第１問
xy平面上において、曲線
$\small\sf{\begin{align*}\sf y=\log\left(2x+1\right)\ \ \ \left(x\gt -\frac{1}{2}\right)\end{align*}}$
をCとおく。定数p＞0をとる。
(１) 曲線C上の点(t，log(2t＋1))における接線をLtとする。接線Ltと
x軸および2直線x＝0、x＝pで囲まれた図形の面積をA(t)とおき、
t＞0におけるA(t)の最小値をAとおく。Aをpを用いた式で表せ。
(２) 曲線Cとx軸および直線x＝pで囲まれた図形の面積をBとする。
極限値 $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{p\rightarrow\infty}\frac{A-B}{p}\end{align*}}$ を求めよ。ただし、必要ならば、
$\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\log x}{x}=0\end{align*}}$
であることは証明なしに用いてよい。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
Cの導関数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y '=\frac{2}{2x+1}\end{align*}}$
なので、Ltの方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y-\log\left(2t+1\right)=\frac{2}{2t+1}\left(x-t\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ y=\frac{2}{2t+1}x-\frac{2t}{2t+1}+\log\left(2t+1\right)\end{align*}}$
となる。
C、Ltおよびx軸の位置関係は右図のようになるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf A\ (t)=\int_0^p\left\{\frac{2}{2t+1}x-\frac{2t}{2t+1}+\log\left(2t+1\right)\right\}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\left[\frac{1}{2t+1}x^2-\left\{\frac{2t}{2t+1}-\log\left(2t+1\right)\right\}x\right]_0^p\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{p^2-2pt}{2t+1}+p\log\left(2t+1\right)\end{align*}}$ ．
これをtで微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf A\ '(t)=\frac{-2p\left(2t+1\right)-\left(p^2-2pt\right)\cdot 2}{\left(2t+1\right)^2}+\frac{2p}{2t+1}=\frac{2p\left(2t-p\right)}{\left(2t+1\right)^2}\end{align*}}$
となるので、A(t)の増減は次のようになる。
よって、A(t)の最小値Aは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf A=A\left(\frac{p}{2}\right)=\underline{\ p\log\left(p+1\right)}\end{align*}}$ ．
(２)
Cとx軸との位置関係は、上図のようになるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf B=\int_0^p\log\left(2x+1\right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{1}{2}\int_0^p\left(2x+1\right)'\log\left(2x+1\right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{1}{2}\left[\left(2x+1\right)\log\left(2x+1\right)\right]_0^p-\frac{1}{2}\int_0^p\left(2x+1\right)\cdot\frac{2}{2x+1}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{2p+1}{2}\log\left(2p+1\right)-p\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{p\rightarrow\infty}\frac{A-B}{p}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\lim_{p\rightarrow\infty}\frac{p\log\left(p+1\right)-\left\{\frac{2p+1}{2}\log\left(2p+1\right)-p\right\}}{p}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\lim_{p\rightarrow\infty}\left\{\log\left(p+1\right)-\log\left(2p+1\right)-\frac{\log\left(2p+1\right)}{2p}+1\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\lim_{p\rightarrow\infty}\left\{\log\frac{p+1}{2p+1}-\frac{\log\left(2p+1\right)}{2p+1}\cdot\frac{2p+1}{2p}+1\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\lim_{p\rightarrow\infty}\left\{\log\frac{1+\frac{1}{p}}{2+\frac{1}{p}}-0\cdot\frac{2+\frac{1}{p}}{2}+1\right\}\end{align*}}$ ← $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\log x}{x}=0\end{align*}}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{\ \log\frac{1}{2}+1}\end{align*}}$
そのまま計算しましょう。
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第２問
四角形ABCDは半径1の円Oに内接し、AB＝AD、CB＝CDを
みたしている。
(１) 線分ACは円Oの直径であることを示せ。
辺CB、CDの中点をそれぞれM、Nとする。四角形ABCDを線分AM、
AN、MNに沿って折り曲げて点B、C、Dを重ね、四面体AMNCをつくる。
x＝CM （0＜x＜1）とおく。
(２) 四面体AMNCの体積Vをxを用いて表せ。
(３) 四面体AMNCに内接する球の表面積Sをxを用いて表し、0＜x＜1に
おけるSの最大値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
△ABC≡△ADCより、∠B＝∠Dであり、
四角形ABCDは円Oに内接するので、∠B＋∠D＝180°である。
よって、∠B＝∠D＝90°となるので、線分ACは円Oの直径となる。
(２)
直角三角形ACDにおいて、三平方の定理より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf AD=\sqrt{2^2-(2x)^2}=2\sqrt{1-x^2}\end{align*}}$ ．
図の対称性よりMN⊥ACであり、MNとACの
交点をHとすると、△ACD∽△NCHより
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2:2x=x:CH\ \ \Leftrightarrow\ \ CH=x^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2:2\sqrt{1-x^2}=x:HN\ \ \Leftrightarrow\ \ HN=x\sqrt{1-x^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ MN=2x\sqrt{1-x^2}\end{align*}}$ ．
また、四面体AMNCにおいて、AC⊥CMかつ
AC⊥CNよりAC⊥平面MNCなので、ACは
△MNCを底面としたときの高さとなる。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V=\frac{1}{3}\cdot\left(\frac{1}{2}\cdot x^2\cdot x\sqrt{1-x^2}\right)\cdot 2\sqrt{1-x^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{\ \frac{2}{3}x^3\left(1-x^2\right)}\end{align*}}$
(２)
四面体AMNCの内接球の中心をIとおくと、
四面体AMNCの体積は、4つの四面体IAMC、IANC、IAMN、
ICMNの和に等しいので、内接球の半径をrとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V=\frac{r}{3}\left(\triangle AMC+\triangle ANC+\triangle AMN+\triangle CMN\right)\end{align*}}$ ……(*)
(*)の( )内は、四面体AMNCの表面積に等しく、これは、
折り曲げる前の四角形ABCDの面積と一致するので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V=\frac{r}{3}\cdot 2\triangle ACD\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{2}{3}x^3\left(1-x^2\right)=\frac{r}{3}\cdot 2x\cdot 2\sqrt{1-x^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ r=\frac{1}{2}x^2\sqrt{1-x^2}\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S=4\pi\ r^2=4\pi\left(\frac{1}{2}x^2\sqrt{1-x^2}\right)^2=\underline{\ \pi x^4\left(1-x^2\right)}\end{align*}}$ ．
これをxで微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S\ '=\pi \left(4x^3-6x^5\right)=2\pi x^3\left(2-3x^2\right)\end{align*}}$
となるので、Sの増減は次のようになる。
よって、Sの最大値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_{max}=\pi\cdot\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right)^4\cdot \left\{1-\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right)^2\right\}=\underline{\ \frac{4\pi}{27}}\end{align*}}$
(２) 相似に気づきましょう。
(３) 底面と高さの取り方に気づきましょう。
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第３問
nを4以上の整数とし、1，2，…，nを並び替えて得られる順列
a1，a2，…，anを考える。次の性質
(V) a1＞a2＞…＞ak＜ak+1＜…＜an
となるk（1＜k＜n）が存在する。
をもつ順列の総数をV(n)と表す。例えば、n＝4のとき、順列
2，1，3，4や3，2，1，4等は性質(V)をもつ。
同様に、性質
(N) a1＝1かつ
a1＜a2＜…＜ai＞…＞aj＜…＜an
となるi、j（1＜i＜j＜n）が存在する。
をもつ順列の総数をN(n)と表す。例えば、n＝7のとき、順列
1，3，5，4，2，6，7や1，7，6，4，3，2，5や1，2，5，3，4，6，7
などは性質(N)をもつ。さらに性質(N)をもつ順列のうち、an＝nを満た
すものの総数をN’(n)と表し、an≠nをみたすものの総数をN”(n)と
表す。
(１) V(n)をnを用いて表せ。
(２) $\small\sf{\begin{align*}\sf N '(n+1)=N\ (n)+\frac{V\ (n)}{2}\end{align*}}$ であることを示せ。
(３) $\small\sf{\begin{align*}\sf N ''(n)=\frac{3^{n-2}+1}{2}-2^{n-2}\end{align*}}$ であることを示せ。
(４) N(n)をnを用いて表せ。
$\small\sf{\begin{align*}\sf \end{align*}}$
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
n個の数からなる順列a1，a2，…，anをAnと表すことにする。
(１)
Anが性質(V) a1＞a2＞…＞ak＜ak+1＜…＜an
を満たすとき、明らかにak＝1である。
a1、a2、…、ak-1の数の選び方はn-1Ck-1通りあり、これらを
a1＞a2＞…＞ak-1となるように並べ、
さらに残りの数を、ak+1＜…＜anとなるように並べれば、性質(V)を
満たすことになる。
k＝2，3，…，n－1なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V(n)=\sum_{k=2}^{n-1}\ _{n-1}C_{k-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\sum_{L=1}^{n-2}\ _{n-1}C_L\end{align*}}$ ←L＝k－1とおく
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\left(\sum_{L=0}^{n-1}\ _{n-1}C_L\right)-\left(_{n-1}C_0+_{n-1}C_{n-1}\right)\end{align*}}$
ここで二項定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(1+1\right)^{n-1}=\sum_{L=0}^{n-1}\ _{n-1}C_L\cdot 1^L\cdot 1^{n-1-L}\ \ \Leftrightarrow\ \ 2^{n-1}=\sum_{L=0}^{n-1}\ _{n-1}C_L\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V\ (n)=\underline{\ 2^{n-1}-2}\end{align*}}$
(２)
(１)と同様に考えると、Anのうち、性質
(∧) a1＜a2＜…＜ak＞ak+1＞…＞an
となるk（1＜k＜n）が存在する。
をもつものの総数はV(n)に等しい。
この内で、ａ1＝1のものとan＝1のものは同数ある。
性質(N)を満たし、an+1＝n＋1となるような、An+1には、
次の2つの場合がある。
(ア) a1～anが性質(N)を満たすもの
総数はN(n)個
(イ) a1～anが性質(∧)を満たし、a1＝1であるもの
総数は $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{V (n)}{2}\end{align*}}$ 個
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf N '(n+1)=N (n)+\frac{V (n)}{2}\end{align*}}$
が成り立つ。
(３)
性質(N)を満たし、an≠nとなるような、Anには、
ai＝nとなるi （1＜i＜n-1）が存在する。
a2～ai-1の数の選び方は、n-2Ci-2通りあり、
これらをa2＜…＜ai-1となるように並べればよい。
また、n－i個の数ai+1～anは性質(V)を満たすか、
ai+1＜…＜anとなればよいので、
その総数はV(n-i)＋1個ある。
i＝2，3，…，n－2なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf N\ ''(n)=\sum_{i=2}^{n-2}\ _{n-2}C_{i-2}\cdot \left\{V\left(n-i\right)+1\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\sum_{i=2}^{n-2}\ _{n-2}C_{i-2}\cdot \left(2^{n-i-1}-1\right)\end{align*}}$ ←(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\sum_{L=0}^{n-4}\ _{n-2}C_{L}\cdot \left(2^{n-L-3}-1\right)\end{align*}}$ ←L＝i－2とおく
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\left\{\sum_{L=0}^{n-2}\ _{n-2}C_{L}\cdot \left(2^{n-L-3}-1\right)\right\}-_{n-2}C_{n-3}\cdot \left(2^{0}-1\right)-_{n-2}C_{n-2}\cdot \left(2^{-1}-1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{1}{2}{\sum_{L=0}^{n-2}}\ _{n-2}C_{L}\cdot 2^{n-2-L}-{\sum_{L=0}^{n-2}}\ _{n-2}C_{L}+\frac{1}{2}\end{align*}}$
ここで、二項定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(1+x\right)^{n-2}=\sum_{L=0}^{n-2}\ _{n-2}C_{L}\cdot x^{n-2-L}\end{align*}}$
であり、これにx＝2およびx＝1を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sum_{L=0}^{n-2}\ _{n-2}C_{L}\cdot 2^{n-2-L}=3^{n-2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sum_{L=0}^{n-2}\ _{n-2}C_{L}=2^{n-2}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf N ''(n)=\frac{1}{2}\cdot 3^{n-2}-3^{n-2}+\frac{1}{2}=\frac{3^{n-2}+1}{2}-2^{n-2}\end{align*}}$ ．
よって、題意は示された。
(４)
n＝4のとき、性質(N)を満たす順列は、1，3，2，4と1，4，2，3の
2通りあるので、N(4)＝2
題意より
N(n+1)＝N’(n+1)＋N”(n+1)
なので、(２)、(３)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf N (n+1)=\left\{N (n)+\frac{V (n)}{2}\right\}+\left(\frac{3^{n-1}+1}{2}-2^{n-1}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ N (n+1)-N (n)=\frac{2^{n-1}-2}{2}+\frac{3^{n-1}+1}{2}-2^{n-1}\end{align*}}$ ←(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{1}{2}\left(3^{n-1}-2^{n-1}-1\right)\end{align*}}$ ．
これは、数列{N(n)}の階差数列を表しているので、
n≧5のとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf N (n)=N\ (4)+\sum_{k=4}^{n-1}\frac{1}{2}\left(3^{k-1}-2^{k-1}-1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =2+\frac{1}{2}\sum_{L=1}^{n-4}\left(3^{L+2}-2^{L+2}-1\right)\end{align*}}$ ←L＝k－3とおく
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =2+\frac{1}{2}\left\{\frac{3^3\left(3^{n-4}-1\right)}{3-1}-\frac{2^3\left(2^{n-4}-1\right)}{2-1}-(n-4)\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{1}{4}\left(3^{n-1}-2^n-2n+5\right)\end{align*}}$ ．
これは、n＝4でも成り立つので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\ N (n)=\frac{1}{4}\left(3^{n-1}-2^n-2n+5\right)}\end{align*}}$
誘導がついていますが、(２)以降は分かりにくいでしょうね・・・
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第４問
xy平面上の点(0，－1)を中心とする半径2の円をCとおく。
第1象限に中心をもち、Cに内接し、x軸に接する二つの円
A、Bを考える。円A、Bは互いに外接しているものとする。
円Aの中心のx座標をp、半径をr、円Bの中心のx座標をq、
半径をsとし、p＜qを満たしているとする。
(１) 極限値 $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{p\rightarrow\sqrt3-0}\ \frac{\sqrt3-p}{r}\end{align*}}$ を求めよ。
(２) 極限値 $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{p\rightarrow\sqrt3-0}\ \frac{s}{r}\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
円Aはx軸に接し、中心が第1象限にあるので、
中心の座標は(p，r)である。
また、AはCに内接するので、
中心間の距離が、半径の差に等しい。
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p^2+(r+1)^2=\left(2-r\right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p^2+r^2+2r+1=4-4r+r^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ r=\frac{3-p^2}{6}\end{align*}}$ ……(ⅰ)
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{p\rightarrow\sqrt3-0}\frac{\sqrt3-p}{r}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\lim_{p\rightarrow\sqrt3-0}\frac{6\left(\sqrt3-p\right)}{3-p^2}\end{align*}}$ ←(ⅰ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\lim_{p\rightarrow\sqrt3-0}\frac{6}{\sqrt3+p}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{6}{\sqrt3+\sqrt3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{\ \sqrt3}\end{align*}}$
(２)
BはCに内接するので、(１)と同様にすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf s=\frac{3-q^2}{6}\end{align*}}$ ……(ⅱ)
また、AとBは外接するので、中心間の距離が半径の和に等しい。
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(q-p\right)^2+\left(s-r\right)^2=\left(r+s\right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p^2-2pq+q^2=4rs\end{align*}}$ ……(ⅲ)
(ⅰ)、(ⅱ)を(ⅲ)に代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p^2-2pq+q^2=\frac{\left(3-p^2\right)\left(3-q^2\right)}{9}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(p^2-12\right)q^2+18pq+9-12p^2=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ q=\frac{-9p\pm\sqrt{(-9p)^2+\left(p^2-12\right)\left(12p^2-9\right)}}{p^2-12}\ \ \ \ \ \left(\because p\ne \pm2\sqrt3\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ q=\frac{-9p\pm\sqrt{12\left(p^2-3\right)^2}}{p^2-12}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ q=\frac{-9p\pm 2\sqrt3\left(p^2-3\right)}{p^2-12}\end{align*}}$ ……(#)
(ア) (#)の複号が－のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ q=\frac{-9p- 2\sqrt3\left(p^2-3\right)}{p^2-12}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{-\sqrt3\left(2p^2+3\sqrt3p-6\right)}{p^2-12}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{-\sqrt3\left(2p-\sqrt3\right)\left(p+2\sqrt3\right)}{\left(p-2\sqrt3\right)\left(p+2\sqrt3\right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =-\frac{2\sqrt3 p-3}{p-2\sqrt3}\end{align*}}$
であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf q-p=-\frac{2\sqrt3 p-3}{p-2\sqrt3}-p\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =-\frac{2\sqrt3 p-3+p\left(p-2\sqrt3\right)}{p-2\sqrt3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{3-p^2}{p-2\sqrt3}\lt 0\ \ \ \ \left(\because 0\lt p\lt\sqrt3\right)\end{align*}}$
(イ) (#)の複号が＋のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ q=\frac{-9p+ 2\sqrt3\left(p^2-3\right)}{p^2-12}=\frac{2\sqrt3 p+3}{p+2\sqrt3}\end{align*}}$
であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf q-p=\frac{2\sqrt3 p+3}{p+2\sqrt3}-p=\frac{3-p^2}{p+2\sqrt3}>0\end{align*}}$
題意よりp＜qなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf q=\frac{2\sqrt3 p+3}{p+2\sqrt3}\end{align*}}$ ……(#)’
となる。
一方、0＜p＜q＜$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sqrt3\end{align*}}$ なので、はさみうちの原理より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{p\rightarrow\sqrt3-0}\ q=\sqrt3\end{align*}}$
であり、(１)と同様に考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{p\rightarrow\sqrt3-0}\frac{\sqrt3-q}{s}=\lim_{q\rightarrow\sqrt3-0}\frac{\sqrt3-q}{s}=\sqrt3\end{align*}}$ ．
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{p\rightarrow\sqrt3-0}\frac{s}{r}=\lim_{p\rightarrow\sqrt3-0}\frac{\sqrt3-p}{r}\cdot\frac{s}{\sqrt3-q}\cdot\frac{\sqrt3-q}{\sqrt3-p}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\sqrt3\cdot\ \frac{1}{\sqrt3}\cdot\lim_{p\rightarrow\sqrt3-0}\frac{\sqrt3-\frac{2\sqrt3 p+3}{p+2\sqrt3}}{\sqrt3-p}\end{align*}}$ ←(#)’より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\lim_{p\rightarrow\sqrt3-0}\frac{\sqrt3\left(p+2\sqrt3\right)-\left(2\sqrt3 p+3\right)}{\left(p+2\sqrt3\right)\left(\sqrt3-p\right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\lim_{p\rightarrow\sqrt3-0}\frac{\sqrt3\left(\sqrt3-p\right)}{\left(p+2\sqrt3\right)\left(\sqrt3-p\right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\lim_{p\rightarrow\sqrt3-0}\frac{\sqrt3}{p+2\sqrt3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{\sqrt3}{\sqrt3+2\sqrt3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{\ \frac{1}{3}\ }\end{align*}}$ ．
(２)の計算は何とも えげつないですねぇ……＾＾；；
部分点ねらいで、（#）ぐらいまで頑張ればいいと思います。
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