第1問
行列A、B、Cを
$\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf c & \sf d \end{pmatrix}\ \ ,\ \ B=\begin{pmatrix} \sf 0&\sf 1 \\ \sf 0 & \sf 0 \end{pmatrix}\ \ ,\ \ C=\begin{pmatrix} \sf p&\sf q \\ \sf r & \sf s \end{pmatrix}\end{align*}}$
で定める。次の問いに答えよ。
(1) 積ABCを計算せよ。
(2) BCAB=kBとなる定数kを求めよ。
(3) 自然数nに対して、(ABC)nを計算せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf ABC=\begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf c & \sf d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf 0&\sf 1 \\ \sf 0 & \sf 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf p&\sf q \\ \sf r & \sf s \end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\begin{pmatrix} \sf 0&\sf a \\ \sf 0 & \sf c \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf p&\sf q \\ \sf r & \sf s \end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \begin{pmatrix} \sf ar&\sf as \\ \sf cr & \sf cs \end{pmatrix}\ }\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf BCAB=\begin{pmatrix} \sf 0&\sf 1 \\ \sf 0 & \sf 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf p&\sf q \\ \sf r & \sf s \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf c & \sf d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf 0&\sf 1 \\ \sf 0 & \sf 0 \end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\begin{pmatrix} \sf r&\sf s \\ \sf 0 & \sf 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf 0&\sf a \\ \sf 0 & \sf c \end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\begin{pmatrix} \sf 0&\sf ar+cs \\ \sf 0 & \sf 0 \end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf kB=\begin{pmatrix} \sf 0&\sf k \\ \sf 0 & \sf 0 \end{pmatrix}\end{align*}}$
BCAB=kB ……(#) より、成分を比較すると、
k=ar+cs
(3)
n=2のとき、
(ABC)2=ABC・ABC
=A・BCAB・C
=A・kB・C ←(#)より
=kABC ……①
n=3のとき、
(ABC)3=(ABC)2ABC
=kABC・ABC ←①より
=kA・BCAB・C
=kA・kB・C ←(#)より
=k2ABC ……②
n=4のとき、
(ABC)4=(ABC)3ABC
=k2ABC・ABC ←②より
=k2A・BCAB・C
=k2A・kB・C ←(#)より
=k3ABC
以下も帰納的に考えると、
(ABC)n=kn-1ABC
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \left(ABC\right)^n=\left\{ \begin{array}{ll}\sf \begin{pmatrix} \sf ar&\sf as \\ \sf cr & \sf cs \end{pmatrix} & (\sf n=1) \\ \sf \left(ar+cs\right)^{n-1}\begin{pmatrix} \sf ar&\sf as \\ \sf cr & \sf cs \end{pmatrix} & (\sf n\geqq 2) \\\end{array} \right.\ }\end{align*}}$
ar+cs=0 かつ n=1のときは、
(ar+cs)n-1=00
となり定義できないので、最後は場合分けしておきました。
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- 2014/09/11(木) 23:57:00|
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第2問
$\small\sf{\begin{align*} \sf \alpha=\cos\frac{360^{\circ}}{5}+i\sin\frac{360^{\circ}}{5}\end{align*}}$
とする。ただし、i は虚数単位である。$\small\sf{\sf 100}$ 個の複素数
$\small\sf{\sf z_1,\ z_2,\ \cdots\ ,\ z_{100}}$ を
$\small\sf{\sf z_1=\alpha\ \ ,\ \ z_n=z_{n-1}^3\ \ （n=2,3,\cdots ,100)}$
で定める。次の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\sf z_5}$ を$\small\sf{\alpha}$ を用いて表せ。
(2) $\small\sf{\sf z_n=\alpha}$ となるようなnの個数を求めよ。
(3) $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{n=1}^{100}z_n\end{align*}}$ の値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
ド・モアブルの定理より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \alpha^5=\left(\cos\frac{360^{\circ}}{5}+i\sin\frac{360^{\circ}}{5}\right)^5=\cos 360^{\circ}+i\sin 360^{\circ}=1\end{align*}}$ ……(#)
(1)
(#)および、与えられた漸化式
$\scriptsize\sf{\sf z_1=\alpha\ \ ,\ \ z_n=z_{n-1}^3}$
を用いて順に計算していくと、
$\scriptsize\sf{\sf z_2=z_1^3=\alpha^3}$
$\scriptsize\sf{\sf z_3=z_2^3=(\alpha^3)^3=\alpha^9=\alpha^5\cdot\alpha^4=\alpha^4}$
$\scriptsize\sf{\sf z_4=z_3^3=(\alpha^4)^3=\alpha^{12}=(\alpha^5)^2\cdot\alpha^2=\alpha^2}$
$\scriptsize\sf{\sf z_5=z_4^3=(\alpha^2)^3=\alpha^6=\alpha^5\cdot\alpha =\underline{\alpha}}$
(2)
(1)より、$\scriptsize\sf{\sf z_5=z_1}$ なので、数列{zn}は、
4数 $\scriptsize\sf{\alpha\ ,\ \alpha^3\ ,\ \alpha^4\ ,\ \alpha^2}$ を周期的に繰り返す。
よって、$\scriptsize\sf{\sf z_n=\alpha}$ となるnは、
$\scriptsize\sf{\sf n=1,\ 5,\ 9,\ 13,\ \cdots ,\ 93,\ 97}$
の25個ある。
(3)
求める和をSとおくと、数列{zn}の周期性より
$\scriptsize\sf{\sf S=(z_1+z_2+z_3+z_4)+(z_5+z_6+z_7+z_8)+\cdots }$
$\scriptsize\sf{\sf \cdots +(z_{97}+z_{98}+z_{99}+z_{100})}$
$\scriptsize\sf{\sf =(\alpha+\alpha^3+\alpha^4+\alpha^2)+(\alpha+\alpha^3+\alpha^4+\alpha^2)+\cdots}$
$\scriptsize\sf{\sf \cdots+(\alpha+\alpha^3+\alpha^4+\alpha^2)}$
$\scriptsize\sf{\sf =25(\alpha+\alpha^2+\alpha^3+\alpha^4)}$ ．
ここで、(#)より
$\scriptsize\sf{\alpha^5-1=0}$
⇔ $\scriptsize\sf{\sf (\alpha-1)(\alpha^4+\alpha^3+\alpha^2+\alpha+1)=0}$
であり、$\scriptsize\sf{\alpha\ne 1}$ なので、
$\scriptsize\sf{\alpha^4+\alpha^3+\alpha^2+\alpha +1=0}$
⇔ $\scriptsize\sf{\alpha+\alpha^2+\alpha^3+\alpha^4=-1}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\sf S=25\cdot (-1)=\underline{\ -25\ }}$
(#)に気づきますか？
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- 2014/09/12(金) 23:57:00|
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第3問
aを正の定数とする。不等式ax≧xが任意の正の実数xに対して
成り立つようなaの値の範囲を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
ax≧x の両辺は正なので、自然対数をとると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log a^x\geqq \log x\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x\log x\geqq \log x\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \log a\geqq \frac{\log x}{x}\ \ \ \ \left(\because x>0\right)\end{align*}}$ ……(#)
(#)の右辺をf(x)とすると、導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\log x\cdot 1}{x^2}=\frac{1-\log x}{x^2}\end{align*}}$
なので、f(x)のx＞0における増減は次のようになる。
任意の正の数xに対して(#)が成り立つためには、
$\scriptsize\sf{\sf log a}$ ≧f(x)の最大値
となればよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log a\geqq \frac{1}{e}\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ a\geqq e^{\frac{1}{e}}\ }\end{align*}}$ ←底e＞1より
未知定数aをうまく分離しましょう。
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- 2014/09/13(土) 23:57:00|
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第4問
tを正の実数とし、kを自然数とする。無限等比数列
$\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{n=1}^{\infty}e^{-kt(n-1)}\end{align*}}$
を考える。次の問いに答えよ。
(1) 上の無限級数の和をfk(t)とするとき、それをtとkを用いて表せ。
(2) x＞0のとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf F_k(x)=\int_1^xf_k(t)dt\end{align*}}$ を計算せよ。
(3) x＞0のとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{k\rightarrow\infty}\ F_k(x)\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\sf t,\ k\gt 0}$ より、$\scriptsize\sf{\sf 0\lt e^{-kt}\lt 1}$ なので、$\scriptsize\sf{\sf n\rightarrow +\infty}$ のとき、
$\scriptsize\sf{\sf (e^{-kt})^{n}\rightarrow 0}$
となる。よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f_k(t)=\sum_{n=1}^{\infty}e^{-kt(n-1)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{m=1}^ne^{-kt(m-1)} \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1-\left(e^{-kt}\right)^n}{1-e^{-kt}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{1-e^{-kt}}\ }\end{align*}}$
(2)
(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf F_k(x)=\int_1^x\frac{1}{1-e^{-kt}}\ dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_1^x\frac{e^{kt}}{e^{kt}-1}\ dt\end{align*}}$ ←分子・分母×$\scriptsize\sf{\sf e^{kt}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_1^x\frac{1}{k}\cdot\frac{\left(e^{kt}-1\right)'}{e^{kt}-1}\ dt\end{align*}}$ ← $\scriptsize\sf{\sf (e^{kt}-1)'=ke^{kt}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{k}\bigg[\log\left(e^{kt}-1\right)\bigg]_1^x\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{k}\left\{\log\left(e^{kx}-1\right)-\log\left(e^{k}-1\right)\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{k}\log\frac{e^{kx}-1}{e^{k}-1}\ }\end{align*}}$
(3)
(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{k\rightarrow\infty}F_k(x)=\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{1}{k}\log\frac{e^{kx}-1}{e^{k}-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{1}{k}\log\frac{1-e^{-kx}}{1-e^{-k}}\cdot\frac{e^{kx}}{e^{k}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{1}{k}\left\{\log\frac{1-e^{-kx}}{1-e^{-k}}+\log e^{k(x-1)}\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{1}{k}\left\{\log\frac{1-e^{-kx}}{1-e^{-k}}+k(x-1)\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{1}{k}\log\frac{1-0}{1-0}+(x-1)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ x-1\ }\end{align*}}$
特に問題なし。
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- 2014/09/14(日) 23:57:00|
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