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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2007京都府立医科大 数学1



第1問

  1辺の長さが1である立方体をCとし、Cの頂点の1つをAとする。
  Aを中心とする半径rの球をDとして、CとDの共通部分の体積を
  V(r)とする。

 (1) V(r)をrを用いて表せ。ただし、$\small\sf{\begin{align*}\sf 0\lt r\leqq \sqrt2\end{align*}}$ とする。

 (2) $\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{V\ (r)}{r^2}\ \left(0\lt r\leqq \sqrt2\right)\end{align*}}$ が最大となるrの値を求めよ。



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  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .京都府立医大 2007
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2007京都府立医科大 数学2



第2問

  xy座標平面において、y軸上に中心をもつ円C1とy=x3で表される
  曲線C2は異なる2つの共有点A、Bをもち、AおよびBの両方の点に
  おいてC1とC2は共通の接線をもつとする。

 (1) 点Aまたは点Bは原点Oと一致することを示せ。

 (2) 円C1の中心の座標を求めよ。



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2007京都府立医科大 数学3




第3問

  nを2以上の整数とし、xy座標平面において正2n角形Sを考える。
  ただし、Sの頂点P0、P1、…、P2n-1は原点Oから等距離にあり、
  反時計回りに並んでいる。P0の座標を(1,0)としする。p、q、r、
  sを実数とし、点P0を点Q0(p,q)に、点P1を点Q1(r,s)に移す
  1次変換(行列で表される点の移動)をfとする。

 (1) fを表す行列をn、p、q、r、sを用いて表せ。

 (2) Q0、Q1が∠Q0OQ1=∠P0OP1をみたすようなSの頂点のとき、
    Sのどの頂点もfによって再びSの点に移されることを示せ。

 (3) Q0,Q1を(2)と同様とし、fによって自分自身に移されるSの
    頂点の個数、つまりf(Pk)=PkとなるPkの個数を考える。
    (この個数はQ0,Q1の取り方によって変わりうる。)この個数の
    取り得る値をすべて求めよ。



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2007京都府立医科大 数学4



第4問

  nを自然数とし、関数 $\small\sf{\begin{align*}\sf f_n(x)=\sin^{n+1}x\end{align*}}$ の $\small\sf{\begin{align*}\sf 0\lt x\lt\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ における
  変曲点のx座標をxnとする。

 (1) 極限値 $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x_n)\end{align*}}$ を求めよ。
    ただし、必要ならば $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e\end{align*}}$ であることは用いてよい。

 (2) 極限値 $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{n}\left(\frac{\pi}{2}-x_n\right)\end{align*}}$ を求めよ。

 (3) 点(xn,fn(xn))における曲線y=fn(x)の接線とx軸との交点を
    Pnとし、直線 $\small\sf{\begin{align*}\sf x=\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ との交点をQnとする。3点Pn、Qnおよび
    R$\small\sf{\begin{align*}\sf \left(\frac{\pi}{2}\ ,\ 0\right)\end{align*}}$ を頂点とする三角形の面積をSnとするとき、極限値
    $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{ n}\ S_n\end{align*}}$ を求めよ。




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