第1問
以下の問いに答えよ。
(1) xについての2次方程式x2+ax+b=0の異なる実数解の個数が
2個であるとき、実数a、bのみたす条件を求めよ。
(2) xについての4次方程式x4+ax2+b=0の異なる実数解の個数が
4個であるとき、実数a、bのみたす条件を求めよ。
(3) xについての4次方程式x4+ax2+b=0の異なる実数解の個数が
2個であるとき、実数a、bのみたす条件を求めよ。
(4) a、bが(3)の条件をみたすとき、点(a，b)の存在する領域をab平面
上に図示せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
x2－ax+b=0の判別式D＞0であればよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D=\underline{\ a^2-4b>0}\end{align*}}$
(2)
t=x2とおくと、x4+ax2+b=0 ……(ア) は、
t2+at+b=0 ……(イ) と変形できる。
(イ)が異なる2つの正の実数解p、qをもつとき、(ア)は、
異なる4つの実数解 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \pm\sqrt{p}\ ,\ \pm\sqrt{q}\end{align*}}$ をもつことになる。
まず、(イ)の判別式を考えると、(1)と同様に、a2－4b＞0
となる必要がある。
また、(イ)の2つの実数解p、qがともに正になるためには、
解と係数の関係より
p+q=－a＞0 ⇔ a＜0 かつ
pq=b＞0
であればよい。
以上より、(ア)が異なる4つの実数解を持つための条件は、
b2－4a＞0 かつ a＜0 かつ b＞0
である。
(3)
(イ)が正の実数解を1つだけもつとき（pとする）、(イ)は、
異なる2つの実数解 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \pm\sqrt{p}\end{align*}}$ をもつ。
(ⅰ) (イ)が正の重解t=pをもつとき
判別式を考えると、b2－4a=0
解と係数の関係より、2p=－a＞0 ⇔ a＜0
(ⅱ) (イ)が正の解t=pと負の解t=qをもつとき
解と係数の関係より、pq=b＜0
以上より、(ア)が異なる2つの実数解を持つための条件は、
「b2－4a=0 かつ a＜0」 または b＜0
である。
(4)
(3)の条件を図示すると、下図のようになる。
ただし、a軸上の点は含まない。
(3)で、重解の場合を忘れないように！
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第2問
rを0＜r＜2をみたす実数とする。座標平面上の4点A(2－r，2－r)、
B(－2+r，2－r)、C(－2+r，－2+r)、D(2－r，－2+r)を頂点
とする正方形を考える。この正方形ABCDの周上を動く点をPとし、
Pを中心とする半径rの円をOとする。以下の問いに答えよ。
(1) 点Pが線分AB上をAからBまで動くとき、円Oの周および内部が
通過してできる図形の面積を求めよ。
(2) 点Pが正方形ABCDの周上を一周するとき、円Oの周および内部
が通過してできる図形の面積を求めよ。
(3) (2)で求めたSを最大にするrの値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
0＜r＜2より、A、B、C、Dの位置関係は図1のようになり、
一辺の長さは、
(2－r)－(－2+r)=4－2r
である。
点Pが線分AB上をAからBまで動くとき、円Oの周および内部が
通過してできる図形は図1の水色部分である。
この図形の面積は、図2のように分割すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi\ r^2}{2}\cdot 2+2r\left(4-2r\right)=\underline{\ -\left(4-\pi\right)r^2+8r}\end{align*}}$
と求めることができる。
(2)
(ⅰ) 4－2r≧2r すなわち 0＜r≦1 のとき
円Oの周および内部が通過してできる図形は、図3の緑色部分
であり、図4のように分割して考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{\pi\ r^2}{4}\cdot 4+4\cdot r\left(4-2r\right)+\left(4-2r\right)^2-\left(4-4r\right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\left(20-\pi\right)r^2+32r\end{align*}}$
と求めることができる。
(ⅱ) 4－2r＜2r すなわち 1＜r＜2 のとき
円Oの周および内部が通過してできる図形は、図5の赤色部分
であり、図6のように分割して考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{\pi\ r^2}{4}\cdot 4+4\cdot r\left(4-2r\right)+\left(4-2r\right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\left(4-\pi\right)r^2+16\end{align*}}$
と求めることができる。
(ⅰ)、(ⅱ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\underline{\ \left\{ \begin{array}{ll}\sf -\left(20-\pi\right)r^2+32r & (\sf 0\lt r\leqq 1) \\ \sf -\left(4-\pi\right)r^2+16 & (\sf 1\lt r<2) \\\end{array} \right.}\end{align*}}$
(3)
(ⅰ) 0＜r≦1のとき
(2)で求めたSは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=-\left(20-\pi\right)\left(x-\frac{16}{20-\pi}\right)^2+\frac{256}{20-\pi}\end{align*}}$
と変形でき、$\scriptsize\sf{\pi}$ ＜4より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<\frac{16}{20-\pi}<\frac{16}{20-4}=1\end{align*}}$
なので、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r=\frac{16}{20-\pi}\end{align*}}$ で、Sは最大となる。
(ⅱ) 1＜r＜2のとき
(2)より、この範囲でSは単調に減少するので、
最大値なし。
以上より、Sが最大になるときのrの値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ r=\frac{16}{20-\pi}}\end{align*}}$
である。
(2)で場合分けが必要なことに気づきましょう。
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- 2014/07/19(土) 23:57:00|
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第3問
関数f(x)=4sinx+2cos2x+1 （0≦x≦2$\small\sf{\pi}$ ）について、
次の問いに答えよ。
(1) f(x)の極値を求めよ。
(2) 定積分 $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{2\pi}f\ (x)\ dx\end{align*}}$ を求めよ。
(3) 定積分 $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{2\pi}|f\ (x)|\ dx\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
f(x)の導関数は、
f’(x)=4cosx－4sin2x
=4cosx－8sinxcosx
=4cosx(1－2sinx)
なので、f(x)の増減は次のようになる。
よって、f(x)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{\pi}{6}\ ,\ \frac{5}{6}\pi\end{align*}}$ で極大値4
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ で極小値3
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{3}{2}\pi\end{align*}}$ で極小値－5
をとる。
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{2\pi}f\ (x)dx=\int_0^{2\pi}\left(4\sin x+2\cos 2x+1\right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\bigg[-4\cos x+\sin 2x+x\bigg]_0^{2\pi}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 2\pi\ }\end{align*}}$
(3)
倍角公式より
f(x)=4sinx+2(1－2sin2x)+1
=－4sin2x+4sinx+3
=－(2sinx+1)(2sinx－3)
と変形できるので、0≦x≦2$\scriptsize\sf{\pi}$ の範囲でf(x)＜0となるのは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin x<-\frac{1}{2}\end{align*}}$ すなわち $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{7}{6}\pi\lt x<\frac{11}{6}\pi\end{align*}}$
のときである。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{2\pi}|f\ (x)|dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{2\pi}\left|4\sin x+2\cos 2x+1\right|dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{\frac{7}{6}\pi}\left(4\sin x+2\cos 2x+1\right)dx-\int_{\frac{7}{6}\pi}^{\frac{11}{6}\pi}\left(4\sin x+2\cos 2x+1\right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf +\int_{\frac{11}{6}\pi}^{2\pi}\left(4\sin x+2\cos 2x+1\right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\bigg[-4\cos x+\sin 2x+x\bigg]_0^{\frac{7}{6}\pi}-\bigg[-4\cos x+\sin 2x+x\bigg]_{\frac{7}{6}\pi}^{\frac{11}{6}\pi}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf +\bigg[-4\cos x+\sin 2x+x\bigg]_{\frac{11}{6}\pi}^{2\pi}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 10\sqrt3+\frac{2}{3}\pi}\end{align*}}$
(3)の計算が面倒ですが、頑張ってください。
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- 2014/07/20(日) 23:57:00|
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第4問
1辺の長さが1の正四面体OABCにおいて、辺OAをx：(1－x)に
内部する点をP、辺OBの中点をMとする。以下の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf CM}\end{align*}}$ を $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ と $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ を用いて表せ。
(2) 直線CM上に、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf CQ}=y\overrightarrow{\sf CM}\end{align*}}$ となる点Qをとる。$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PQ}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf CM}\end{align*}}$ が垂直で
あるとき、yをxを用いて表せ。
(3) がx＜0＜x＜1の範囲を動くとき、三角形CMPの面積の最小値
を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
四面体OABCは一辺の長さが1の正四面体なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OA}|=|\overrightarrow{\sf OB}|=|\overrightarrow{\sf OC}|=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}=\overrightarrow{\sf OB}\cdot\overrightarrow{\sf OC}=\overrightarrow{\sf OC}\cdot\overrightarrow{\sf OA}=1\cdot 1\cdot \cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\end{align*}}$ ……(#)
(1)
Mは辺OBの中点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf CM}=\overrightarrow{\sf OM}-\overrightarrow{\sf OC}=\underline{\ \frac{1}{2}\overrightarrow{\sf OB}-\overrightarrow{\sf OC}}\end{align*}}$
(2)
題意と(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf CQ}=y\overrightarrow{\sf CM}=\frac{y}{2}\overrightarrow{\sf OB}-y\overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PQ}=\overrightarrow{\sf PC}+\overrightarrow{\sf CQ}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\overrightarrow{\sf OC}-\overrightarrow{\sf OP}+\overrightarrow{\sf CQ}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\overrightarrow{\sf OC}-x\overrightarrow{\sf OA}+\frac{y}{2}\overrightarrow{\sf OB}-y\overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-x\overrightarrow{\sf OA}+\frac{y}{2}\overrightarrow{\sf OB}+\left(1-y\right)\overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$
となり、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PQ}\end{align*}}$ と$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf CM}\end{align*}}$ が垂直なので、内積を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PQ}\cdot\overrightarrow{\sf CM}=\left\{-x\overrightarrow{\sf OA}+\frac{y}{2}\overrightarrow{\sf OB}+\left(1-y\right)\overrightarrow{\sf OC}\right\}\cdot\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf OB}-\overrightarrow{\sf OC}\right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -2x\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}+y|\overrightarrow{\sf OB}|^2+2\left(1-y\right)\overrightarrow{\sf OB}\cdot\overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf +4x\overrightarrow{\sf OC}\cdot\overrightarrow{\sf OA}-2y\overrightarrow{\sf OB}\cdot\overrightarrow{\sf OC}-4\left(1-y\right)|\overrightarrow{\sf OC}|^2=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -x+y+\left(1-y\right)+2x-y-4\left(1-y\right)=0\end{align*}}$ ←(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ y=1-\frac{x}{3}}\end{align*}}$
(3)
△CMPにおいて、(2)の条件を満たすようなPQは、
CMを底辺としたときの高さになる。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf PQ}|^2=\left|-x\overrightarrow{\sf OA}+\frac{y}{2}\overrightarrow{\sf OB}+\left(1-y\right)\overrightarrow{\sf OC}\right|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =x^2|\overrightarrow{\sf OA}|^2+\frac{y^2}{4}|\overrightarrow{\sf OB}|^2+\left(1-y\right)^2|\overrightarrow{\sf OC}|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -xy\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}+y\left(1-y\right)\overrightarrow{\sf OB}\cdot\overrightarrow{\sf OC}-2x\left(1-y\right)\overrightarrow{\sf OC}\cdot\overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =x^2+\frac{y^2}{4}+\left(1-y\right)^2-\frac{1}{2}xy+\frac{1}{2}y\left(1-y\right)-x\left(1-y\right)\end{align*}}$ ←(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =x^2+\frac{1}{2}xy+\frac{3}{4}y^2-x-\frac{3}{2}y+1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =x^2+\frac{1}{2}x\left(1-\frac{x}{3}\right)+\frac{3}{4}\left(1-\frac{x}{3}\right)^2-x-\frac{3}{2}\left(1-\frac{x}{3}\right)+1\end{align*}}$ ←(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{11}{12}x^2-\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\end{align*}}$
よって、△CMPの面積は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle CMP=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\sf CM}||\overrightarrow{\sf PQ}|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}\cdot\sqrt{\frac{11}{12}x^2-\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{8}\sqrt{11x^2-6x+3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{8}\sqrt{11\left(x-\frac{3}{11}\right)^2+\frac{24}{11}}\end{align*}}$
0＜x＜1より、△CMPの面積の最小値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle CMP_{min}=\frac{1}{8}\cdot\sqrt{\frac{24}{11}}=\underline{\ \frac{\sqrt{66}}{44}\ }\end{align*}}$
である。
やることは簡単なんですが、計算がイヤですね。。。。
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- 2014/07/21(月) 23:57:00|
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第5問
三角形ABCをAB=ACかつAB＞BCである二等辺三角形とする。
辺AB上の点Dを、三角形ABCと三角形CDBが相似となるように
とる。三角形ABCの外心をO、三角形ADCの外心をPとする。
以下の問いに答えよ。
(1) 点Pは三角形ADCの外部にあることを示せ。
(2) 四角形AOCPにおいて、∠AOC=∠APCであることを示せ。
(3) 三角形CDBの外心は、三角形ADCの外接円の周上にあることを
示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
図1のように、△ADCの外接円の、ACに関してDと反対側に
点Eをとる。
∠B=∠ACB=$\scriptsize\sf{\theta}$ （0＜$\scriptsize\sf{\theta}$ ＜90°）とおくと、∠A=180－2$\scriptsize\sf{\theta}$
であり、△ABC∽△CDBより、∠CDB=$\scriptsize\sf{\theta}$ なので、
∠ADC=180－$\scriptsize\sf{\theta}$ （＞90°）
円周角（∠ADC）が90°より大きいので、対応する弧AECは、
半円より大きい。
よって、中心Pは△ADCの外部にある。
(2)
図1において、四角形ADCEは円に内接するので、
∠E=∠CDB=$\scriptsize\sf{\theta}$ ．
円周角の定理より
∠APC=2∠E=2$\scriptsize\sf{\theta}$
一方、図2において、円周角の定理より
∠AOC=2∠B=2$\scriptsize\sf{\theta}$ ．
以上より、∠AOC=∠APCが成り立つ。
(3)
△CDBの外心をQとおくと、△ABC∽△CDBより、
△AOC∽△CQBとなるので、
∠CQB=∠AOC=∠2$\scriptsize\sf{\theta}$ ←(2)より
よって、
∠CQB+∠CAD=2$\scriptsize\sf{\theta}$ +(180－2$\scriptsize\sf{\theta}$ )
=180°
となるので、4点A、D、Q、Cは同一円周上にある。
よって、△CDBの外心Qは、△ADCの外接円の周上
にある。
高校生は平面図形が苦手ですよねぇ・・・
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- 2014/07/22(火) 23:57:00|
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第6問
6枚のカードに、1から6までの番号がつけられている。どのカードも
一方の面が白色、もう一方の面が赤色である。はじめに、すべての
カードの白色の面を上にして番号順に並べる。次の操作を繰り返し
行う。
1個のさいころを投げる。出た目の数がxであるとき、
xの約数である番号のカードをすべて裏返す。
このとき、以下の問いに答えよ。
(1) 1回目の操作の後で、番号2のカードの赤色の面が上になっている
確率を求めよ。
(2) 3回目の操作の後で、赤色の面が上になっているカードが2枚である
確率を求めよ。
(3) n回目の操作の後で、すべてのカードの赤色の面が上になっている
とする。このようなnの最小値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
以下、「赤色の面が上になる」ことを単に「赤になる」と
書くことにする。
番号1のカードが裏返るのは、x=1、2、3、4、5、6
番号2のカードが裏返るのは、x=2、4、6
番号3のカードが裏返るのは、x=3、6
番号4のカードが裏返るのは、x=4
番号5のカードが裏返るのは、x=5
番号6のカードが裏返るのは、x=6
(1)
1回目の操作で、番号2のカードが裏返ればよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{6}=\underline{\ \frac{1}{2}}\end{align*}}$
(2)
1のカードは毎回裏返るので、3回の操作の後に赤になる。
どの2枚が赤になっているかで以下のように場合分けする。
(ⅰ) 1と2のカードが赤になる場合
3回のxの値の組み合わせは、
(2，1，1)、(2，3，3)、(2，4，4)、(2，5，5)、
(2，6，6) および (2，2，2)．
順序も考慮に入れると、(2，2，2)以外は3通りずつある
ので、
5×3+1=16通り
(ⅱ) 1と3のカードが赤になる場合
(ⅰ)と同様16通り
(ⅲ) 1と4のカードが赤になる場合
3回のxの値の組み合わせは、(1，2，4)のみであり、
順序も考慮に入れると、3！=6通り
(ⅳ) 1と5のカードが赤になる場合
(ⅰ)と同様16通り
(ⅴ) 1と6のカードのみが赤になる場合
3回のxの値の組み合わせは、(6，2，3)のみであり、
順序も考慮に入れると、3！=6通り
さいころを3回投げたときの目の出方の総数は、63通りなので、
求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{16+16+6+16+6}{6^3}=\underline{\ \frac{5}{18}}\end{align*}}$
(3)
すべてのカードが赤色になるためには、どのカードも奇数回ずつ
裏返ればよい。
4、5、6のカードが裏返るのは、それぞれさいころの4、5、6の
ときに限るので、4、5、6の目は少なくとも1回ずつ出る必要が
あり、回数を最小にするためには、それぞれ1回ずつ出ればよい。
最初の3回の操作において、さいころの目が4、5、6の順に出た
とすると、この段階では、1、3、4、5、6のカードが赤色になって
いる。
次に、2の目が出ると、2、3、4、5、6のカードが赤色になり、
最後に1の目が出ると、すべてのカードが赤色になる。
よって、すべてのカードが赤色になるまでの操作の回数nの
最小値は、5である。
パズルみたいな面白い問題ですね。
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- 2014/07/23(水) 23:57:00|
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