第1問
$\small\sf{\alpha}$ 、$\small\sf{\beta}$ は正の実数とする。次の条件によって定義される数列{an}、
{bn}について、以下の問に答えよ。
a1=$\small\sf{\alpha}$
b1=$\small\sf{\beta}$
an+1=$\small\sf{\alpha}$ an－$\small\sf{\beta}$ bn
bn+1=$\small\sf{\beta}$ an+$\small\sf{\alpha}$ bn (n=1，2，3，…)
(1) $\small\sf{\alpha}$ 2+$\small\sf{\beta}$ 2≦1が成り立つならば、任意の自然数nに対して
an2+bn2≦1
が成り立つことを示せ。
(2) $\small\sf{\alpha}$ =cos$\small\sf{\theta}$ 、 $\small\sf{\beta}$ =sin$\small\sf{\theta}$ （0＜$\small\sf{\theta}$ ＜$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ ）と表されているとき、
a2、b2、a3、b3を$\small\sf{\theta}$ を用いて表せ。
(3) a12=1、 b12=0となるような正の実数の組($\small\sf{\alpha}$ ，$\small\sf{\beta}$ )を全て求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\alpha}$ 2+$\scriptsize\sf{\beta}$ 2≦1 ……① のとき、任意の自然数nに対して
an2+bn2≦1 ……(A) が成り立つことを数学的帰納法で示す。
(ⅰ) n=1のとき
①より、a12+b12=$\scriptsize\sf{\alpha}$ 2+$\scriptsize\sf{\beta}$ 2≦1 となるのでOK
(ⅱ) n=kで(A)が成り立つと仮定すると、
ak2+bk2≦1 ……②
n=k+1のとき
ak+12+bk+12
=($\scriptsize\sf{\alpha}$ ak－$\scriptsize\sf{\beta}$ bk)2+($\scriptsize\sf{\beta}$ ak+$\scriptsize\sf{\alpha}$ bk)2
=$\scriptsize\sf{\alpha}$ 2ak2+$\scriptsize\sf{\beta}$ 2bk2+$\scriptsize\sf{\beta}$ 2ak2+$\scriptsize\sf{\alpha}$ 2bk2
=($\scriptsize\sf{\alpha}$ 2+$\scriptsize\sf{\beta}$ 2)(ak2+bk2)
≦ak2+bk2 ←①より
≦1 ←②より
より、n=k+1のときも成り立つので、任意の自然数nに対して
(A)は成り立つ。
(2)
a1=$\scriptsize\sf{\alpha}$ =cos$\scriptsize\sf{\theta}$ 、 b1=$\scriptsize\sf{\beta}$ =sin$\scriptsize\sf{\theta}$ より
a2=cos2$\scriptsize\sf{\theta}$ －sin2$\scriptsize\sf{\theta}$
=cos2$\scriptsize\sf{\theta}$ ←倍角公式
b2=2sin$\scriptsize\sf{\theta}$ cos$\scriptsize\sf{\theta}$
=sin2$\scriptsize\sf{\theta}$ ←倍角公式
a3=cos$\scriptsize\sf{\theta}$ cos2$\scriptsize\sf{\theta}$ －sin$\scriptsize\sf{\theta}$ sin2$\scriptsize\sf{\theta}$
=cos($\scriptsize\sf{\theta}$ +2$\scriptsize\sf{\theta}$ ) ←加法定理
=cos3$\scriptsize\sf{\theta}$
b3=sin$\scriptsize\sf{\theta}$ cos2$\scriptsize\sf{\theta}$ +cos$\scriptsize\sf{\theta}$ sin2$\scriptsize\sf{\theta}$
=sin($\scriptsize\sf{\theta}$ +2$\scriptsize\sf{\theta}$ ) ←加法定理
=sin3$\scriptsize\sf{\theta}$
(3)
(1)と同様に数学的帰納法を用いると、
「$\scriptsize\sf{\alpha}$ 2+$\scriptsize\sf{\beta}$ 2＜1のとき、任意の自然数nに対して an2+bn2＜1」
「$\scriptsize\sf{\alpha}$ 2+$\scriptsize\sf{\beta}$ 2＞1のとき、任意の自然数nに対して an2+bn2＞1」
がともに成り立つので、
「ある自然数nに対して an2+bn2=1ならば、$\scriptsize\sf{\alpha}$ 2+$\scriptsize\sf{\beta}$ 2=1」
となることが成り立つ。
よって、題意より、
a122+b122=12+02=1
なので、
$\scriptsize\sf{\alpha}$ 2+$\scriptsize\sf{\beta}$ 2=1
であり、$\scriptsize\sf{\alpha}$ 、$\scriptsize\sf{\beta}$ は正なので、$\scriptsize\sf{\theta}$ （0＜$\scriptsize\sf{\theta}$ ＜$\scriptsize\sf{\pi}$ /2)である$\scriptsize\sf{\theta}$ を用いて、
$\scriptsize\sf{\alpha}$ =cos$\scriptsize\sf{\theta}$ 、 $\scriptsize\sf{\beta}$ =sin$\scriptsize\sf{\theta}$
と表すことができる。
このとき、(2)より、任意の自然数nに対して
an=cos(n$\scriptsize\sf{\theta}$ )、 bn=sin(n$\scriptsize\sf{\theta}$ ) ……(B)
であると類推できるので、これを数学的帰納法で示す。
(ⅰ)n=1のときは自明
(ⅱ)n=kのとき
ak=cos(k$\scriptsize\sf{\theta}$ )、 bk=sin(k$\scriptsize\sf{\theta}$ ) ……③
が成り立つと仮定すると、加法定理より
ak+1=$\scriptsize\sf{\alpha}$ ak－$\scriptsize\sf{\beta}$ bk
=cos$\scriptsize\sf{\theta}$ cos(k$\scriptsize\sf{\theta}$ )－sin$\scriptsize\sf{\theta}$ sin(k$\scriptsize\sf{\theta}$ )
=cos(k+1)$\scriptsize\sf{\theta}$
bk+1=$\scriptsize\sf{\beta}$ ak+$\scriptsize\sf{\alpha}$ bk
=sin$\scriptsize\sf{\theta}$ cos(k$\scriptsize\sf{\theta}$ )+cos$\scriptsize\sf{\theta}$ sin(k$\scriptsize\sf{\theta}$ )
=sin(k+1)$\scriptsize\sf{\theta}$
となり、n=k+1のときも成り立つので、(B)の類推は正しい
ことが示された。
よって、
a12=cos12$\scriptsize\sf{\theta}$ =1
b12=sin12$\scriptsize\sf{\theta}$ =0
であり、0＜12$\scriptsize\sf{\theta}$ ＜6$\scriptsize\sf{\pi}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 12\theta=2\pi\ ,\ 4\pi\ \ \Leftrightarrow\ \ \theta=\frac{\pi}{6}\ ,\ \frac{\pi}{3}\end{align*}}$ ．
以上より、題意を満たすような($\scriptsize\sf{\alpha}$ ，$\scriptsize\sf{\beta}$ )の組は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\alpha\ ,\ \beta\right)=\left(\cos\theta\ ,\ \sin\theta\right)=\underline{\ \left(\frac{\sqrt3}{2}\ ,\ \frac{1}{2}\right)\ ,\ \left(\frac{1}{2}\ ,\ \frac{\sqrt3}{2}\right)\ }\end{align*}}$
である。
大教大は良問が多いですねぇ。
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第2問
座標平面上の原点をOとし、3点A(0，1)、B(1，1)、C(1，0)を考える。
x軸上に点Pをとり、線分APの垂直二等分線をLとする。点Pを通りx軸に
垂直な直線とLとの交点をQとする。
(1) AQ=QPであることを証明せよ。
(2) 点Pがx軸上を動くとき、点Qの軌跡はどのような曲線を描くか図示せよ。
(3) 点Pはx軸の閉区間[0，1]にあるとする。このとき、直線Lが正方形
ABCOを二つの部分に切る。そのうちの点Cを含む部分の面積をSとする。
Sの最大値と最小値を求めよ。また、そのときの点Pの座標を求めよ。
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【解答】
(1)
APの中点をMとおくと、QはL上にあるので、
QM⊥APである。
よって、△AQM≡△PQMとなるので、
AQ=QPが成り立つ。
(2)
点Pの座業を(p，0)とおく。
p=0のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L:\ y=\frac{1}{2}\end{align*}}$ より $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Q\left(0,\frac{1}{2}\right)\end{align*}}$
p≠0のとき
APの傾き=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{p}\end{align*}}$
APの中点 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf M\left(\frac{p}{2}\ ,\ \frac{1}{2}\right)\end{align*}}$
より、Lの方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-\frac{1}{2}=p\left(x-\frac{p}{2}\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ y=px-\frac{1}{2}p^2+\frac{1}{2}\end{align*}}$
となるので、Qの座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Q\left(p\ ,\ \frac{1}{2}p^2+\frac{1}{2}\right)\end{align*}}$ ．
これらより、点Qは放物線 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}\end{align*}}$ 上にあるので、
Qの軌跡は下図のようになる。
(3)
Lと辺OA、BCとの交点をそれぞれD、Eとすると、
x座標がそれぞれ0、1なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D\left(0\ ,\ -\frac{1}{2}p^2+\frac{1}{2}\right)\ \ ,\ \ E\left(1\ ,\ -\frac{1}{2}p^2+p+\frac{1}{2}\right)\end{align*}}$ ．
よって、Sは台形OCEDの面積なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\left\{\left(-\frac{1}{2}p^2+\frac{1}{2}\right)+\left(-\frac{1}{2}p^2+p+\frac{1}{2}\right)\right\}\cdot 1\cdot \frac{1}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{1}{2}p^2+\frac{1}{2}p+\frac{1}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{1}{2}\left(p-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{5}{8}\end{align*}}$
よって、0≦p≦1におけるSの最小値・最小値および、
それらを与えるPの座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ S_{max}=\frac{5}{8}\ \ ,\ \ P\left(\frac{1}{2}\ ,\ 0\right)\ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ S_{min}=\frac{1}{2}\ \ ,\ \ P\left(0,0\right),\left(1,0\right)\ }\end{align*}}$
(2)は、Aを焦点、x軸を準線とする放物線です。
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第4問
以下の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\end{align*}}$ をsinxとcosxを用いて表せ。
(2) f(x)=sin3xの導関数を求めよ。
(3) $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\frac{\pi}{6}}e^{3x}\sin ^2x\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)dx\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
加法定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\sin x\cos\frac{\pi}{4}+\cos x\sin\frac{\pi}{4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{\sqrt2}\left(\sin x+\cos x\right)\ }\end{align*}}$ ．
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=3\sin^2x\left(\sin x\right)'=\underline{\ 3\sin^2x\cos x\ }\end{align*}}$
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\frac{\pi}{6}}e^{3x}\sin ^2x\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{\sqrt2}\int_0^{\frac{\pi}{6}}e^{3x}\sin ^2x\left(\sin x+\cos x\right)dx\end{align*}}$ ←(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{\sqrt2}\int_0^{\frac{\pi}{6}}e^{3x}\sin ^3xdx+\frac{1}{\sqrt2}\int_0^{\frac{\pi}{6}}e^{3x}\sin ^2x\cos xdx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{\sqrt2}\int_0^{\frac{\pi}{6}}e^{3x}\ f\ (x)dx+\frac{1}{\sqrt2}\int_0^{\frac{\pi}{6}}e^{3x}\cdot\frac{1}{3}\ f\ '(x)dx\end{align*}}$ ←(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{\sqrt2}\left\{\left[\frac{1}{3}e^{3x}\ f\ (x)\right]_0^{\frac{\pi}{6}}-\int_0^{\frac{\pi}{6}}\frac{1}{3}e^{3x}\ f\ '(x)dx\right\}+\frac{1}{3\sqrt2}\int_0^{\frac{\pi}{6}}e^{3x}\ f\ '(x)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3\sqrt2}\bigg[e^{3x}\ \sin^3x\bigg]_0^{\frac{\pi}{6}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{24\sqrt2}\ e^{\frac{\pi}{2}}\ }\end{align*}}$
うまい具合に消えます！
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