第1問
以下の問いに答えよ。ただし、aは定数である。
(1) 関数y=|(x+1)(x－3)|のグラフをかけ。
(2) 2曲線y=|(x+1)(x－3)|、y=2(x－a)2+3の共有点の
個数を調べよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
・(x+1)(x－3)≧0 すなわち x≦－1、3≦xのとき
y=(x+1)(x－3)=(x－1)2－4
・(x+1)(x－3)＜0 すなわち －1＜x＜3のとき
y=－(x+1)(x－3)=－(x－1)2+4
これを図示すると、下図のようになる。
(2)
曲線y=(x+1)(x－3)をC1、曲線y=－(x+1)(x－3)をC2、
曲線y=2(x－a)2+3をCとする。
Cは常にy＞0なので、CはC1やC2とy＜0の部分で共有点を
持たない。
よって、Cと曲線y=|(x+1)(x－3)|の共有点の個数は、
CとC1、C2との共有点の個数の総和に等しい。……(#)
CとC1の2式を連立させると、
(x+1)(x－3)=2(x－a)2+3
⇔ x2－2(2a－1)x+2a2+6=0 ……(ア)
となり、(ア)の判別式を考えると、
D/4=(2a－1)2－(2a2+6)
=2a2－4a－5
2曲線の共有点の個数は、(ア)の実数解の個数に等しいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2-\sqrt{14}}{2}\lt a<\frac{2+\sqrt{14}}{2}\end{align*}}$ のとき 0個
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=\frac{2\pm\sqrt{14}}{2}\end{align*}}$ のとき 1個
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a<\frac{2-\sqrt{14}}{2}\ ,\ \frac{2+\sqrt{14}}{2}\lt a\end{align*}}$ のとき 2個
CとC2の2式を連立させると、
－(x+1)(x－3)=2(x－a)2+3
⇔ 3x2－2(2a+1)x+2a2=0 ……(イ)
となり、(イ)の判別式を考えると、
D/4=(2a+1)2－6a2)
=－(2a2－4a+1)
CとC2の共有点の個数は、(イ)の実数解の個数に等しいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a<\frac{2-\sqrt{6}}{2}\ ,\ \frac{2+\sqrt{6}}{2}\lt a\end{align*}}$ のとき 0個
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=\frac{2\pm\sqrt{6}}{2}\end{align*}}$ のとき 1個
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2-\sqrt{6}}{2}\lt a<\frac{2+\sqrt{6}}{2}\end{align*}}$ のとき 2個
以上より、Cと曲線y=|(x+1)(x－3)|の共有点の個数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2-\sqrt{14}}{2}\lt a<\frac{2-\sqrt{6}}{2}\ ,\ \frac{2+\sqrt{6}}{2}\lt a<\frac{2+\sqrt{14}}{2}\end{align*}}$ のとき 0個
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=\frac{2\pm\sqrt{14}}{2}\ ,\ \frac{2\pm\sqrt{6}}{2}\end{align*}}$ のとき 1個
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a<\frac{2-\sqrt{14}}{2}\ ,\ \frac{2-\sqrt{6}}{2}\lt a<\frac{2+\sqrt{6}}{2}\ ,\ \frac{2+\sqrt{14}}{2}\lt a\end{align*}}$ のとき 2個
(#)を書いておくと、色々と場合分けしなくて済むので楽です。
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第2問
以下の問いに答えよ。ただし、Eは単位行列である。
(1) 行列A=$\small\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf c & \sf d \end{pmatrix}\end{align*}}$ に対して|A|=ad－bcとおく。たとえば、
A=$\small\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf 1&\sf 2 \\ \sf 3 & \sf 4 \end{pmatrix}\end{align*}}$ のときは、|A|=1×4－2×3=－2である。
A=$\small\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf c & \sf d \end{pmatrix}\end{align*}}$ とB=$\small\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf p&\sf q \\ \sf r & \sf s \end{pmatrix}\end{align*}}$ に対して|AB|=|A|×|B|が成り
立つことを示せ。
(2) 実数x、yに対して、行列X、Y、Zを
$\small\sf{\begin{align*} \sf X=\begin{pmatrix} \sf x^2&\sf x^2 \\ \sf y^2-1 & \sf y^2 \end{pmatrix}\ \ ,\ \ Y=X-xE\ \ ,\ \ Z=X-yE\end{align*}}$
で定める。積YZが逆行列を持たないような(x，y)を、
xy平面上で図示せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AB=\begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf c & \sf d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf p&\sf q \\ \sf r & \sf s \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf ap+br&\sf aq+bs \\ \sf cp+dr & \sf cq+ds \end{pmatrix}\end{align*}}$
より、
|AB|=(ap+br)(cq+ds)－(aq+bs)(cp+dr)
=acpq+adps+bcqr+bdrs
－acpq－adqr－bcps－bdrs
=adps+bcqr－adqr－bcps
=ad(ps－qr)+bc(qr－ps)
=(ad－bc)(ps－qr)
=|A|×|B|
となるので、題意は示された。
(2)
YZが逆行列を持たない
⇔ |YZ|=0
⇔ |Y|×|Z|=0 ←(1)より
なので、 |Y|=0 または |Z|=0 となればよい。
まず、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Y=X-xE=\begin{pmatrix} \sf x^2-x&\sf x^2 \\ \sf y^2-1 & \sf y^2-x \end{pmatrix}\end{align*}}$
より、
|Y|=(x2－x)(y2－x)－x2(y2－1)=0
⇔ x(x2+y2－2x)=0
⇔ x{(x－1)2+y2－1}=0
となるので、点(x，y)は、
直線x=0 または 円(x－1)2+y2=1
上にある。
一方、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Z=X-yE=\begin{pmatrix} \sf x^2-y&\sf x^2 \\ \sf y^2-1 & \sf y^2-y \end{pmatrix}\end{align*}}$
より、
|Z|=(x2－y)(y2－y)－x2(y2－1)=0
⇔ (y－1)(x2+y2)=0
となるので、点(x，y)は、原点(0，0)と一致するか、
直線y=1上にある。
以上より、題意を満たすような点(x，y)を図示すると、
下図のようになる。
ひたすら計算です。
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第3問
X大学では、オープンキャンパスに40名の高校生が参加を申し
込んだ。この40名の高校生のために、黒色20本、青色10本、
赤色10本、計40本のボールペンを参加の記念として用意した。
この40名の中の特定の2名A、Bについて、下の問いに答えよ。
ただし、オープンキャンパスにはこの40名の高校生が参加する
とする。また、高校生1名に必ず1本のボールペンが渡され、
渡されるボールペンの色は無作為に決定される。
(1) A、Bともに黒色のボールペンを渡される確率を求めよ。
(2) A、Bが同じ色のボールペンを渡される確率を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
40本の中から、A、Bに渡すボールペン2本を選ぶとき、
選び方の総数は、40C2=780通り
(1)
A、Bともに黒色になるとき、黒色のボールペン20本の中から
2本が選ばれればよいので、20C2=190通りの場合がある。
よって、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{190}{780}=\underline{\ \frac{19}{78}\ }\end{align*}}$
(2)
(1)と同様に考えると、
A、Bがともに青色をもらうのは、10C2=45通り、
A、Bがともに赤色をもらうのも、10C2=45通り
なので、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{190+45+45}{780}=\underline{\ \frac{14}{39}\ }\end{align*}}$
である。
これは楽勝！
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第4問
関数 $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\sin\left(\frac{3}{2}x\right)+\frac{3}{4}x\end{align*}}$ と $\small\sf{\begin{align*} \sf g\ (x)=\frac{3}{4}x\end{align*}}$ について、以下の問いに
答えよ。ただし、0≦x≦2$\small\sf{\pi}$ とする。
(1) y=f(x)とy=g(x)のグラフの共有点を求めよ。
(2) y=f(x)とy=g(x)のグラフで囲まれた図形を、x軸のまわりに
1回転してできる立体の体積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
f(x)とg(x)の2式を連立させると、0≦x≦2$\scriptsize\sf{\pi}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin\left(\frac{3}{2}x\right)+\frac{3}{4}x=\frac{3}{4}x\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sin\left(\frac{3}{2}x\right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{3}{2}x=0\ ,\ \pi\ ,\ 2\pi\ ,\ 3\pi\ \ \ \ \left(\because 0\leqq \frac{3}{2}x\leqq 3\pi\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=0\ ,\ \frac{2}{3}\pi\ ,\ \frac{4}{3}\pi\ ,\ 2\pi\end{align*}}$
となるので、y=f(x)とy=g(x)の共有点の座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ (0\ ,\ 0)\ \ ,\ \ \left(\frac{2}{3}\pi\ ,\ \frac{\pi}{2}\right)\ \ ,\ \ \left(\frac{4}{3}\pi\ ,\ \pi\right)\ \ ,\ \ \left(2\pi\ ,\ \frac{3}{2}\pi\right)\ }\end{align*}}$
である。
(2)
(1)と同様に考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)-g\ (x)=\ \sin\left(\frac{3}{2}x\right)>0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 0<\frac{3}{2}x<\pi\ \ ,\ \ 2\pi<\frac{3}{2}x<3\pi\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 0\lt x<\frac{2}{3}\pi\ \ ,\ \ \frac{4}{3}\pi\lt x<2\pi\end{align*}}$
となるので、y=f(x)とy=g(x)のグラフの位置関係は
下図のようになり、これらで囲まれた3つの部分(ⅰ)～(ⅲ)の
回転体の体積をそれぞれV1～V3とする。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V_1=\pi\int_0^{2\pi/3}\left\{\left(f\ (x)\right)^2-\left(g\ (x)\right)^2\right\}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\int_0^{2\pi/3}\bigg\{\left(\sin\frac{3}{2}x+\frac{3}{4}x\right)^2-\left(\frac{3}{4}x\right)^2\bigg\}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\int_0^{2\pi/3}\left(\sin^2\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}x\sin\frac{3}{2}x\right)dx\end{align*}}$
ここで、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\frac{3}{2}x\end{align*}}$ と置換すると、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dt}{dx}=\frac{2}{3}\end{align*}}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V_1=\pi\int_0^{\pi}\left(\sin^2t+t\sin t\right)\cdot\frac{2}{3}dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2\pi}{3}\left\{\int_0^{\pi}\frac{1-\cos 2t}{2}dt+\bigg[-t\cos t\bigg]_0^{\pi}+\int_0^{\pi}\cos tdt\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2\pi}{3}\left[\frac{1}{2}t-\frac{1}{4}\sin 2t-t\cos t+\sin t\right]_0^{\pi}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2\pi}{3}\left(\frac{1}{2}\pi-\pi\cos \pi\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi^2\end{align*}}$
同様に計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V_2=\pi\int_{2\pi/3}^{4\pi/3}\left\{\left(g\ (x)\right)^2-\left(f\ (x)\right)^2\right\}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{2\pi}{3}\left[\frac{1}{2}t-\frac{1}{4}\sin 2t-t\cos t+\sin t\right]_{\pi}^{2\pi}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{2\pi}{3}\left\{\frac{1}{2}(2\pi-\pi)-2\pi\cos 2\pi+\pi\cos\pi\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{5}{3}\pi^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V_3=\pi\int_{4\pi/3}^{2\pi}\left\{\left(f\ (x)\right)^2-\left(g\ (x)\right)^2\right\}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2\pi}{3}\left[\frac{1}{2}t-\frac{1}{4}\sin 2t-t\cos t+\sin t\right]_{2\pi}^{3\pi}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2\pi}{3}\left\{\frac{1}{2}(3\pi-2\pi)-3\pi\cos 3\pi+2\pi\cos 2\pi\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{11}{3}\pi^2\end{align*}}$
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V_1+V_2+V_3=\pi^2+\frac{5}{3}\pi^2+\frac{11}{3}\pi^2=\underline{\ \frac{19}{3}\pi^2\ }\end{align*}}$
(2)の計算は上手くやらないと面倒ですね。
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