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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2008京都府立医科大 数学1



第1問

  xy平面上において、曲線
        $\small\sf{\begin{align*}\sf y=\log\left(2x+1\right)\ \ \ \left(x\gt -\frac{1}{2}\right)\end{align*}}$
  をCとおく。定数p>0をとる。

 (1) 曲線C上の点(t,log(2t+1))における接線をLtとする。接線Lt
    x軸および2直線x=0、x=pで囲まれた図形の面積をA(t)とおき、
    t>0におけるA(t)の最小値をAとおく。Aをpを用いた式で表せ。

 (2) 曲線Cとx軸および直線x=pで囲まれた図形の面積をBとする。
    極限値 $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{p\rightarrow\infty}\frac{A-B}{p}\end{align*}}$ を求めよ。ただし、必要ならば、
        $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\log x}{x}=0\end{align*}}$
    であることは証明なしに用いてよい。



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  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .京都府立医大 2008
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2008京都府立医科大 数学2



第2問

  四角形ABCDは半径1の円Oに内接し、AB=AD、CB=CDを
  みたしている。

 (1) 線分ACは円Oの直径であることを示せ。

  辺CB、CDの中点をそれぞれM、Nとする。四角形ABCDを線分AM、
  AN、MNに沿って折り曲げて点B、C、Dを重ね、四面体AMNCをつくる。
  x=CM (0<x<1)とおく。

 (2) 四面体AMNCの体積Vをxを用いて表せ。

 (3) 四面体AMNCに内接する球の表面積Sをxを用いて表し、0<x<1に
    おけるSの最大値を求めよ。



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2008京都府立医科大 数学3



第3問

  nを4以上の整数とし、1,2,…,nを並び替えて得られる順列
  a1,a2,…,anを考える。次の性質
    (V) a1>a2>…>ak<ak+1<…<an
       となるk(1<k<n)が存在する。
  をもつ順列の総数をV(n)と表す。例えば、n=4のとき、順列
  2,1,3,4や3,2,1,4等は性質(V)をもつ。
  同様に、性質
    (N) a1=1かつ
       a1<a2<…<ai>…>aj<…<an
       となるi、j(1<i<j<n)が存在する。
  をもつ順列の総数をN(n)と表す。例えば、n=7のとき、順列
  1,3,5,4,2,6,7や1,7,6,4,3,2,5や1,2,5,3,4,6,7
  などは性質(N)をもつ。さらに性質(N)をもつ順列のうち、an=nを満た
  すものの総数をN’(n)と表し、an≠nをみたすものの総数をN”(n)と
  表す。

 (1) V(n)をnを用いて表せ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*}\sf N '(n+1)=N\ (n)+\frac{V\ (n)}{2}\end{align*}}$ であることを示せ。

 (3) $\small\sf{\begin{align*}\sf N ''(n)=\frac{3^{n-2}+1}{2}-2^{n-2}\end{align*}}$ であることを示せ。

 (4) N(n)をnを用いて表せ。
        $\small\sf{\begin{align*}\sf \end{align*}}$


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2008京都府立医科大 数学4



第4問

  xy平面上の点(0,-1)を中心とする半径2の円をCとおく。
  第1象限に中心をもち、Cに内接し、x軸に接する二つの円
  A、Bを考える。円A、Bは互いに外接しているものとする。
  円Aの中心のx座標をp、半径をr、円Bの中心のx座標をq、
  半径をsとし、p<qを満たしているとする。

 (1) 極限値 $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{p\rightarrow\sqrt3-0}\ \frac{\sqrt3-p}{r}\end{align*}}$ を求めよ。

 (2) 極限値 $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{p\rightarrow\sqrt3-0}\ \frac{s}{r}\end{align*}}$ を求めよ。



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