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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2005神戸大 理系数学1



第1問

  Oを原点とする空間の3点A(1,1,1)、B(1,2,0)、C(0,0,1)
  がある。
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OD}=\overrightarrow{\sf OB}-\left(\frac{\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}}{|\overrightarrow{\sf OA}|^2}\right)\overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$
  を満たす点をDとする。ただし、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ は$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ の内積を表す。
  次の問いに答えよ。

 (1) Dの座標を求めよ。

 (2) 2つの実数sとtに対して、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=s\ \overrightarrow{\sf OA}+t\ \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ を満たす点をPとする。
    tを固定して考えたとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf CP}|^2\end{align*}}$ を最小にするsをtを用いて表せ。

 (3) $\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf CP}|^2\end{align*}}$ を最小にするsとtの値を求めよ。

 (4) (3)で求めたsとtの値をそれぞれs0とt0とする。s0とt0に対し、
    P0を $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP_0}=s_0\overrightarrow{\sf OA}+t_0\overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ を満たす点とする。
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP_0}=\left(\frac{\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OC}}{|\overrightarrow{\sf OA}|^2}\right)\overrightarrow{\sf OA}+\left(\frac{\overrightarrow{\sf OD}\cdot\overrightarrow{\sf OC}}{|\overrightarrow{\sf OD}|^2}\right)\overrightarrow{\sf OD}\end{align*}}$
    となることを示せ。




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  1. 2014/08/27(水) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .神戸大 理系 2005
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2005神戸大 理系数学2



第2問

  aを正の実数とする。xy平面の放物線C:y=x2上に点A(-a,a2)
  をとる。s>0のとき、x軸上の点P(s,0)に対して、直線APとCの
  2つの交点のうち、Aとは異なる交点をQ(t,t2)とする。Qからx軸に
  下ろした垂線とx軸の交点をP’(t,0)とする。いま、x軸上の点P1
  (c,0) (c>0) から出発して、点Pに対して点Q、P’を定めたのと
  同じ方法でP1から点Q1、P2を定め、同様にP2から点Q2、P3を定め、
  この方法を繰り返して、P1、P2、P3、…とQ1、Q2、Q3、…を定める。
  次の問に答えよ。

 (1) tをaとsを用いて表せ。

 (2) 点Pn (n=1,2,3,…) のx座標をxnとする。数列 {un} を
        $\small\sf{\begin{align*} \sf u_n=\frac{1}{x_n}\end{align*}}$
    で定める。 {un}の一般項を求めよ。

 (3) 直角三角形PnQnPn+1の面積をSnで表す。自然数rを選んで、
    極限 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ n^rS_n\end{align*}}$ が正の実数値に収束するようにできる。このような
    rの値とそのときの極限値 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ n^rS_n\end{align*}}$ を求めよ。




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  1. 2014/08/28(木) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .神戸大 理系 2005
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2005神戸大 理系数学3



第3問

  aを実数とし、a>1とする。点P(1,a) を通り、円C:x2+y2=1と
  接する2本の直線のうち、x=1とは異なる直線をmとする。mとx軸の
  交点をQとする。次の問に答えよ。

 (1) A(1,0)とする。線分QAの長さLをaを用いて表せ。

 (2) 三角形PQAの面積をSとする。aがa>1の範囲を動くとき、Sの
    最小値とそのときのaの値を求めよ。



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  1. 2014/08/29(金) 23:57:00|
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2005神戸大 理系数学4



第4問

  関数f(x)を
        $\small\sf{\begin{align*} \sf f(x)=\left\{ \begin{array}{ll}\sf 1 & (\sf x<0\ \ ,\ \ x>2) \\ \sf |x-1| & (\sf 0\leqq x\leqq 2) \\\end{array} \right.\end{align*}}$
  で定める。次の問に答えよ。

 (1) g(x)=f⁡(f(x))とおく。関数y=g(x)のグラフをかけ。

 (2) nを自然数とする。
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{n^2}g\left(\frac{x-n^2+n}{n}\right)\cos\frac{\pi x}{n}dx\end{align*}}$
    を求めよ。
 



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  1. 2014/08/30(土) 23:57:00|
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2005神戸大 理系数学5



第5問

  A、B、C、D4つの袋の中にそれぞれ6枚のカードが入っている。
  それぞれのカードには1から9までの数字の1つが書かれている。
  A、B、C、Dの袋の中のカードは次の4つの条件を満たしている
  とする。

   (ⅰ) 袋の中からカードを無作為に1枚抜いたとき、カードに
      書かれている数字の期待値は、A、B、C、Dすべて同じ
      である。
   (ⅱ) p(A,B)=p(B,C)=p(C,D)=p(D,A)= 橿原 学習塾 青木ゼミ である。
      ここで、p(X,Y)は袋Xと袋Yからそれぞれ1枚ずつカード
      を無作為に抜いたとき、Xから抜いたカードに書かれている
      数字がYから抜いたカードに書かれている数字より大きい
      確率を表す.
   (ⅲ) A、B、Cの袋の中のカードに書かれている数字はそれぞれ
      2種類で、Dの袋の中のカードにはすべて同じ数字が書かれ
      ている。
   (ⅳ) Aの袋の中のカードに書かれている数字の種類は3と9である。
  次の問に答えよ。

 (1) Aの袋の中の3の書かれているカードの枚数と、Dの袋の中の
    カードに書かれた数字を求めよ。

 (2) Bの袋の中のカードに書かれている2種類の数字と、そのそれ
    ぞれの数字の書かれたカードの枚数を求めよ.

 (3) Cの袋の中のカードに書かれている2種類の数字と、そのそれ
    ぞれの数字の書かれたカードの枚数を求めよ。




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  1. 2014/08/31(日) 23:57:00|
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