第１問
三角形ABCの3辺の長さをa＝BC、b＝CA、c＝ABとする。実数t≧0を
与えたとき、Aを始点としBを通る半直線上にAP＝tcとなるように点Pを
とる。次の問いに答えよ。
(１) CP2をa、b、c、tを用いて表せ。
(２) 点PがCP＝aを満たすとき、tを求めよ。
(３) (２)の条件を満たす点Pが辺AB上にちょうど2つあるとき、∠Aと∠Bに
関する条件を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
△ABCで余弦定理
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos A=\frac{-a^2+b^2+c^2}{2bc}\end{align*}}$
△APCで余弦定理
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf CP^2=b^2+\left(tc\right)^2-2b\cdot tc\cdot\frac{-a^2+b^2+c^2}{2bc}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ c^2t^2+\left(a^2-b^2-c^2\right)t+b^2\ }\end{align*}}$
(２)
(１)と CP＝aより
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c^2t^2+\left(a^2-b^2-c^2\right)t+b^2=a^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ c^2t^2+\left(a^2-b^2-c^2\right)t-\left(a^2-b^2\right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(t-1\right)\left(c^2t+a^2-b^2\right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ t=1\ ,\ \frac{b^2-a^2}{c^2}\end{align*}}$ ．
よって、
b≧aのとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ t=1\ ,\ \frac{b^2-a^2}{c^2}\ }\end{align*}}$
b＜aのとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ t=1\ }\end{align*}}$
(３)
(２)より、b＜aの時は明らかに題意を満たさないので、
b≧aすなわち、∠B≧∠Aである必要がある。
このとき、Pは辺AB上にあり、Bと異なる点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq\frac{b^2-a^2}{c^2}<1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 0\leqq b^2-a^2\lt c^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ b^2\lt a^2+c^2\end{align*}}$
となるので、∠Bは鋭角である。
以上より、題意を満たすための条件は、
∠A≦∠B＜90°
である。
文系と共通の問題です。
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第２問
次のような競技を考える。競技者がサイコロを振る。もし出た目が
気に入ればその目を得点とする。そうでなければ、もう1回サイコロ
を振って、2つの目の合計を得点とすることができる。ただし、合計
が7以上になった場合は得点は0点とする。この取り決めによって、
2回目を振ると得点が下がることもあることに注意しよう。次の問い
に答えよ。
(１) 競技者が常にサイコロを2回振ると、得点の期待値はいくらか。
(２) 競技者が最初の目が6のときだけ2回目を振らないとすると、
得点の期待値はいくらか。
(３) 得点の期待値を最大にするためには、競技者は最初の目が
どの範囲にあるときに2回目を振るとよいか。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
得点は下表のようになるので、
得点の期待値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2+3\cdot 2+4\cdot 3+5\cdot 4+6\cdot 5}{36}=\underline{\ \frac{35}{18}\ }\end{align*}}$
(２)
1回目に6の目が出る確率は 6分の1であり、
1回目に1～5の目が出たときは、(１)の表と
同じ得点になるので、得点の期待値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 6\cdot \frac{1}{6}+\frac{35}{18}=\underline{\ \frac{53}{18}\ }\end{align*}}$
(３)
1回目の目がｎ （n＝1、・・・、6）のとき、2回目を振った場合の
得点の期待値をEnとすると、(１)の表より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf E_1=\frac{2+3+4+5+6+0}{6}=\frac{10}{3}>1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf E_2=\frac{3+4+5+6+0+0}{6}=3>2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf E_3=\frac{4+5+6+0+0+0}{6}=\frac{5}{2}<3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf E_4=\frac{5+6+0+0+0+0}{6}=\frac{11}{6}<4\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf E_5=\frac{6+0+0+0+0+0}{6}=1<5\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf E_6=\frac{0+0+0+0+0+0}{6}=0<6\end{align*}}$
となるので、
1回目の目が3以上の場合は、2回目を振らない方が得点が高い。
文系と共通の問題です。
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第３問
xy平面上に曲線 $\small\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{1}{x^2}\end{align*}}$ を描き、この曲線の第1象限内の部分を
C1、第2象限内の部分をC2と呼ぶ。C1上の点$\small\sf{\begin{align*} \sf P_1\left(a\ ,\ \frac{1}{a^2}\right)\end{align*}}$ からC2
に向けて接線を引き、C2との接点をQ1とする。次に点Q1からC1
に向けて接線を引き、C1との接点をP2とする。次に点P2からC2
に向けて接線を引き、接点をQ2とする。以下同様に続けて、C1上
の点列PnとC2上の点列Qnを定める。このとき, 次の問いに答えよ。
(１) 点Q1の座標を求めよ。
(２) 三角形P1Q1P2の面積S1を求めよ。
(３) 三角形PnQnPn+1 (n＝1，2，3，・・・) の面積Snを求めよ。
(４) 級数 $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{n=1}^{\infty}S_n\end{align*}}$ の和を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
C1、C2の導関数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=-\frac{2}{x^3}\end{align*}}$
なので、Q1のx座標をq1（＜0）とおくと、
Q1における接線の方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-\frac{1}{q_1^{\ 2}}=-\frac{2}{q_1^{\ 3}}\left(x-q_1 \right)\end{align*}}$
で表され、これが点P1を通るので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{a^2}-\frac{1}{q_1^{\ 2}}=-\frac{2}{q_1^{\ 3}}\left(a-q_1 \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ q_1\left(q_1^{\ 2}-a^2 \right)=2a^2\left(q_1-a \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ q_1^{\ 3}-3a^2q_1+2a^3=\left(q_1-a \right)^2\left(q_1+2a \right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ q_1=-2a\ \ \ \left(\because\ q_1\ne a \right)\end{align*}}$ ．
よって、Q1の座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ Q_1\left(-2a\ ,\ \frac{1}{4a^2}\right)\ }\end{align*}}$
(２)
点P2のx座標をp2とおくと、(１)と同様に
p2＝－2q1＝4a
となるので、点P2の座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_2\left(4a\ ,\ \frac{1}{16a^2}\right)\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf Q_1P_1}=\left( 3a\ ,\ \frac{3}{4a^2}\right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf Q_1P_2}=\left( 6a\ ,\ -\frac{3}{16a^2}\right)\end{align*}}$
より、三角形P1Q1P2の面積S1は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_1=\frac{1}{2}\left| 3a\cdot\left(- \frac{3}{16a^2}\right)-\frac{3}{4a^2}\cdot 6a\right|=\underline{\ \frac{81}{32a}\ }\end{align*}}$
(３)
Pnのx座標をpnとおくと、(１)、(２)と同様に
pn＝4pn-1
となる。よって、数列{pn}は、公比4の等比数列をなし、
初項はp1＝aなので、
pn＝4n-1a．
また、Qnの座標をqnとおくと、(１)と同様に
qn＝－2pn＝－2・4n-1a
となるので、Pn、Pn+1、Qnの座標はそれぞれ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_n\left(4^{n-1}a\ ,\ \frac{1}{16^{n-1}a^2}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_{n+1}\left(4^{n}a\ ,\ \frac{1}{16^{n}a^2}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Q_n\left(-2\cdot4^{n-1}a\ ,\ \frac{1}{ 4\cdot 16^{n-1}a^2}\right)\end{align*}}$ ．
これらより
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf Q_nP_n}=\left(3\cdot 4^{n-1}a\ ,\ \frac{3}{4\cdot 16^{n-1}a^2}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf Q_nP_{n+1}}=\left(6\cdot 4^{n-1}a\ ,\ -\frac{3}{16^{n}a^2}\right)\end{align*}}$
となるので、三角形PnQnPn+1 (n＝1，2，・・・) の面積Snは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_n=\frac{1}{2}\left| 3\cdot 4^{n-1}a\cdot\left(-\frac{3}{16^{n}a^2}\right)-6\cdot 4^{n-1}a\cdot\frac{3}{4\cdot 16^{n-1}a^2}\right|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left| -\frac{9}{4^{n+1}a}-\frac{18}{4^{n}a}\right|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{81}{2\cdot 4^{n+1}a}\ }\end{align*}}$
(４)
Snは等比数列をなし、その公比は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<\frac{1}{4}<1\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{n=1}^{\infty}S_n=\frac{\frac{81}{32a}}{1-\frac{1}{4}}=\underline{\ \frac{27}{8a}\ }\end{align*}}$
(２)、(３)は、「(１)と同様に」で上手く誤魔化しましょう＾＾
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第４問
中心が(0，a)、半径aの円をxy平面上のx軸の上をxの正の
方向に滑らないように転がす。このとき円上の定点Pが原点
(0，0) を出発するとする。次の問いに答えよ。
(１) 円が角tだけ回転したとき、点Pの座標を求めよ。
(２) tが0から2$\small\sf{\pi}$ まで動いて円が1回転したときの点Pの描く
曲線をCとする。曲線Cとx軸とで囲まれる部分の面積を
求めよ。
(３) (２)の曲線の長さを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
角tだけ回転したときの円の中心をQ、
x軸との接点をTとおくと、
∠TQP＝ｔ
OT＝弧PT＝at
より、Qの座標は、(at，a)となる。
ここで、円周上にR（at＋a，a)となる
点Rをとると、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf QP}\end{align*}}$ は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf QR}\end{align*}}$ をQ中心に
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3\pi}{2}-t\end{align*}}$ だけ回転させたものなので
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf QP}=\left( a\cos\left(\frac{3\pi}{2}-t \right)\ ,\ a\sin\left(\frac{3\pi}{2}-t \right)\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left( -\sin t\ ,\ -\cos t\right)\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=\overrightarrow{\sf OQ}+\overrightarrow{\sf QP}\end{align*}}$
より、Pの座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ P\left(at-a\sin t\ ,\ a-a\cos t \right)\ }\end{align*}}$
(２)
(１)で求めた
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P\left(x\ ,\ y \right)=\left(at-a\sin t\ ,\ a-a\cos t \right)\end{align*}}$
に対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dx}{dt}=a\left(1-cos t \right)\ \ ,\ \ \frac{dy}{dt}=a\sin t\end{align*}}$
なので、曲線Cの増減および概形は次のようになる。
よって、Cとx軸で囲まれた図形の面積Sは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_0^{2\pi a}y\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{2\pi}\left(a-a\cos t \right)\cdot a\left(1-\cos t \right)dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =a^2\int_0^{2\pi}\left(1-2\cos t+\cos^2t \right)dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =a^2\int_0^{2\pi}\left(1-2\cos t+\frac{1+\cos 2t}{2} \right)dt\end{align*}}$ ←半角公式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\frac{3}{2}t-2\sin t+\frac{1}{4}\sin 2t \right]_0^{2\pi}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 3\pi a^2\ }\end{align*}}$
(３)
曲線Cの長さをLとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L=\int_0^{2\pi}\sqrt{\left( \frac{dx}{dt}\right)^2+\left( \frac{dy}{dt}\right)^2}\ dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{2\pi}\sqrt{\left\{a\left(1-\cos t \right)\right\}^2+\left(a\sin t\right)^2}\ dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =a\int_0^{2\pi}\sqrt{2\left(1-\cos t \right)}\ dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =a\int_0^{2\pi}\sqrt{4\sin^2\frac{t}{2} }\ dt\end{align*}}$ ←半角公式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2a\int_0^{2\pi}\sin \frac{t}{2}\ dt\ \ \ \ \left(\because\ 0\leqq \frac{t}{2}\leqq \pi \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2a\left[-2\cos\frac{t}{2} \right]_0^{2\pi}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 8a\ }\end{align*}}$
この曲線はサイクロイドってヤツですね。
(３)は、曲線の長さの公式は知ってますか？？
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第５問
実数を成分とする2次正方行列 $\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf c & \sf d \end{pmatrix}\end{align*}}$ を考える。平面上の
点P(x，y)に対し、点Q(X，Y) を
$\small\sf{\begin{align*} \sf \binom{X}{Y}=\begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf c & \sf d \end{pmatrix}\binom{x}{y}\end{align*}}$
により定める。このとき、次の問いに答えよ。
(１) Pが放物線y＝x2全体の上を動くとき、Qが放物線9X＝2Y2
全体の上を動くという。このとき, 行列Aを求めよ。
(２) Pが放物線y＝x2全体の上を動くとき、Qは常に円
X2＋(Y－1)2＝1の上にあるという。このとき、行列Aを求めよ。
(３) Pが放物線y＝x2全体の上を動くとき、Qがある直線L全体の
上を動くためのa、b、c、dについての条件を求めよ。また、
その条件が成り立っているとき、直線Lの方程式を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
P(x，y)はy＝x2上にあるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix}\sf X\\ \sf Y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf c & \sf d \end{pmatrix}\binom{x}{y}=\binom{ax+by}{cx+dy}=\binom{ax+bx^2}{cx+dx^2}\end{align*}}$ ……(#)
(１)
Qが放物線9X＝2Y2上にあるとき、(#)より、
9(ax＋bx2)＝2(cx＋dx2)2
⇔ 2d2x4＋4cdx3＋(2c2－9b)x2－9ax＝0
となり、これが任意のxに対して成り立つので、
2d＝4cd＝2c2－9b＝9a＝0
⇔ a＝d＝0 かつ 9b＝2c2
⇔ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix} \sf 0&\sf 2t^2 \\ \sf 3t & \sf 0 \end{pmatrix}\end{align*}}$ （t：実数）
このとき、(#)は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{X}{Y}=\binom{2t^2x^2}{3tx}\end{align*}}$
となり、点Q(X，Y)が放物線9X＝2Y2全体を動くためには、
t≠0であればよい。よって、題意を満たす行列Aは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ A=\begin{pmatrix} \sf 0&\sf 2t^2 \\ \sf 9c & \sf 0 \end{pmatrix}\ \ \ \left(t\ne 0 \right)\ }\end{align*}}$ ．
(２)
Qが円X2＋(Y－1)2＝1上にあるとき、(#)より、
(ax＋bx2)2＋(cx＋dx2－1)2＝1
⇔ (b2＋d2)x4＋2(ab＋cd)x3＋(a2＋c2－2d)x2－2cx＝0
となり、これが任意のxに対して成り立つので、
b2＋d2＝ab＋cd＝a2＋c2－2d＝c＝0
⇔ a＝b＝c＝d＝0
このとき、(#)は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{X}{Y}=\binom{0}{0}\end{align*}}$
となるので、点Q(X，Y)は円X2＋(Y－1)2＝1上にある。
よって、題意を満たす行列Aは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ A=\begin{pmatrix} \sf 0&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 0 \end{pmatrix}\ }\end{align*}}$ ．
(３)
放物線y＝x2上の点(0，0)は、どんなAに対しても点(0，0)に
移るので、Lは原点を通る。
(ⅰ) Lがy軸と平行なとき
点Q(X，Y)は X＝0 を満たすので、(#)より
ax＋bx2＝0
となり、これが任意のxに対して成り立つので、
a＝b＝0．
このとき(#)より、
Y＝cx＋dx2
となる。
(ア)d＞0のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Y=d\left(X+\frac{c}{2d}\right)^2-\frac{c^2}{4d^2}\geqq -\frac{c^2}{4d^2}\end{align*}}$
(イ)d＜0のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Y=d\left(X+\frac{c}{2d}\right)^2-\frac{c^2}{4d^2}\leqq -\frac{c^2}{4d^2}\end{align*}}$
(ウ)c＝d＝0のとき、Y＝0
(ア)～(ウ)はいずれの場合も、Yがすべての実数値を
とらないので、題意を満たすためには、
a＝b＝d＝0 かつ c≠0
であればよく、このとき直線Lの方程式は、x＝0である。
(ⅱ) Lがy軸と平行でないとき
Lの方程式をy＝mxとすると、Qがこの直線上にあるので
(#)より
cx＋dx2＝m(ax＋bx2)
⇔ (bm－d)x2＋(am－c)x＝0
となり、これが任意のxに対して成り立つので、
bm－d＝am－c＝0．
ここで(#)より
X＝ax＋bx2
であり、これがすべての実数値をとるためには、
(ⅰ)の(ア)～(ウ)と同様に考えると、
b＝0 かつ a≠0
であればよい。
以上より、題意を満たすための条件は
a≠0 かつ b＝d＝0
であり、Lの方程式は、 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ y=\frac{c}{a}x\ }\end{align*}}$ である。
(３)は、細かい所に気をつけましょう。
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