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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2014大阪教育大 前期数学1



第1問

  $\small\sf{\alpha}$ 、$\small\sf{\beta}$ は正の実数とする。次の条件によって定義される数列{an}、
  {bn}について、以下の問に答えよ。
      a1=$\small\sf{\alpha}$
      b1=$\small\sf{\beta}$
      an+1=$\small\sf{\alpha}$ an-$\small\sf{\beta}$ bn
      bn+1=$\small\sf{\beta}$ an+$\small\sf{\alpha}$ bn    (n=1,2,3,…)

 (1) $\small\sf{\alpha}$ 2+$\small\sf{\beta}$ 2≦1が成り立つならば、任意の自然数nに対して
      an2+bn2≦1
    が成り立つことを示せ。

 (2) $\small\sf{\alpha}$ =cos$\small\sf{\theta}$ 、 $\small\sf{\beta}$ =sin$\small\sf{\theta}$ (0<$\small\sf{\theta}$ <$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ )と表されているとき、
    a2、b2、a3、b3を$\small\sf{\theta}$ を用いて表せ。

 (3) a12=1、 b12=0となるような正の実数の組($\small\sf{\alpha}$ ,$\small\sf{\beta}$ )を全て求めよ。



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  1. 2014/09/01(月) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪教育大 前期 2014
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2014大阪教育大 前期数学2



第2問

  座標平面上の原点をOとし、3点A(0,1)、B(1,1)、C(1,0)を考える。
  x軸上に点Pをとり、線分APの垂直二等分線をLとする。点Pを通りx軸に
  垂直な直線とLとの交点をQとする。

 (1) AQ=QPであることを証明せよ。

 (2) 点Pがx軸上を動くとき、点Qの軌跡はどのような曲線を描くか図示せよ。

 (3) 点Pはx軸の閉区間[0,1]にあるとする。このとき、直線Lが正方形
    ABCOを二つの部分に切る。そのうちの点Cを含む部分の面積をSとする。
    Sの最大値と最小値を求めよ。また、そのときの点Pの座標を求めよ。




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  1. 2014/09/02(火) 23:57:00|
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2014大阪教育大 前期数学3



第3問

  曲線 $\small\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{x^2}{x^2+3}\end{align*}}$ をCとし、座標平面上の原点をOとする。
  以下の問に答えよ.

 (1) 曲線Cの凹凸、変曲点、漸近線を調べ、その概形をかけ。

 (2) 曲線Cの接線で原点を通るものをすべて求めよ。また、その
    接点を求めよ。

 (3) Pを原点を中心とする半径 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\sqrt{17}}{4}\end{align*}}$ の円周上の点とする。点Pを
    点A $\small\sf{\begin{align*} \sf \left(0\ ,\ \frac{\sqrt{17}}{4}\right)\end{align*}}$ から時計回りに動かすとき、原点以外に線分
    OPが初めて曲線Cと共有点をもつとき、その座標を求めよ。

 (4) Qを原点を中心とする半径2の円周上の点とする。点Qを点B
    (0,2)から時計回りに動かすとき、原点以外に線分OQが初
    めて曲線Cと共有点をもつとき、その座標を求めよ。



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  1. 2014/09/03(水) 23:57:00|
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2014大阪教育大 前期数学4



第4問

  以下の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\end{align*}}$ をsinxとcosxを用いて表せ。

 (2) f(x)=sin3xの導関数を求めよ。

 (3) $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\frac{\pi}{6}}e^{3x}\sin ^2x\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)dx\end{align*}}$ を求めよ。



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  1. 2014/09/04(木) 23:57:00|
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