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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2010九州大 理系数学1



第1問

  三角形ABCの3辺の長さをa=BC、b=CA、c=ABとする。実数t≧0を
  与えたとき、Aを始点としBを通る半直線上にAP=tcとなるように点Pを
  とる。次の問いに答えよ。

 (1) CP2をa、b、c、tを用いて表せ。

 (2) 点PがCP=aを満たすとき、tを求めよ。

 (3) (2)の条件を満たす点Pが辺AB上にちょうど2つあるとき、∠Aと∠Bに
    関する条件を求めよ。




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  1. 2018/10/18(木) 01:05:00|
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2010九州大 理系数学2



第2問

  次のような競技を考える。競技者がサイコロを振る。もし出た目が
  気に入ればその目を得点とする。そうでなければ、もう1回サイコロ
  を振って、2つの目の合計を得点とすることができる。ただし、合計
  が7以上になった場合は得点は0点とする。この取り決めによって、
  2回目を振ると得点が下がることもあることに注意しよう。次の問い
  に答えよ。

 (1) 競技者が常にサイコロを2回振ると、得点の期待値はいくらか。

 (2) 競技者が最初の目が6のときだけ2回目を振らないとすると、
    得点の期待値はいくらか。

 (3) 得点の期待値を最大にするためには、競技者は最初の目が
    どの範囲にあるときに2回目を振るとよいか。




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2010九州大 理系数学3



第3問

  xy平面上に曲線 $\small\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{1}{x^2}\end{align*}}$ を描き、この曲線の第1象限内の部分を
  C1、第2象限内の部分をC2と呼ぶ。C1上の点$\small\sf{\begin{align*} \sf P_1\left(a\ ,\ \frac{1}{a^2}\right)\end{align*}}$ からC2
  に向けて接線を引き、C2との接点をQ1とする。次に点Q1からC1
  に向けて接線を引き、C1との接点をP2とする。次に点P2からC2
  に向けて接線を引き、接点をQ2とする。以下同様に続けて、C1
  の点列PnとC2上の点列Qnを定める。このとき, 次の問いに答えよ。

 (1) 点Q1の座標を求めよ。

 (2) 三角形P1Q1P2の面積S1を求めよ。

 (3) 三角形PnQnPn+1 (n=1,2,3,・・・) の面積Snを求めよ。

 (4) 級数 $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{n=1}^{\infty}S_n\end{align*}}$ の和を求めよ。



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2010九州大 理系数学4



第4問

  中心が(0,a)、半径aの円をxy平面上のx軸の上をxの正の
  方向に滑らないように転がす。このとき円上の定点Pが原点
  (0,0) を出発するとする。次の問いに答えよ。

 (1) 円が角tだけ回転したとき、点Pの座標を求めよ。

 (2) tが0から2$\small\sf{\pi}$ まで動いて円が1回転したときの点Pの描く
    曲線をCとする。曲線Cとx軸とで囲まれる部分の面積を
    求めよ。

 (3) (2)の曲線の長さを求めよ。



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2010九州大 理系数学5



第5問

  実数を成分とする2次正方行列 $\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf c & \sf d \end{pmatrix}\end{align*}}$ を考える。平面上の
  点P(x,y)に対し、点Q(X,Y) を
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \binom{X}{Y}=\begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf c & \sf d \end{pmatrix}\binom{x}{y}\end{align*}}$
  により定める。このとき、次の問いに答えよ。

 (1) Pが放物線y=x2全体の上を動くとき、Qが放物線9X=2Y2
    全体の上を動くという。このとき, 行列Aを求めよ。

 (2) Pが放物線y=x2全体の上を動くとき、Qは常に円
    X2+(Y-1)2=1の上にあるという。このとき、行列Aを求めよ。

 (3) Pが放物線y=x2全体の上を動くとき、Qがある直線L全体の
    上を動くためのa、b、c、dについての条件を求めよ。また、
    その条件が成り立っているとき、直線Lの方程式を求めよ。



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