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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2014京都工芸繊維大 後期 数学1



第1問

  空間内の3点A(a1、a2、a3)、B(b1、b2、b3)、C(c1、c2、c3)が
  次の条件を満たすとする。
     △ABCは1辺の長さが$\small\sf{\begin{align*} \sf 3\sqrt2\end{align*}}$の正三角形で、その重心は原点O
     である。
  このとき、次の問いに答えよ。

 (1) ベクトル$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ に対して、大きさ$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OA}|\end{align*}}$ と内積$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ を求めよ。

 (2) a1、a2、a3はすべて整数であり、a1≧a2≧a3≧0を満たしている。
    このとき、Aの座標を求めよ。

 (3) a1、a2、a3、b1、b2、b3、c1、c2、c3はすべて整数であり、
        a1≧a2≧a3≧0、 b3≧c3
    を満たしている。 このとき、B、Cの座標を求めよ。
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \end{align*}}$
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \end{align*}}$


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  1. 2014/06/21(土) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .京都工芸繊維大 後期 2014
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2014京都工芸繊維大 後期 数学2



第2問

  関数
        $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\sqrt{\pi-x}\ \sin x\ \ \ \left(x\leqq \pi\right)\end{align*}}$
  を考える。曲線y=f(x)上の点P(0,f(0))における接線をLとし、
  Lの方程式をy=g(x)とする。

 (1) g(x)を求めよ。

 (2) 0≦x≦$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ のとき、f(x)≦g(x)であることを証明せよ。

 (3) 曲線y=f(x) (0≦x≦$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ )とLと直線x=$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ で囲まれた部分を、
    x軸のまわりに1回転してできる回転体の体積Vの値を求めよ。



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  1. 2014/06/22(日) 23:57:00|
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2014京都工芸繊維大 後期 数学3



第3問

  Oを原点とするxy平面において、点Pn (n=0,1,2,・・・)を
  次の規則で定める。
    (ⅰ)P0(1,0)とする。
    (ⅱ)0以上の整数nに対してPnが定まったとき、Pnを原点Oを
      中心として反時計まわりに $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2^n}\end{align*}}$ だけ回転し、さらにx軸に
      関して対称移動した点をPn+1とする。
  ただし、点Qがx軸上にあるとき、Qをx軸に関して対称移動した点は
  Q自身である。

 (1) 実数$\small\sf{\alpha}$ 、$\small\sf{\beta}$ に対して、行列の積
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf \cos\beta&\sf -\sin\beta \\ \sf \sin\beta & \sf \cos\beta \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf \cos\alpha&\sf -\sin\alpha \\ \sf \sin\alpha & \sf \cos\alpha \end{pmatrix}\end{align*}}$
    を求めよ。

 (2) 0以上の整数nに対して、Pn+2はPnを原点Oを中心として反時計
    まわりに角$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2^{n+1}}\end{align*}}$ だけ回転した点であることを証明せよ。

 (3) 0以上の整数nに対して、P2nの座標を求めよ。

 (4) 自然数nに対して△OPnP2nの面積をSnとおくとき、極限$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ S_n\end{align*}}$
    を求めよ。


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  1. 2014/06/23(月) 23:57:00|
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2014京都工芸繊維大 後期 数学4



第4問

  次の問いに答えよ。

 (1) 関数 $\small\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{x^3}{3+x^4}\end{align*}}$ の最大値および最小値を求めよ。

 (2) 必要であれば平均値の定理を用いて、実数x、aに対して、不等式
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \left|\log\left(3+x^4\right)-\log\left(3+a^4\right)\right|\leqq\sqrt3\ \left|x-a\right|\end{align*}}$
    が成り立つことを証明せよ。



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  1. 2014/06/24(火) 23:57:00|
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