第1問
1辺の長さが1の正六角形の6つの頂点から、異なる3点を無作為に
選び、それらを頂点とする三角形Tを作る。
(1) 三角形Tが直角三角形である確率を求めよ。
(2) 三角形Tの周の長さの期待値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
正六角形の頂点をA～Fとする。
3つの頂点の選び方の総数は、6C3=20通り。
また、三角形Tの形状としては、
(ア)直角三角形 (イ)二等辺三角形 (ウ)正三角形
の3つの場合が考えられる。
(1)
ADを斜辺とする直角三角形は、
△ADB、△ADC、△ADE、△ADF
の4通りあり、BE、CFを斜辺とする直角三角形も同様に
4通りずつあるので、総数は12通り。
よって、三角形Tが直角三角形になる確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{12}{20}=\underline{\ \frac{3}{5}}\end{align*}}$
(2)
三角形Tの周の長さをLとおく。
(イ)の形になるのは、△ABC、△BCD、△CDE、△DEF、
△EFA、△FABの6通り．
△ABCにおいて、余弦定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AC^2=1^2+1^2-2\cdot 1\cdot 1\cdot \cos 120^{\circ}=3\ \ \Leftrightarrow\ \ AC=\sqrt3\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L=2+\sqrt3\end{align*}}$ ．
(ア)の形になるのは、(1)より12通りあり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L=\sqrt3+1+2=3+\sqrt3\end{align*}}$
(ウ)の形になるのは、△ACE、△BDFの2通りであり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L=3\sqrt3\end{align*}}$
以上より、Lの期待値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(2+\sqrt3\right)\cdot\frac{6}{20}+\left(3+\sqrt3\right)\cdot\frac{12}{20}+3\sqrt3\cdot\frac{2}{20}=\underline{\ \frac{1}{5}\left(12+6\sqrt3\right)}\end{align*}}$
数えるだけです！
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2014/08/19(火) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪市立大 文系 2002
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第2問
一般に、曲線C上の点Pにおける接線に垂直で点Pを通る直線を、
点PにおけるCの法線と呼ぶ。2つの放物線
$\small\sf{\begin{align*} \sf C_1:\ y=x^2\ \ ,\ \ C_2:\ y=-\frac{1}{2}\left(x-9\right)^2\end{align*}}$
について、次の問いに答えよ。
(1) 点A(a，a2)におけるC1の法線L1の方程式、および点B $\small\sf{\begin{align*} \sf \left(b+9,-\frac{1}{2}b^2\right)\end{align*}}$
におけるC2の法線L2の方程式を求めよ。ただし、a≠0、b≠0とする。
(2) 上のL1とL2が一致するとき、a、bの値を求め、線分ABの長さを
計算せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
C1について、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y\ '=2x\end{align*}}$
より、L1の方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-a^2=-\frac{1}{2a}\left(x-a\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ y=-\frac{1}{2a}x+a^2+\frac{1}{2}}\end{align*}}$
C2について、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=-\frac{1}{2}\left(x-9\right)^2=-\frac{1}{2}x^2+9x-\frac{81}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y'=-x+9\end{align*}}$
より、L2の方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-\left(-\frac{1}{2}b^2\right)=-\frac{1}{-(b+9)+9}\left\{x-\left(b+9\right)\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ y=\frac{1}{b}x-\frac{1}{2}b^2-1-\frac{9}{b}}\end{align*}}$
(2)
(1)で求めたL1とL2が一致するとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{2a}=\frac{1}{b}\ \ \Leftrightarrow\ \ b=-2a\end{align*}}$ かつ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a^2+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}b^2-1-\frac{9}{b}\end{align*}}$
であり、これら2式よりbを消去すると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a^2+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}\cdot\left(-2a\right)^2-1-\frac{9}{-2a}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2a^3+a-3=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(a-1\right)\left(2a^2+2a+3\right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(a-1\right)\left\{2\left(a+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{5}{2}\right\}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a=1\end{align*}}$ ．
このとき、b=－2であり、A、Bの座標は
A(1，1)、B(7，－2)
になるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AB=\sqrt{(7-1)^2+(-2-1)^2}=\underline{\ 3\sqrt5\ }\end{align*}}$
これもそのまま計算しましょう！
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2014/08/20(水) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪市立大 文系 2002
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第3問
関数f(x)=x3+2x2－4xに対して、次の問いに答えよ。
(1) 関数y=f(x)上の点(t，f(t))における接線の方程式を求めよ。
(2) 点(0，k)から曲線y=f(x)に引くことのできる接線の本数を、
kの値によって調べよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
f(x)の導関数は
f’(x)=3x2+4x－4
なので、点(t，f(t))における接線の方程式は、
y－(t3+2t2－4t)=(3t2+4t－4)(x－t)
⇔ y=(3t2+4t－4)x－2t3－2t2．
(3)
(1)の接線が点(0，k)を通るとき、
k=－2t3－2t2 ……(#)
となり、(#)の右辺をg(t)とおく。
点(0，k)を通る接線の本数をm(k)とすると、
m(k)= 「方程式(#)の実数解tの個数」
= 「y=g(t)とy=kのグラフの交点の個数」
である。
g(t)の導関数は、
g’(t)=－6t2－4t=-2t(3t+2)
となるので、g(t)の増減および、y=g(t)のグラフは
次のようになる。
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ m(k)=\left\{ \begin{array}{ll}\sf 3 & \left(\sf -\frac{8}{27}\lt k<0\right) \\ \sf 2 & \left(\sf k=0\ ,\ -\frac{8}{27}\right) \\ \sf 1 & \left(\sf k<-\frac{8}{27}\ ,\ 0\lt k\right) \\\end{array} \right.}\end{align*}}$
となる。
これまたよくある問題ですね。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2014/08/21(木) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪市立大 文系 2002
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第4問
複素数平面において四角形P1P2P3P4を考える。ただし、この四角形
の頂点は左まわり(反時計まわり)にP1、P2、P3、P4の順に並んでい
るものとする。また、これらの頂点を表す複素数をそれぞれz1、z2、z3、
z4とする。次の問いに答えよ。
(1) 四角形P1P2P3P4が正方形のとき $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{z_1-z_2}{z_2-z_3}\end{align*}}$ の値を求めよ。
(2) 四角形P1P2P3P4が正方形になるための必要十分条件は、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{z_1-z_2}{z_2-z_3}=\frac{z_2-z_3}{z_3-z_4}=\frac{z_3-z_4}{z_4-z_1}=\frac{z_4-z_1}{z_1-z_2}\end{align*}}$
であることを証明せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
四角形P1P2P3P4は正方形なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \angle P_3P_2P_1=arg\ \frac{z_1-z_2}{z_3-z_2}=\frac{\pi}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ arg\ \frac{z_1-z_2}{z_2-z_3}=-\frac{\pi}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_1P_2=P_3P_2\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{P_1P_2}{P_3P_2}=\frac{\left|z_1-z_2\right|}{\left|z_3-z_2\right|}=\left|\frac{z_1-z_2}{z_2-z_3}\right|=1\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{z_1-z_2}{z_2-z_3}=1\left\{\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right\}=\underline{\ -i\ }\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{z_1-z_2}{z_2-z_3}=\frac{z_2-z_3}{z_3-z_4}=\frac{z_3-z_4}{z_4-z_1}=\frac{z_4-z_1}{z_1-z_2}\end{align*}}$ ……(#)
四角形P1P2P3P4が正方形のとき、
(1)と同様に、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \angle P_4P_3P_2=\angle P_1P_4P_3=\angle P_2P_1P_4=\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ かつ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_2P_3=P_4P_3\ \ ,\ \ P_3P_4=P_1P_4\ \ ,\ \ P_4P_1=P_2P_1\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{z_2-z_3}{z_3-z_4}=\frac{z_3-z_4}{z_4-z_1}=\frac{z_4-z_1}{z_1-z_2}=-i\end{align*}}$
となるので、(#)が成り立つ。
逆に(#)が成り立つとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf arg\ \frac{z_1-z_2}{z_2-z_3}=arg\ \frac{z_2-z_3}{z_3-z_4}=arg\ \frac{z_3-z_4}{z_4-z_1}=arg\ \frac{z_4-z_1}{z_1-z_2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \angle P_3P_2P_1=\angle P_4P_3P_2=\angle P_1P_4P_3=\angle P_2P_1P_4\end{align*}}$
であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \angle P_3P_2P_1+\angle P_4P_3P_2+\angle P_1P_4P_3+\angle P_2P_1P_4=2\pi\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \angle P_3P_2P_1=\angle P_4P_3P_2=\angle P_1P_4P_3=\angle P_2P_1P_4=\frac{\pi}{2}\end{align*}}$
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\frac{z_1-z_2}{z_2-z_3}\right|=\left|\frac{z_2-z_3}{z_3-z_4}\right|=\left|\frac{z_3-z_4}{z_4-z_1}\right|=\left|\frac{z_4-z_1}{z_1-z_2}\right|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{P_1P_2}{P_3P_2}=\frac{P_2P_3}{P_4P_3}=\frac{P_3P_4}{P_1P_4}=\frac{P_4P_1}{P_2P_1}\end{align*}}$
であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{P_1P_2}{P_3P_2}\cdot\frac{P_2P_3}{P_4P_3}\cdot\frac{P_3P_4}{P_1P_4}\cdot\frac{P_4P_1}{P_2P_1}=1\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \frac{P_1P_2}{P_3P_2}=\frac{P_2P_3}{P_4P_3}=\frac{P_3P_4}{P_1P_4}=\frac{P_4P_1}{P_2P_1}=1\ (>0)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ P_1P_2=P_2P_3=P_3P_4=P_4P_1\end{align*}}$ ．
以上より、(#)が成り立つとき、四角形P1P2P3P4は正方形と
なるので、十分性も示せた。
(2)の十分性の証明が書きにくいかもしれません。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2014/08/22(金) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪市立大 文系 2002
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
