第1問
Oを原点とする空間の3点A(1，1，1)、B(1，2，0)、C(0，0，1)
がある。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OD}=\overrightarrow{\sf OB}-\left(\frac{\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}}{|\overrightarrow{\sf OA}|^2}\right)\overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$
を満たす点をDとする。ただし、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ は$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ の内積を表す。
次の問いに答えよ。
(1) Dの座標を求めよ。
(2) 2つの実数sとtに対して、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=s\ \overrightarrow{\sf OA}+t\ \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ を満たす点をPとする。
tを固定して考えたとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf CP}|^2\end{align*}}$ を最小にするsをtを用いて表せ。
(3) $\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf CP}|^2\end{align*}}$ を最小にするsとtの値を求めよ。
(4) (3)で求めたsとｔの値をそれぞれs0とｔ0とする。s0とｔ0に対し、
P0を $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP_0}=s_0\overrightarrow{\sf OA}+t_0\overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ を満たす点とする。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP_0}=\left(\frac{\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OC}}{|\overrightarrow{\sf OA}|^2}\right)\overrightarrow{\sf OA}+\left(\frac{\overrightarrow{\sf OD}\cdot\overrightarrow{\sf OC}}{|\overrightarrow{\sf OD}|^2}\right)\overrightarrow{\sf OD}\end{align*}}$
となることを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OD}=\left(1,2,0\right)-\frac{1+2+0}{1+1+1}\left(1,1,1,\right)=\underline{\ \left(0,1,-1\right)\ }\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=s\left(1,1,1,\right)+t\left(1,2,0\right)=\left(s+t,s+2t,s\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf CP}=\overrightarrow{\sf OP}-\overrightarrow{\sf OC}=\left(s+t,s+2t,s-1\right)\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf CP}|^2=\left(s+t\right)^2+\left(s+2t\right)^2+\left(s-1\right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =3s^2+2\left(3t-1\right)s+5t^2+1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =3\left\{s+\frac{1}{3}\left(3t-1\right)\right\}^2+2t^2+2t+\frac{4}{3}\end{align*}}$ ……(#)
と変形できるので、これが最小になるのは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ s=-\frac{1}{3}\left(3t-1\right)\ }\end{align*}}$
のときである。
(3)
(#)はさらに
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf CP}\right|^2=3\left\{s+\frac{1}{3}\left(3t-1\right)\right\}^2+2\left(t+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{5}{6}\end{align*}}$
となるので、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf CP}|^2\end{align*}}$ が最小になるとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s+\frac{1}{3}\left(3t-1\right)=t+\frac{1}{2}=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ s=\frac{5}{6}\ \ ,\ \ t=-\frac{1}{2} }\end{align*}}$
のときである。
(4)
(3)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s_0=\frac{5}{6}\ \ ,\ \ t_0=-\frac{1}{2}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP_0}=\frac{5}{6}\left(1,1,1,\right)-\frac{1}{2}\left(1,2,0\right)=\left(\frac{1}{3}\ ,\ -\frac{1}{6}\ ,\ \frac{5}{6}\right)\end{align*}}$ ．
一方、右辺は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OC}}{|\overrightarrow{\sf OA}|^2}\right)\overrightarrow{\sf OA}+\left(\frac{\overrightarrow{\sf OD}\cdot\overrightarrow{\sf OC}}{|\overrightarrow{\sf OD}|^2}\right)\overrightarrow{\sf OD}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{0+0+1}{1+1+1}\left(1,1,1\right)+\frac{0+0-1}{0+1+1}\left(0,1,-1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\frac{1}{3}\ ,\ -\frac{1}{6}\ ,\ \frac{5}{6}\right)\end{align*}}$ ．
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP_0}=\left(\frac{\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OC}}{|\overrightarrow{\sf OA}|^2}\right)\overrightarrow{\sf OA}+\left(\frac{\overrightarrow{\sf OD}\cdot\overrightarrow{\sf OC}}{|\overrightarrow{\sf OD}|^2}\right)\overrightarrow{\sf OD}\end{align*}}$
となり、題意は示された。
面倒ですが、ひたすら計算です！
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- 2014/08/27(水) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .神戸大 理系 2005
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第2問
aを正の実数とする。xy平面の放物線C：y=x2上に点A(－a，a2)
をとる。s＞0のとき、x軸上の点P(s，0)に対して、直線APとCの
2つの交点のうち、Aとは異なる交点をQ(t，t2)とする。Qからx軸に
下ろした垂線とx軸の交点をP’(t，0)とする。いま、x軸上の点P1
(c，0) （c＞0） から出発して、点Pに対して点Q、P’を定めたのと
同じ方法でP1から点Q1、P2を定め、同様にP2から点Q2、P3を定め、
この方法を繰り返して、P1、P2、P3、…とQ1、Q2、Q3、…を定める。
次の問に答えよ。
(1) tをaとsを用いて表せ。
(2) 点Pn （n=1，2，3，…） のx座標をxnとする。数列 {un} を
$\small\sf{\begin{align*} \sf u_n=\frac{1}{x_n}\end{align*}}$
で定める。 {un}の一般項を求めよ。
(3) 直角三角形PnQnPn+1の面積をSnで表す。自然数rを選んで、
極限 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ n^rS_n\end{align*}}$ が正の実数値に収束するようにできる。このような
rの値とそのときの極限値 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ n^rS_n\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
直線APの方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=-\frac{a^2}{a+s}\left(x-s\right)\end{align*}}$
なので、これとCの式とを連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2=-\frac{a^2}{a+s}\left(x-s\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(a+s\right)x^2+a^2x-a^2s=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(x+a\right)\left\{\left(a+s\right)x-as\right\}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=-a\ ,\ \frac{as}{a+s}\ \ \ \ \left(\because a+s\ne 0\right)\end{align*}}$ ．
APとCの交点のうち、Aと異なる方がQなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ t=\frac{as}{a+s}\ }\end{align*}}$
(2)
(1)において、s=xn、t=xn+1と考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x_{n+1}=\frac{a\ x_n}{a+x_n}\ \ \ \ \left(n=1,2,3,\ldots\right)\end{align*}}$ ……(#)
ここで、x1=c≠0よりx2≠0であり、以下も帰納的にxn≠0．
よって、(#)の両辺の逆数をとると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{x_{n+1}}=\frac{a+x_n}{a\ x_n}=\frac{1}{x_n}+\frac{1}{a}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ u_{n+1}=u_n+\frac{1}{a}\end{align*}}$
となり、数列{un}は等差数列をなす。
初項は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf u_1=\frac{1}{x_1}=\frac{1}{c}\end{align*}}$
なので、一般項は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ u_n=\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\left(n-1\right)}\end{align*}}$
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_n=\frac{1}{2}\cdot P_nP_{n+1}\cdot P_nQ_n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left(x_n-x_{n+1}\right)\ x_{n+1}^{\ 2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2u_{n+1}^{\ 2}}\left(\frac{1}{u_n}-\frac{1}{u_{n+1}}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{u_{n+1}-u_n}{2u_n\ u_{n+1}^{\ 3}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\frac{1}{a}}{2\left\{\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\left(n-1\right)\right\}\left(\frac{1}{c}+\frac{n}{a}\right)^3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{a^3c^4}{2\left(cn+a-c\right)\left(cn+a\right)^3}\end{align*}}$ ←分子・分母×(ac)4
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L=\lim_{n\rightarrow\infty}\ n^rS_n\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a^3c^4n^r}{2\left(cn+a-c\right)\left(cn+a\right)^3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{a^3c^4}{2}\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n^{r-4}}{\left(c+\frac{a-c}{n}\right)\left(c+\frac{a}{n}\right)^3}\end{align*}}$ ←分子・分母÷n4
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{a^3}{2}\ \lim_{n\rightarrow\infty}\ n^{r-4}\end{align*}}$ ．
これが正の実数値に収束するのは
r－4=0 すなわち r=4
のときであり、このときLの値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ L=\frac{a^3}{2}}\end{align*}}$
である。
誘導に乗っていけば大丈夫でしょう。
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- 2014/08/28(木) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .神戸大 理系 2005
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第3問
aを実数とし、a＞1とする。点P(1，a) を通り、円C：x2+y2=1と
接する2本の直線のうち、x=1とは異なる直線をmとする。mとx軸の
交点をQとする。次の問に答えよ。
(1) A(1，0)とする。線分QAの長さLをaを用いて表せ。
(2) 三角形PQAの面積をSとする。aがa＞1の範囲を動くとき、Sの
最小値とそのときのaの値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
点Qの座標を(q，0) （q≠1）とおくと、mの方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{a-0}{1-q}\left(x-q\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ ax-(1-q)y-aq=0\end{align*}}$ ．
Cとmが接するので、原点Oからmまでの距離は
Cの半径に等しい。よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\left|-aq\right|}{\sqrt{a^2(-q)^2}}=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(a^2-1\right)q^2+2q-\left(q^2+1\right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(q-1\right)\left\{(a^2-1)q+a^2+1\right\}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ q=-\frac{a^2+1}{a^2-1}\ \ \ \ \left(\because q\ne 1\ ,\ a>1\right)\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L=1-\left(-\frac{a^2+1}{a^2-1}\right)=\underline{\ \frac{2a^2}{a^2-1}\ }\end{align*}}$
(2)
(1)より、△PQAの面積は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{2}\cdot\frac{2a^2}{a^2-1}\cdot a=\frac{a^3}{a^2-1}\end{align*}}$
であり、aで微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dS}{da}=\frac{3a^2\left(a^2-1\right)-a^3\cdot 2a}{\left(a^2-1\right)^2}=\frac{a^2\left(a^2-3\right)}{\left(a^2-1\right)^2}\end{align*}}$
となるので、a＞1におけるSの増減は次のようになる。
よって、
a= $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ のとき、Sは最小値 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3\sqrt3}{2}\end{align*}}$ をとる。
これも間違えちゃダメです。
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- 2014/08/29(金) 23:57:00|
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第4問
関数f(x)を
$\small\sf{\begin{align*} \sf f(x)=\left\{ \begin{array}{ll}\sf 1 & (\sf x<0\ \ ,\ \ x>2) \\ \sf |x-1| & (\sf 0\leqq x\leqq 2) \\\end{array} \right.\end{align*}}$
で定める。次の問に答えよ。
(1) g(x)=f(f(x))とおく。関数y=g(x)のグラフをかけ。
(2) nを自然数とする。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{n^2}g\left(\frac{x-n^2+n}{n}\right)\cos\frac{\pi x}{n}dx\end{align*}}$
を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
f(x)は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(x)=\left\{ \begin{array}{ll}\sf 1 & (\sf x<0\ \ ,\ \ x>2) \\ \sf -x+1 & (\sf 0\leqq x\leqq 1) \\ \sf x-1 & (\sf 1\lt x\leqq 2) \\\end{array} \right.\end{align*}}$
なので、y=f(x)のグラフは右図のようになり、
値域は、0≦f(x)≦1となる。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ (x)=\left|f\ (x)-1\right|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =1-f\ (x)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left\{ \begin{array}{ll}\sf 0 & (\sf x<0\ \ ,\ \ x>2) \\ \sf x & (\sf 0\leqq x\leqq 1) \\ \sf -x+2 & (\sf 1< x\leqq 2) \\\end{array} \right.\end{align*}}$
となるので、y=g(x)のグラフは、下図のようになる。
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\frac{x-n^2+n}{n}\end{align*}}$ すなわち、 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=nt+n^2-n\end{align*}}$
と置換すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dx}{dt}=n\end{align*}}$
であり、$\scriptsize\sf{\sf x:\ 0\rightarrow n^2}$ に対応するtは、$\scriptsize\sf{\sf t:\ -n+1\rightarrow 1}$ である。
よって、求める定積分をIとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \rm I\sf =\int_{-n+1}^1g\ (t)\cos\left(t+n-1\right)\pi\cdot ndt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =n\int_{-n+1}^0g\ (t)\cos\left(t+n-1\right)\pi\ dt+n\int_0^1g\ (t)\cos\left(t+n-1\right)\pi\ dt\end{align*}}$ ．
ここで(1)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ (t)=\left\{ \begin{array}{ll}\sf 0 & (\sf -n+1\leqq t\leqq 0) \\ \sf t & (\sf 0\leqq t\leqq 1) \\\end{array} \right.\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \rm \sf I=n\int_0^1t\cos\left(t+n-1\right)\pi\ dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =n\bigg[\frac{t}{\pi}\sin\left(t+n-1\right)\pi\bigg]_0^1-\frac{n}{\pi}\int_0^1\sin\left(t+n-1\right)dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{n}{\pi^2}\bigg[\cos\left(t+n-1\right)\pi\bigg]_0^1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{n}{\pi^2}\left\{\cos n\pi-\cos (n-1)\pi\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{2n\cdot (-1)^n }{\pi^2}\ }\end{align*}}$
(2)は、上のように置換できるかが肝ですが、普通に思いつきますよね。
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- 2014/08/30(土) 23:57:00|
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第５問
A、B、C、D4つの袋の中にそれぞれ6枚のカードが入っている。
それぞれのカードには1から9までの数字の1つが書かれている。
A、B、C、Dの袋の中のカードは次の4つの条件を満たしている
とする。
(ⅰ) 袋の中からカードを無作為に1枚抜いたとき、カードに
書かれている数字の期待値は、A、B、C、Dすべて同じ
である。
(ⅱ) p(A，B)＝p(B，C)＝p(C，D)＝p(D，A)＝ 
である。
ここで、p(X，Y)は袋Xと袋Yからそれぞれ1枚ずつカード
を無作為に抜いたとき、Xから抜いたカードに書かれている
数字がYから抜いたカードに書かれている数字より大きい
確率を表す．
(ⅲ) A、B、Cの袋の中のカードに書かれている数字はそれぞれ
2種類で、Dの袋の中のカードにはすべて同じ数字が書かれ
ている。
(ⅳ) Aの袋の中のカードに書かれている数字の種類は3と9である。
次の問に答えよ。
(１) Aの袋の中の3の書かれているカードの枚数と、Dの袋の中の
カードに書かれた数字を求めよ。
(２) Bの袋の中のカードに書かれている2種類の数字と、そのそれ
ぞれの数字の書かれたカードの枚数を求めよ．
(３) Cの袋の中のカードに書かれている2種類の数字と、そのそれ
ぞれの数字の書かれたカードの枚数を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
以下は、
「Xから抜いたカードに書かれている数字がYから抜いたカードに
書かれている数字より大きい」ことを、単に「X＞Y」と書く。
(1)
袋Aに入っている、3のカードの枚数をx（1≦x≦5）とし、
袋Dのカードに書かれた数字をdとすると、条件(ⅰ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3x+9(6-x)}{6}=d\end{align*}}$ ……①
(ア)d≦3のとき、p(D，A)=0なので、条件(ⅱ)に反する。
(イ)d=9のとき、①よりx=0となり、1≦xに反する。
(ウ)4≦d≦8のとき、
D＞Aとなるのは、Aから3のカードが出されたときである。
よって、条件(ⅱ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p\left(D,A\right)=\frac{x}{6}=\frac{2}{3}\ \ \Leftrightarrow\ \ x=4\end{align*}}$
であり、これと①より、d=5となる。
以上より、
Aの袋の中の3の書かれているカードは4枚
Dの袋の中のカードに書かれた数字は5
である。
(2)
Bの袋の中の2数をb1、b2 （b1＜b2）とし、b1のカードの枚数を
y （1≦y≦5)とすると、条件(ⅰ)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{b_1y+b_2(6-y)}{6}=5\end{align*}}$ ……②
(エ)b1＜b2＜3のとき、p(A，B)=1となるので、条件(ⅱ)に反する。
(オ)3≦b1＜b2≦8のとき
A＞Bとなるのは、Aから9が出されるのみなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p(A,B)=\frac{2}{6}\ne\frac{2}{3}\end{align*}}$
となり、条件(ⅱ)に反する。
(カ)3≦b1≦8、b2=9のとき
A＞Bとなるのは、Aから9、Bからb1が取り出される
ときのみなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p(A,B)=\frac{2}{6}\cdot\frac{y}{6}\leqq \frac{5}{18}<\frac{2}{3}\ \ \ \ \left(\because 1\leqq y\leqq 5\right)\end{align*}}$
となり、条件(ⅱ)に反する。
(キ)b1＜3、b2=9のとき
A＞Bとなるのは、Bからb1が出されるときのみなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p(A,B)=\frac{y}{6}=\frac{2}{3}\ \ \Leftrightarrow\ \ y=4\end{align*}}$
これと②より、
2b1+9=15 ⇔ b1=3となり、
b1＜3に反する。
(ク) b1＜3≦b2≦8のとき
A＞Bとなるのは、
・Aから9が取り出される
・Aから3、Bからb1が取り出される
のいずれかなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p(A,B)=\frac{2}{6}+\frac{4}{6}\cdot\frac{y}{6}=\frac{2}{3}\ \ \Leftrightarrow\ \ y=3\end{align*}}$
これと②より、b1+b2=10となり、
これを満たすのは、b1=2、b2=8 のとき
以上より、Bの袋の中には、2と8のカードが3枚ずつ入っている。
(3)
Cの袋の中の2数をc1、c2 （c1＜c2）とし、c1のカードの枚数を
z （1≦z≦5)とすると、条件(ⅰ)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{c_1z+c_2(6-z)}{6}=5\end{align*}}$ ……③
(ケ)c2≦5のとき、p(C，D)=0となるので、条件(ⅱ)に反する。
(コ)5＜c1のとき、p(C，D)=1となるので、条件(ⅱ)に反する。
(サ)c1≦5＜c2のとき
C＞Dとなるのは、Cからc2のカードが出されるとき
のみなので、条件(ⅱ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p\left(C,D\right)=\frac{6-z}{6}=\frac{2}{3}\ \ \Leftrightarrow\ \ z=2\end{align*}}$ ．
これと③より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2c_1+4c_2}{6}=5\ \ \Leftrightarrow\ \ c_1+2c_2=15\end{align*}}$
となり、これを満たすc1、c2の組は、
(c1，c2)=(1，7)、(3，6)
のいずれかである。
(シ)c1=3、c2=6のとき
B＞Cとなるのは、Bから8が出されるときのみ
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p(B,C)=\frac{3}{6}\ne\frac{2}{3}\end{align*}}$
となり、条件(ⅱ)に反する。
(ス)c1=1、c2=7のとき
B＞Cとなるのは、
・Bから8が取り出される
・Bから2、Cから1が取り出される
のいずれかなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p(B,C)=\frac{3}{6}+\frac{3}{6}\cdot\frac{2}{6}=\frac{2}{3}\end{align*}}$
となり、条件(ⅱ)を満たす。
以上より、Cの袋の中には、
1のカードが2枚、7のカードが4枚入っている。
論理パズルのようで面白い問題です。
いろいろやっていると答えは出てきそうですが、
答案を書くのは難しいでしょうねぇ。
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- 2014/08/31(日) 23:57:00|
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