}{5}x^2-\frac{\pi}{2}x^4+\frac{\pi^2}{3}x^3\right]_0^{\pi}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi^5}{30}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\pi}f\ (x)\sin x dx=-\int_0^{\pi}f\ ''(x)\sin x dx\end{align*}}$ ←(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-2\int_0^{\pi}\sin x dx\end{align*}}$ ←(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-2\bigg[-\cos x\bigg]_0^{\pi}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-4\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\pi}\sin^2x\ dx=\int_0^{\pi}\frac{1-\cos 2x}{2}\ dx\end{align*}}$ ←半角公式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\sin 2x\right]_0^{\pi}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi}{2}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf F\ (a)=\frac{\pi^5}{30}a^2+8a+\frac{\pi}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi^5}{30}\left(a+\frac{120}{\pi^5}\right)^2+\frac{\pi}{2}-\frac{480}{\pi^5}\end{align*}}$ ．
よって、F(a)が最大になるのは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a=-\frac{120}{\pi^5}\ }\end{align*}}$
のときである。
実際には、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}\int_0^{\pi}\sin^2x\ dx}\end{align*}}$ はaとは無関係なので計算する必要はありません。
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- 2014/09/19(金) 23:57:00|
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第5問
座標平面上の点(p，q)で、pとqがともに整数であるものを
格子点という。次の問いに答えよ。
(1) 自然数nに対し、$\small\sf{\sf p+2q=n\ ,\ \ p\gt 0\ ,\ \ q\gt 0}$ をみたす格子点
(p，q)の個数をanとする。anを求めよ。
(2) 自然数nに対し、$\small\sf{\sf p+2q\lt n\ ,\ p\gt 0\ ,\ q\gt 0}$ をみたす格子点
(p，q)の個数をbnとする。bnを求めよ。
(3) 極限値 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{n^2}\end{align*}}$ と $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{b_n}{n^2}\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
与式は、$\scriptsize\sf{\sf p=n-2q}$ と変形できるので、qが整数のとき、
対応するpは必ず整数となる。
また、$\scriptsize\sf{\sf p\gt 0\ ,\ q\gt 0}$ よりqの範囲は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p=n-2q>0\ \ \Leftrightarrow\ \ 0\lt q<\frac{n}{2}\end{align*}}$ ……(#)
となる。
(ⅰ) nが偶数のとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{n}{2}\end{align*}}$ は整数となるので、(#)を満たす整数qの値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1,2,3,\ldots,\frac{n}{2}-1\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a_n=\frac{n}{2}-1\ }\end{align*}}$
(ⅱ) nが奇数のとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{n}{2}\end{align*}}$ は整数ではないので、(#)を満たす整数qの値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1,2,3,\ldots,\frac{n-1}{2}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a_n=\frac{n-1}{2}\ }\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\sf p+2q\lt n\ ,\ p\gt 0\ ,\ q\gt 0}$ ……(ア)
これを満たす格子点のうちで、$\scriptsize\sf{\sf q=k}$ となるものは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(1,k\right)\ ,\ \left(2,k\right)\ ,\ \ldots\ ,\ \left(n-2k-1,k\right)\end{align*}}$
の$\scriptsize\sf{\sf n-2k-1}$ 個ある。
(ⅰ) nが偶数のとき
kは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1,2,\ldots ,\frac{n}{2}-1\end{align*}}$
の値をとるので、格子点の総数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_n=\sum_{k=1}^{\frac{n}{2}-1}\left(n-1-2k\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(n-1\right)\left(\frac{n}{2}-1\right)-\left(\frac{n}{2}-1\right)\cdot\frac{n}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{4}\left(n-2\right)^2\ }\end{align*}}$
(ⅱ) nが奇数のとき
kは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1,2,\ldots ,\frac{n-1}{2}\end{align*}}$
の値をとるので、格子点の総数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_n=\sum_{k=1}^{\frac{n-1}{2}}\left(n-1-2k\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(n-1\right)\cdot\frac{n-1}{2}-\frac{n-1}{2}\left(\frac{n-1}{2}+1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{4}\left(n-3\right)\left(n-1\right)\ }\end{align*}}$
(3)
(ⅰ) nが偶数のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{n^2}=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{2n}-\frac{1}{n^2}\right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{b_n}{n^2}=\frac{1}{4}\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\left(n-2\right)^2}{n^2}=\frac{1}{4}\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1-\frac{2}{n}\right)^2=\frac{1}{4}\end{align*}}$
(ⅱ) nが奇数のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{n^2}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1-\frac{1}{n}}{2n}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{b_n}{n^2}=\frac{1}{4}\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\left(n-3\right)\left(n-1\right)}{n^2}=\frac{1}{4}\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1-\frac{3}{n}\right)\left(1-\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{4}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{n^2}=0\ \ ,\ \ \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{b_n}{n^2}=\frac{1}{4}\ }\end{align*}}$
神戸大は、格子点の問題が多いですねぇ。
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- 2014/09/20(土) 23:57:00|
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