第２問
xy座標平面において、y軸上に中心をもつ円C1とy＝x3で表される
曲線C2は異なる2つの共有点A、Bをもち、AおよびBの両方の点に
おいてC1とC2は共通の接線をもつとする。
(１) 点Aまたは点Bは原点Oと一致することを示せ。
(２) 円C1の中心の座標を求めよ。
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【解答】
(１)
円C1の中心をQ(0，q)、半径をr（＞0）とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf C_1:\ x^2+\left(y-q\right)^2=r^2\end{align*}}$
と表すことができる。C1とC2の2つの共有点の座標を
A(a，a3)、B(b，b3) （a≠b)とおき、a≠0かつb≠0であると
仮定する。
まず、AはC1上にあるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a^2+\left(a^3-q\right)^2=r^2\end{align*}}$ ……(ⅰ)
また、y＝x3の導関数は、y’＝3x2なので、Aにおける接線を
LAとし、LAの方向ベクトルを $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf d}\end{align*}}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf d}=\left(1\ ,\ 3a^2\right)\end{align*}}$ ．
一方、LAは円C1にも接するので、QA⊥LAより
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf QA}=\left(a\ ,\ a^3-q\right)\end{align*}}$
に対して、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf d}\cdot\overrightarrow{\sf QA}=a+3a^2\left(a^3-q\right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a^3-q=-\frac{1}{3a}\ \ \ \left(\because\ a\ne 0\right)\end{align*}}$ ……(ⅱ)
(ⅱ)を(ⅰ)に代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a^2+\left(-\frac{1}{3a}\right)^2=r^2\ \Leftrightarrow\ \ 9a^4-9r^2a^2+1=0\end{align*}}$
となる。同様に、bについても $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 9b^4-9r^2b^2+1=0\end{align*}}$ が成り立つので、
tについての方程式を
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 9t^4-9r^2t^2+1=0\end{align*}}$ ……(ⅲ)
とおくと、(ⅲ)はaとbのみを実数解としてもつ。
ここで、(ⅱ)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf aq=a^4+\frac{1}{3}\ \gt0\end{align*}}$
と変形できるので、aとqは同符号である。bについても同様に
考えることができるので、aとbは同符号になる。
一方、(ⅲ)の左辺をf(t)とおくと、任意のtに対して
f(－t)＝f(t)
が成り立つので、f(t)は偶関数である。
よって、方程式(ⅲ)が、同符号の2実数解のみを持つことは
あり得ないので、題意に反する。
よって、a＝0 または b＝0となるので、
点Aまたは点Bは原点Oと一致する。
(２)
(１)より、A(0，0)、B(b，b3) （b≠0）とし、これらがC1上に
あるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0+\left(0-q\right)^2=b^2+\left(b^3-q\right)^2=r^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ q^2=b^2+b^6-2qb^3+q^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ b^4-2qb+1=0\ \ \ \left(\because\ b\ne 0\right)\end{align*}}$ ……(ⅳ)
となる。(ⅳ)の左辺をbの関数とみなして g(b)とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g\ '(b)=4b^3-2q=2\left(2b^3-q\right)\end{align*}}$
となるので、g(b)の増減は次のようになる。
(ⅳ)を満たす実数bが、ただ1つ存在すればよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g\left(\sqrt[3]{\sf \frac{q}{2}}\right)=\frac{q}{2}\cdot\sqrt[3]{\sf \frac{q}{2}}-2q\sqrt[3]{\sf \frac{q}{2}}+1=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ q\sqrt[3]{\sf \frac{q}{2}}=\frac{2}{3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ q^4=\frac{16}{27}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ q=\pm\frac{2}{\sqrt[4]{27}}\end{align*}}$
よって、円C1の中心の座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\ \left(0\ ,\ \pm\frac{2}{\sqrt[4]{27}}\right)\ }\end{align*}}$
一見すると簡単そうに見えますが、なかなか大変な問題です。
(１)は背理法です。
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第３問
nを2以上の整数とし、xy座標平面において正2n角形Sを考える。
ただし、Sの頂点P0、P1、…、P2n-1は原点Oから等距離にあり、
反時計回りに並んでいる。P0の座標を(1，0)としする。p、q、r、
sを実数とし、点P0を点Q0(p，q)に、点P1を点Q1(r，s)に移す
1次変換（行列で表される点の移動）をfとする。
(１) fを表す行列をn、p、q、r、sを用いて表せ。
(２) Q0、Q1が∠Q0OQ1＝∠P0OP1をみたすようなSの頂点のとき、
Sのどの頂点もfによって再びSの点に移されることを示せ。
(３) Q0，Q1を(２)と同様とし、fによって自分自身に移されるSの
頂点の個数、つまりf(Pk)＝PkとなるPkの個数を考える。
（この個数はQ0，Q1の取り方によって変わりうる。）この個数の
取り得る値をすべて求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
題意より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \angle P_0OP_1=\angle P_1OP_2=\ldots =\angle P_{2n-2}OP_{2n-1}=\frac{\pi}{n}\end{align*}}$
であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \theta=\frac{\pi}{n}\end{align*}}$
とおくと、Sの頂点の座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p_{k}\left(\cos k\theta\ ,\ \sin k\theta\right)\ \ \ \left(k=0,1,2,\ldots,2n-1\right)\end{align*}}$
と表すことができる。
(１)
fを表す行列をAとすると、点P0(1，0)が点Q0(p，q)に、
点P1(cos$\scriptsize\sf{\theta}$ ，sin$\scriptsize\sf{\theta}$ )が点Q1(r，s)に移るので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf A\binom{1}{0}=\binom{p}{q}\ \ ,\ \ A\binom{\cos\theta}{\sin\theta}=\binom{s}{t}\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf A\begin{pmatrix} \sf 1&\sf \cos\theta \\ \sf 0 & \sf \sin\theta \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf p&\sf r \\ \sf q& \sf s \end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ A=\begin{pmatrix} \sf p&\sf r \\ \sf q& \sf s \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf 1&\sf \cos\theta \\ \sf 0 & \sf \sin\theta \end{pmatrix}^{-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{1}{\sin\theta}\begin{pmatrix} \sf p&\sf r \\ \sf q& \sf s \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf \sin\theta&\sf -\cos\theta \\ \sf 0 & \sf 1 \end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{1}{\sin\theta}\begin{pmatrix} \sf p\sin\theta&\sf -p\cos\theta+r \\ \sf q\sin\theta& \sf -q\cos\theta+s \end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{\ \frac{1}{\sin\frac{\pi}{n}}\begin{pmatrix} \sf p\sin\frac{\pi}{n}&\sf -p\cos\frac{\pi}{n}+r \\ \sf q\sin\frac{\pi}{n}& \sf -q\cos\frac{\pi}{n}+s \end{pmatrix}\ }\end{align*}}$
(２)
以下、P2n＝P0とする。
(ⅰ) Q0＝Pm、 Q1＝Pm+1 （0≦m≦2n－1）のとき
すなわち、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p=\cos m\theta\ ,\ q=\sin m\theta\ ,\ r=\cos(m+1)\theta\ ,\ s=\sin(m+1)\theta\end{align*}}$
のとき、(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf A=\frac{1}{\sin\theta}\begin{pmatrix} \sf \cos m\theta\ \sin\theta&\sf -\cos m\theta\ \cos\theta+\cos(m+1)\theta \\ \sf \sin m\theta\ \sin\theta& \sf -\sin m\theta\ \cos\theta+\sin(m+1)\theta \end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{1}{\sin\theta}\begin{pmatrix} \sf \cos m\theta\ \sin\theta&\sf -\cos m\theta\ \cos\theta+\cos m\theta\cos\theta-\sin m\theta\sin\theta \\ \sf \sin m\theta\ \sin\theta& \sf -\sin m\theta\ \cos\theta+\sin m\theta\cos\theta+\cos m\theta\sin\theta \end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{1}{\sin\theta}\begin{pmatrix} \sf \cos m\theta\ \sin\theta&\sf -\sin m\theta\sin\theta \\ \sf \sin m\theta\ \sin\theta& \sf \cos m\theta\sin\theta \end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\begin{pmatrix} \sf \cos m\theta&\sf -\sin m\theta \\ \sf \sin m\theta& \sf \cos m\theta \end{pmatrix}\end{align*}}$
となり、このAは、原点中心にm$\scriptsize\sf{\theta}$ だけ回転させる移動を表す。
よって、Sの頂点はfによってすべてSの頂点に移る。
(ⅱ) Q0＝Pm、 Q1＝Pm-1 （1≦m≦2n）のとき
すなわち、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p=\cos m\theta\ ,\ q=\sin m\theta\ ,\ r=\cos(m-1)\theta\ ,\ s=\sin(m-1)\theta\end{align*}}$
のとき、(ⅰ)と同様に計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf A=\frac{1}{\sin\theta}\begin{pmatrix} \sf \cos m\theta\ \sin\theta&\sf -\cos m\theta\ \cos\theta+\cos(m-1)\theta \\ \sf \sin m\theta\ \sin\theta& \sf -\sin m\theta\ \cos\theta+\sin(m-1)\theta \end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\begin{pmatrix} \sf \cos m\theta&\sf \sin m\theta \\ \sf \sin m\theta& \sf -\cos m\theta \end{pmatrix}\end{align*}}$
となる。この行列によって点Pk （0≦k≦2n－1）は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \begin{pmatrix} \sf \cos m\theta&\sf \sin m\theta \\ \sf \sin m\theta& \sf -\cos m\theta \end{pmatrix}\binom{\cos k\theta}{\sin k\theta}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\binom{\cos m\theta\cos k\theta+\sin m\theta\sin k\theta}{\sin m\theta\cos k\theta-\cos m\theta\sin k\theta}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\binom{\cos\left(m-k\right)\theta}{\sin\left(m-k\right)\theta}\end{align*}}$
となるので、
m－k≧0のときは点Pm-kに移り、
m－k＜0のときは点Pm-k+2nに移る。
よって、Sの頂点はfによってすべてSの頂点に移る。
(３)
(ⅰ) Q0＝Pm、 Q1＝Pm+1 （0≦m≦2n－1）のとき
fは、原点中心にm$\scriptsize\sf{\theta}$ だけ回転させる移動を表す。
・m＝0のときは、すべての頂点が自分自身に移される。
・m≠0のときは、自分自身に移される頂点は存在しない。
(ⅱ) Q0＝Pm、 Q1＝Pm-1 （1≦m≦2n）のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P_{m-k}=P_k\ \ \Leftrightarrow\ \ m-k=k\ \ \Leftrightarrow\ \ k=\frac{m}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P_{m-k+2n}=P_k\ \ \Leftrightarrow\ \ m-k+2n=k\ \ \Leftrightarrow\ \ k=\frac{m}{2}+n\end{align*}}$
となるので、
・mが偶数のとき、2点 $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P_{\frac{m}{2}}\ ,\ P_{\frac{m}{2}+n}\end{align*}}$ はfによって自分自身に移る。
・mが奇数のときは、自分自身に移される頂点は存在しない。
以上より、f(Pk)＝PkとなるPkの個数の取り得る値は、
0、2、2n
である。
(２)(ⅱ)で得られた行列
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf A=\begin{pmatrix} \sf \cos m\theta&\sf \sin m\theta \\ \sf \sin m\theta& \sf -\cos m\theta \end{pmatrix}\end{align*}}$
は、直線 $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=\left(\tan\frac{m\theta}{2}\right)\ x\end{align*}}$ に関する対称移動を表します。
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第４問
nを自然数とし、関数 $\small\sf{\begin{align*}\sf f_n(x)=\sin^{n+1}x\end{align*}}$ の $\small\sf{\begin{align*}\sf 0\lt x\lt\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ における
変曲点のx座標をxnとする。
(１) 極限値 $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x_n)\end{align*}}$ を求めよ。
ただし、必要ならば $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e\end{align*}}$ であることは用いてよい。
(２) 極限値 $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{n}\left(\frac{\pi}{2}-x_n\right)\end{align*}}$ を求めよ。
(３) 点(xn，fn(xn))における曲線y＝fn(x)の接線とx軸との交点を
Pnとし、直線 $\small\sf{\begin{align*}\sf x=\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ との交点をQnとする。3点Pn、Qnおよび
R$\small\sf{\begin{align*}\sf \left(\frac{\pi}{2}\ ,\ 0\right)\end{align*}}$ を頂点とする三角形の面積をSnとするとき、極限値
$\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{ n}\ S_n\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f_n(x)=\sin^{n+1}x\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f_n\ '(x)=\left(n+1\right)\sin^{n}x\cos x\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f_n\ ''(x)=\left(n+1\right)n\sin^{n-1}x\cos^2 x+\left(n+1\right)\sin^{n}x\cdot\left(-\sin x\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\left(n+1\right)\sin^{n-1}x\left\{n\left(1-\sin^2x\right)-\sin^2 x\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =-\left(n+1\right)^2\sin^{n-1}x\left(\sin^2 x-\frac{n}{n+1}\right)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f_n''(x)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \sin x=\sqrt{\frac{n}{n+1}}\ (\gt 0)\ \ \ \left(\because\ 0\lt x\lt \frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$
となり、このときのxの前後でf”n(x)の符号が変化するので、
変曲点のx座標xnは
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sin x_n=\sqrt{\frac{n}{n+1}}\ \ \left(0lt x_n\lt\frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$ ……(#)
を満たす。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}f_n\left(x_n\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt{\frac{n}{n+1}}\right)^{n+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\left(\sqrt{\frac{n+1}{n}}\right)^{n+1}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\left(\sqrt{\frac{n+1}{n}}\right)^{n+1}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\left\{ \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\cdot\left(1+\frac{1}{n}\right)\right\}^{\frac{1}{2}}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{1}{\left(e\cdot 1\right)^{\frac{1}{2}}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{\ \frac{1}{\sqrt{e}}\ }\end{align*}}$
(２)
(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\sin x_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{\frac{n}{n+1}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{\frac{1}{1+\frac{1}{n}}}=1\end{align*}}$
であり、sinxは連続関数なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ x_n=\frac{\pi}{2}\end{align*}}$
となる。
よって、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \theta=\frac{\pi}{2}-x_n\end{align*}}$ とおくと、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \theta=0\end{align*}}$ である。
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cos x_n=\sqrt{1-\left(\sqrt{\frac{n}{n+1}}\right)^2}=\sqrt{\frac{1}{n+1}}\ (>0)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{n}\left(\frac{\pi}{2}-x_n\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{n}\cdot\frac{\frac{\pi}{2}-x_n}{\sin\left(\frac{\pi}{2}-x_n\right)}\cdot \sin\left(\frac{\pi}{2}-x_n\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\lim_{n\rightarrow\infty }\ \frac{\theta}{\sin\theta}\cdot\sqrt{n}\cdot\cos x_n \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\lim_{\theta\rightarrow 0 }\ \frac{\theta}{\sin\theta}\cdot\lim_{n\rightarrow\infty}\ \sqrt{\frac{n}{n+1}} \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =1\cdot\lim_{n\rightarrow\infty}\ \sin x_n \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{\ 1\ } \end{align*}}$
(３)
変曲点におけるy＝fn(x)の接線をLとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y-f_n(x_n)=f_n\ '(x_n)\left(x-x_n\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ L:\ y=\left(n+1\right)\sin^nx_n\cos x_n\left(x-x_n\right)+\sin^{n+1}x_n\end{align*}}$
Lとx軸の交点Pnのx座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0=\left(n+1\right)\sin^nx_n\cos x_n\left(x-x_n\right)+\sin^{n+1}x_n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 0=\left(n+1\right)\cos x_n\left(x-x_n\right)+\sin x_n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=x_n-\frac{\sin x_n}{\left(n+1\right)\cos x_n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =x_n-\sqrt{\frac{n}{n+1}}\cdot\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{\frac{1}{n+1}}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =x_n-\frac{\sqrt{n}}{n+1}\end{align*}}$ ．
Lと直線 $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ の交点は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=\left(n+1\right)\sin^nx_n\cos x_n\left(\frac{\pi}{2}-x_n\right)+\sin^{n+1}x_n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\left\{\left(n+1\right)\cdot\frac{\cos x_n}{\sin x_n}\cdot \left(\frac{\pi}{2}-x_n\right)+1\right\}\ \sin^{n+1}x_n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\left\{\left(n+1\right)\cdot\frac{\sqrt{\frac{1}{n+1}}}{\sqrt{\frac{n}{n+1}}}\cdot \left(\frac{\pi}{2}-x_n\right)+1\right\}\ \sin^{n+1}x_n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\left\{\frac{n+1}{\sqrt{n}}\cdot \left(\frac{\pi}{2}-x_n\right)+1\right\}\ f_n\left(x_n\right)\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{n}\ S_n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{n}}{2}\left\{ \frac{\pi}{2}-\left(x_n-\frac{\sqrt{n}}{n+1}\right)\right\}\cdot\left\{\frac{n+1}{\sqrt{n}}\cdot \left(\frac{\pi}{2}-x_n\right)+1\right\}\ f_n\left(x_n\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{1}{2\sqrt{e}}\lim_{n\rightarrow\infty}\left\{\sqrt{n}\left(\frac{\pi}{2}-x_n\right)+\frac{n}{n+1}\right\}\cdot\left\{\frac{n+1}{n}\cdot \sqrt{n}\left(\frac{\pi}{2}-x_n\right)+1\right\}\end{align*}}$ ←(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{1}{2\sqrt{e}}\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{n}{n+1}\right)\cdot\left(\frac{n+1}{n}\cdot 1+1\right)\end{align*}}$ ←(２)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{1}{2\sqrt{e}}\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{n+\frac{1}{n}}\right)\cdot\left(1+\frac{1}{n}+1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{\ \frac{2}{\sqrt{e}}\ }\end{align*}}$
この年のセットは、ボリューム満点で、お腹一杯です。
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