第1問
点Oで交わる2つの半直線OX、OYがあって、∠XOY=60°とする。
2点A、BがOX上にO、A、Bの順に、2点C、DがOY上にO、C、Dの
順に並んでいるとして、線分ACの中点をM、線分BDの中点をNとする。
線分ABの長さをs、線分CDの長さをｔとするとき、以下の問いに答えよ。
(1) 線分MNの長さをsとｔを用いて表せ。
(2) 点A、BとC、Dが$\small\sf{\sf s^2+t^2=1}$ を満たしながら動くとき、線分MNの長さ
の最大値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
xy平面上の原点をOとし、x軸上に2点A、Bを
$\scriptsize\sf{\sf A(a,\ 0)\ ,\ B(a+s,\ 0)\ \ （a\gt 0）}$
のようにとる。
また、半直線 y=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3" \end{align*}}$ x （x≧0）はx軸正方向と60°の角をなすので、
この半直線上の2点C、Dを
$\scriptsize\sf{\sf C(c,\ \sqrt3\ c)\ ,\ D(ｄ,\ \sqrt3\ ｄ)\ \ (0\lt c\lt ｄ)}$
とすると、CD=ｔより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf CD^2=(d-c)^2+\left(\sqrt3\ d-\sqrt3\ c\right)^2=t^2" \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ 4(d-c)^2=t^2" \end{align*}}$
ここで、ｔ＞0かつc＜ｄより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf d=c+\frac{t}{2}\end{align*}}$
よって、点Dの座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D\left(c+\frac{t}{2}\ ,\ \sqrt3\ c+\frac{\sqrt3\ t}{2}\right)\end{align*}}$
M、Nはそれぞれ線分AB、CDの中点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf M\left(\frac{a+c}{2}\ ,\ \frac{\sqrt3}{2}\ c\right)\ \ ,\ \ N\left(\frac{a+c}{2}+\frac{s}{2}+\frac{t}{4}\ ,\ \frac{\sqrt3}{2}c+\frac{\sqrt3}{4}\ t\right)\end{align*}}$
よって、MNの長さは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf MN=\sqrt{\left(\frac{s}{2}+\frac{t}{4}\right)^2+\left(\frac{\sqrt3}{4}\ t\right)^2}=\underline{\ \frac{1}{2}\sqrt{s^2+t^2+st}\ \ }\end{align*}}$
ベクトルで計算してもいいと思います。
計算量はどっちでも同じぐらいですかね。
(2)
$\scriptsize\sf{\sf s^2+t^2=1}$ ･･･①より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf MN=\frac{1}{2}\sqrt{1+st}\end{align*}}$ ････②
s、ｔ＞0より相加・相乗平均の関係を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{s^2+t^2}{2}\geqq \sqrt{s^2\ t^2}\ \ \Leftrightarrow\ \ s\ t\ \leqq \frac{1}{2}\end{align*}}$
これと②より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf MN\leqq \frac{1}{2}\sqrt{1+\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt6}{4}\end{align*}}$
よって、MNの最大値は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\sqrt6}{4}\end{align*}}$ となる。
相加・相乗平均に気づけば楽ですね。
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- 2011/11/13(日) 23:57:00|
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第2問
実数a、bを係数に含む3次式$\small\sf{\sf P(x)=x^3+3ax^2+3ax+b}$ を考える。
P(x)の複素数の範囲における因数分解を
$\small\sf{\sf P(x)=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)}$
とする。$\small\sf{\alpha\ ,\ \beta\ ,\ \gamma}$ の間に$\small\sf{\alpha+\gamma=2\beta}$ という関係があるとき、以下の
問いに答えよ
(1) bをaで表せ。
(2) $\small\sf{\alpha\ ,\ \beta\ ,\ \gamma}$ がすべて実数であるとする。このとき、aのとり得る値の
範囲を求めよ。
(3) (1)で求めたaの式をf(a)とする。aが(2)の範囲を動くとき、関数
b=f(a)のグラフをかけ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\sf P(x)=(x-\alpha)(x-\beta)(x\gamma)}$
$\scriptsize\sf{\sf =x^3-(\alpha+\beta+\gamma)x^2+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x-\alpha\beta\gamma}$
これと$\scriptsize\sf{\sf P(x)=x^3+3ax^2+3ax+b}$ の係数を比較すると、
$\scriptsize\sf{\alpha+\beta+\gamma=-3a}$ ･･･①
$\scriptsize\sf{\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=3a}$ ･･･②
$\scriptsize\sf{\alpha\beta\gamma=-b}$ ･･･③
まず、①と条件式$\scriptsize\sf{\alpha+\gamma=2\beta}$ ･･･(※)より、
$\scriptsize\sf{\sf 2\beta+\beta=3a\ \ \Leftrightarrow\ \ \beta=-a}$ ･･･①’
これと②より、
$\scriptsize\sf{\alpha\gamma=3a-\beta(\alpha+\gamma)}$
$\scriptsize\sf{\sf =3a-2\beta^2}$ ← (※)より
$\scriptsize\sf{\sf =3a-2a^2}$ ･･･②’ ←①’より
③より
$\scriptsize\sf{\sf b=-\alpha\beta\gamma}$
$\scriptsize\sf{\sf =a(3a-2a^2)}$ ←①’、②’より
よって、
$\scriptsize\sf{\sf b=-2a^3+3a^2}$
適当に式をいじってたら出ましたね。
(2)
①’より
$\scriptsize\sf{\sf P(x)=(x-\alpha )(x-\beta)(x\gamma)}$
$\scriptsize\sf{\sf =(x+a)(x-\alpha)(x-\gamma)}$
$\scriptsize\sf{\sf =(x+a)\left\{x^2-(\alpha+\gamma)x+\alpha\gamma\right\}}$
$\scriptsize\sf{\sf =(x+a)(x^2+2ax-2a^2+3a)}$ ←(※)、①’、②’より
$\scriptsize\sf{\beta\ (=-a)}$ は実数なので、$\scriptsize\sf{\alpha}$ と$\scriptsize\sf{\gamma}$ が実数であればよい。
すなわち、
$\scriptsize\sf{\sf x=\alpha}$ と$\scriptsize\sf{\sf x=\gamma}$ を解にもつ二次方程式$\scriptsize\sf{\sf x^2+2ax-2a^2+3a=0}$
が実数解をもてばよいので、その判別式Dを考える。
$\scriptsize\sf{\sf D/4=a^2-(-2a^2+3a)}$
$\scriptsize\sf{\sf =3a(a-1)\geqq 0}$
よって、
$\scriptsize\sf{\sf \underline{a\leqq 0\ ,\ 1\leqq a}}$
因数分解された形が与えられているので、それを使うだけです。
間違っても微分したり極値を求めたりしないように！
(3)
(1)より、
$\scriptsize\sf{\sf f(a)=-2a^3+3a^2}$
微分すると、
$\scriptsize\sf{\sf f'(a)=-6a^2+6a=-6a(a-1)}$
増減表は下の通り。
| a | ･･･ | 0 | ･･･ | 1 | ･･･ |
| f’(a) | － | 0 | + | 0 | － |
| f(a) | ↘ | 0 | ↗ | 1 | ↘ |
(2)で求めた a≦0、1≦aの範囲でグラフを描くと
右図のようになる。
(1)、(2)が出来ていれば、これはオマケですね。
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- 2011/11/14(月) 23:57:00|
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第3問
aを正の定数とし、
$\small\sf{\sf f(x)=||x-3a|-a|}$
$\small\sf{\sf g(x)=-x^2+6ax-5a^2+a}$
を考える。
(1) 方程式$\small\sf{\sf f(x)=a}$ の解を求めよ。
(2) $\small\sf{\sf y=f(x)}$ と$\small\sf{\sf y=g(x)}$ のグラフで囲まれた部分の面積Sを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\sf y=|x-3a|}$ のグラフは、直線$\scriptsize\sf{\sf y=x-3a}$ のy＜0
の部分をx軸について折り返して得られる折れ線。
これをy軸方向に－aだけ平行移動したものが、
$\scriptsize\sf{\sf y=|x-3a|-a}$ のグラフである。
y＜0の部分をx軸について折り返して得られる
折れ線が、$\scriptsize\sf{\sf y=f(x)=||x-3a|-a|}$ のグラフ。
すなわち、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\left\{ \begin{array}{ll}\sf -x+2a & (\sf x<2a)\\ \sf \ \ x-2a & (\sf 2a\leqq x<3a) \\ \sf -x+4a & (\sf 3a\leqq x<4a) \\ \sf \ \ x-4a & (\sf 4a\leqq x) \\\end{array} \right.\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\sf y=f(x)}$ と直線$\scriptsize\sf{\sf y=a}$ のグラフの交点を考えると、
方程式$\scriptsize\sf{\sf f(x)=a}$ の解は
$\scriptsize\sf{\sf \underline{x=a,\ 3a,\ 5a}}$
いちいち場合分けをして計算するのは面倒なので、
先にグラフを描いてしまいましょう。
(2)
$\scriptsize\sf{\sf g(x)=-x^2+6ax-5a^2+a}$
$\scriptsize\sf{\sf =-(x-3a)^2+4a^2+a}$
より、$\scriptsize\sf{\sf y=g(x)}$ の頂点は$\scriptsize\sf{\sf (3a,\ 4a^2+a)}$
$\scriptsize\sf{\sf y=g(x)}$ と半直線$\scriptsize\sf{\sf y=-x+2a\ \ （x\lt 2a)}$ との
交点を求める。
$\scriptsize\sf{\sf -x^2+6ax-5a^2+a=-x+2a}$
$\scriptsize\sf{\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^2-(6a-1)x+5a^2+a=0}$
$\scriptsize\sf{\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (x-a)(x-5a-1)=0}$
$\scriptsize\sf{\sf x\lt 2a}$ より、$\scriptsize\sf{\sf x=a}$
グラフの対称性より、$\scriptsize\sf{\sf y=g(x)}$ と半直線$\scriptsize\sf{\sf y=x-4a\ \ (x\geqq 4a)}$
の交点のx座標は、$\scriptsize\sf{\sf x=5a}$ となる。
よって、$\scriptsize\sf{\sf y=f(x)}$ と$\scriptsize\sf{\sf y=g(x)}$ とで囲まれる部分は、
右図の水色の部分であり、その面積Sは、
(赤色部分)+(緑色の三角形)×2
として求めることができる。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\ =\int_{a}^{5a}\ \{(-x^2+6ax-5a^2+a)-a\}\ dx+\left(2a\times a \times \frac{1}{2}\right)\times 2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{6}(5a-a)^3+2a^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{32}{3}a^3+2a^2\ \ }\end{align*}}$
これはそんなに難しくないですよね。
計算ミスに気をつければ大丈夫大丈夫！
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- 2011/11/15(火) 23:57:00|
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