第1問
空間内の3点A(a1、a2、a3)、B(b1、b2、b3)、C(c1、c2、c3)が
次の条件を満たすとする。
△ABCは1辺の長さが$\small\sf{\begin{align*} \sf 3\sqrt2\end{align*}}$の正三角形で、その重心は原点O
である。
このとき、次の問いに答えよ。
(1) ベクトル$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ に対して、大きさ$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OA}|\end{align*}}$ と内積$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ を求めよ。
(2) a1、a2、a3はすべて整数であり、a1≧a2≧a3≧0を満たしている。
このとき、Aの座標を求めよ。
(3) a1、a2、a3、b1、b2、b3、c1、c2、c3はすべて整数であり、
a1≧a2≧a3≧0、 b3≧c3
を満たしている。 このとき、B、Cの座標を求めよ。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \end{align*}}$
$\small\sf{\begin{align*} \sf \end{align*}}$
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
正三角形の重心と外心は一致するので、原点Oは
△ABCの外心でもある。
OA=OB=OC=R
とおくと、正弦定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3\sqrt2}{\sin 60^{\circ}}=2R\ \ \Leftrightarrow\ \ R=\sqrt6\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \left|\overrightarrow{\sf OA}\right|=\sqrt6}\end{align*}}$ ・
また、△OAB≡△OBC≡△OCAより、
∠AOB=120°なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}=\sqrt6\cdot\sqrt6\cdot\cos 120^{\circ}=\underline{\ -3}\end{align*}}$
(2)
(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf OA}\right|^2=a_1^{\ 2}+a_2^{\ 2}+a_3^{\ 2}=6\end{align*}}$ ･･････(ア)
3つの平方数a12、a22、a32の和が6になるのは、
4+1+1=6 ･･････(イ)
の場合のみであり、a1≧a2≧a3≧0より
a12≧a22≧a32≧0
なので、
a1=2、 a2=a3=1
となる。よって、点Aの座標は、(2，1，1) である。
(3)
(ア)と同様に
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_1^{\ 2}+b_2^{\ 2}+b_3^{\ 2}=c_1^{\ 2}+c_2^{\ 2}+c_3^{\ 2}=6\end{align*}}$ ・・・・・・(ウ)
であり、(イ)と同様に考えると、b1、b2、b3、c1、c2、c3は
±1、±2のいずれかの値をとる。
また、△ABCの重心がOになることと、(2)の結論より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{2+b_1+c_1}{3},\frac{1+b_2+c_2}{3},\frac{1+b_3+c_3}{3}\right)=\left(0,0,0\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left\{ \begin{array}{ll}\sf b_1+c_1=-2 \\ \sf b_2+c_2=b_3+c_3=-1 \\\end{array} \right.\end{align*}}$ ・・・・・・(エ)
これらとb3≧c3より
b3=1、 c3=－2 ．
これと(ウ)、(エ)より
b1=－1、 c1=－1、 b2=－2、 c2=1
となるので、点B、Cの座標はそれぞれ、
B(－1，－2，1)、 C(－1，1，－2)
である。
整数方程式を解く部分は、もう少し詳しく書いた方がいいのかもしれません、
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- 2014/06/21(土) 23:57:00|
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第2問
関数
$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\sqrt{\pi-x}\ \sin x\ \ \ \left(x\leqq \pi\right)\end{align*}}$
を考える。曲線y=f(x)上の点P(0，f(0))における接線をLとし、
Lの方程式をy=g(x)とする。
(1) g(x)を求めよ。
(2) 0≦x≦$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ のとき、f(x)≦g(x)であることを証明せよ。
(3) 曲線y=f(x) （0≦x≦$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ )とLと直線x=$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ で囲まれた部分を、
x軸のまわりに1回転してできる回転体の体積Vの値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
f(x)の導関数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=-\frac{\sin x}{2\sqrt{\pi-x}}+\sqrt{\pi-x}\ \cos x\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(0)=\sqrt{\pi}\ \ ,\ \ f\ (0)=0 \end{align*}}$ ．
よって、Lの方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-0=\sqrt{\pi}\ \left(x-0\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ y=\sqrt{\pi}\ x\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ g\ (x)=\sqrt{\pi}\ x}\end{align*}}$
(2)
0≦x≦$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ を区間Ｉとおく。
関数h(x)を
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h\ (x)=g\ (x)-f\ (x)=\sqrt{\pi}\ x-\sqrt{\pi-x}\ \sin x\ \ \ \left(0\leqq x\leqq \frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h\ '(x)=\sqrt{\pi}+\frac{\sin x}{2\sqrt{\pi-x}}-\sqrt{\pi-x}\ \cos x\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h\ ''(x)=\frac{\sin x}{4\sqrt{\left(\pi-x\right)^3}}+\frac{\cos x}{\sqrt{\pi-x}}+\sqrt{\pi-x}\ \sin x>0\end{align*}}$ ．
区間Ｉにおいて、常にh”(x)＞0なので、h’(x)は単調に増加し、
h’(0)=0なので、この区間内で常にh’(x)≧0である。
よって、h(x)は単調に増加し、h(0)=0なので、この区間内で
常にh(x)≧0となる。
よって、区間Ｉ内では、f(x)≦g(x)が成り立つ。
(3)
(2)より、区間Ｉ内では、曲線y=f(x)は、x軸より上側、
接線Lより下側にあるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\pi\int_0^{\pi/2}\left(\sqrt{\pi}\ x\right)^2dx-\pi\int_0^{\pi/2}\left(\sqrt{\pi-x}\ \sin x\right)^2dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi^2\int_0^{\pi/2}x^2dx-\pi\int_0^{\pi/2}\left(\pi-x\right)\sin^2xdx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi^2\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^{\pi/2}-\frac{\pi}{2}\int_0^{\pi/2}\left(\pi-x\right)\left(1-\cos 2x\right)dx\end{align*}}$ ←半角公式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi^5}{24}-\frac{\pi}{2}\left[\left(\pi-x\right)\left(x-\frac{1}{2}\sin 2x\right)\right]_0^{\pi/2}-\frac{\pi}{2}\int_0^{\pi/2}\left(x-\frac{1}{2}\sin 2x\right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi^5}{24}-\frac{\pi^3}{8}-\frac{\pi}{2}\left[\frac{x^2}{2}+\frac{1}{4}\cos 2x\right]_0^{\pi/2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{\pi^5}{24}-\frac{3\pi^3}{16}+\frac{\pi}{4}}\end{align*}}$
最後の計算がイヤですね。部分積分を使っています。
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- 2014/06/22(日) 23:57:00|
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第3問
Oを原点とするxy平面において、点Pn （n=0，1，2，・・・）を
次の規則で定める。
(ⅰ)P0(1，0)とする。
(ⅱ)0以上の整数nに対してPnが定まったとき、Pnを原点Oを
中心として反時計まわりに $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2^n}\end{align*}}$ だけ回転し、さらにx軸に
関して対称移動した点をPn+1とする。
ただし、点Qがx軸上にあるとき、Qをx軸に関して対称移動した点は
Q自身である。
(1) 実数$\small\sf{\alpha}$ 、$\small\sf{\beta}$ に対して、行列の積
$\small\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf \cos\beta&\sf -\sin\beta \\ \sf \sin\beta & \sf \cos\beta \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf \cos\alpha&\sf -\sin\alpha \\ \sf \sin\alpha & \sf \cos\alpha \end{pmatrix}\end{align*}}$
を求めよ。
(2) 0以上の整数nに対して、Pn+2はPnを原点Oを中心として反時計
まわりに角$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2^{n+1}}\end{align*}}$ だけ回転した点であることを証明せよ。
(3) 0以上の整数nに対して、P2nの座標を求めよ。
(4) 自然数nに対して△OPnP2nの面積をSnとおくとき、極限$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ S_n\end{align*}}$
を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf \cos\beta&\sf -\sin\beta \\ \sf \sin\beta & \sf \cos\beta \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf \cos\alpha&\sf -\sin\alpha \\ \sf \sin\alpha & \sf \cos\alpha \end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\begin{pmatrix} \sf \cos\beta&\sf -\sin\beta \\ \sf -\sin\beta & \sf -\cos\beta \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf \cos\alpha&\sf -\sin\alpha \\ \sf -\sin\alpha & \sf -\cos\alpha \end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\begin{pmatrix} \sf \cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta&\sf -\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta \\ \sf \sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta & \sf \cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta \end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \begin{pmatrix} \sf \cos\left(\alpha-\beta\right) &\sf -\sin\left(\alpha-\beta\right) \\ \sf \sin\left(\alpha-\beta\right) & \sf \cos\left(\alpha-\beta\right) \end{pmatrix}}\end{align*}}$ ←加法定理
(2)
点Pn（n=0，1，2，・・・）の座標を(xn，yn)とおくと、
原点を中心とする$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2^n}\end{align*}}$ 回転を表す行列は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf \cos\frac{\pi}{2^n}&\sf -\sin\frac{\pi}{2^n} \\ \sf \sin\frac{\pi}{2^n} & \sf \cos\frac{\pi}{2^n} \end{pmatrix}\end{align*}}$ であり、
x軸についての対称移動を表す行列は$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf -1 \end{pmatrix}\end{align*}}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{x_{n+1}}{y_{n+1}}=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf \cos\frac{\pi}{2^n}&\sf -\sin\frac{\pi}{2^n} \\ \sf \sin\frac{\pi}{2^n} & \sf \cos\frac{\pi}{2^n} \end{pmatrix}\binom{x_n}{y_n}\end{align*}}$
と表すことができる。
同様に
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{x_{n+2}}{y_{n+2}}=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf \cos\frac{\pi}{2^{n+1}}&\sf -\sin\frac{\pi}{2^{n+1}} \\ \sf \sin\frac{\pi}{2^{n+1}} & \sf \cos\frac{\pi}{2^{n+1}} \end{pmatrix}\binom{x_{n+1}}{y_{n+1}}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{x_{n+2}}{y_{n+2}}=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf \cos\frac{\pi}{2^{n+1}}&\sf -\sin\frac{\pi}{2^{n+1}} \\ \sf \sin\frac{\pi}{2^{n+1}} & \sf \cos\frac{\pi}{2^{n+1}} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf \cos\frac{\pi}{2^n}&\sf -\sin\frac{\pi}{2^n} \\ \sf \sin\frac{\pi}{2^n} & \sf \cos\frac{\pi}{2^n} \end{pmatrix}\binom{x_n}{y_n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\begin{pmatrix} \sf \cos\left(\frac{\pi}{2^n}-\frac{\pi}{2^{n+1}}\right)&\sf -\sin\left(\frac{\pi}{2^n}-\frac{\pi}{2^{n+1}}\right) \\ \sf \sin\left(\frac{\pi}{2^n}-\frac{\pi}{2^{n+1}}\right) & \sf \cos\left(\frac{\pi}{2^n}-\frac{\pi}{2^{n+1}}\right) \end{pmatrix}\binom{x_n}{y_n}\end{align*}}$ ←(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\begin{pmatrix} \sf \cos\frac{\pi}{2^{n+1}}&\sf -\sin\frac{\pi}{2^{n+1}} \\ \sf \sin\frac{\pi}{2^{n+1}} & \sf \cos\frac{\pi}{2^{n+1}} \end{pmatrix}\binom{x_n}{y_n}\end{align*}}$ ．
よって、点Pn+2はPnを原点Oを中心として反時計まわりに角$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2^{n+1}}\end{align*}}$
だけ回転した点である。
(3)
(2)より、
点P2は点P0を原点中心に反時計まわりに$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ だけ回転した点
点P4は点P2を原点中心に反時計まわりに$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2^3}\end{align*}}$ だけ回転した点
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \vdots\end{align*}}$
点P2nは点P2n-2を原点中心に反時計まわりに$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2^{2n-1}}\end{align*}}$ だけ回転した点
なので、
点P2nは点P0を原点中心に反時計まわりに
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2^3}+\cdots +\frac{\pi}{2^{2n-1}}=\frac{\pi}{2}\cdot\frac{1-\left(\frac{\pi}{2}\right)^n}{1-\frac{1}{4}}=\frac{2}{3}\left\{1-\left(\frac{1}{4}\right)^n\right\}\pi\end{align*}}$
だけ回転した点である。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{x_{2n}}{y_{2n}}=\begin{pmatrix} \sf \cos\frac{2}{3}\left\{1-\left(\frac{1}{4}\right)^n\right\}\pi&\sf -\sin\frac{2}{3}\left\{1-\left(\frac{1}{4}\right)^n\right\}\pi \\ \sf \sin\frac{2}{3}\left\{1-\left(\frac{1}{4}\right)^n\right\}\pi & \sf \cos\frac{2}{3}\left\{1-\left(\frac{1}{4}\right)^n\right\}\pi \end{pmatrix}\binom{1}{0}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\begin{pmatrix} \sf \cos\frac{2}{3}\left\{1-\left(\frac{1}{4}\right)^n\right\}\pi \\ \sf \sin\frac{2}{3}\left\{1-\left(\frac{1}{4}\right)^n\right\}\pi \end{pmatrix}\end{align*}}$
なので、点P2nの座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \left(\cos\frac{2}{3}\left\{1-\left(\frac{1}{4}\right)^n\right\}\pi \ ,\ \sf \sin\frac{2}{3}\left\{1-\left(\frac{1}{4}\right)^n\right\}\pi \right)}\end{align*}}$
である。
(4)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_n=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1\cdot\sin\frac{2}{3}\left\{1-\left(\frac{1}{4}\right)^n\right\}\pi\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ S_n=\frac{1}{2}\lim_{n\rightarrow\infty}\sin\frac{2}{3}\left\{1-\left(\frac{1}{4}\right)^n\right\}\pi\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\sin\frac{2}{3}\pi\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{\sqrt3}{4}}\end{align*}}$
PCだとコピペで入力が楽なんですが、実際に手で書くことを考えると、
もう少し簡略化した方が良かったですね。
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- 2014/06/23(月) 23:57:00|
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第4問
次の問いに答えよ。
(1) 関数 $\small\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{x^3}{3+x^4}\end{align*}}$ の最大値および最小値を求めよ。
(2) 必要であれば平均値の定理を用いて、実数x、aに対して、不等式
$\small\sf{\begin{align*} \sf \left|\log\left(3+x^4\right)-\log\left(3+a^4\right)\right|\leqq\sqrt3\ \left|x-a\right|\end{align*}}$
が成り立つことを証明せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
関数f(x)を
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{x^3}{3+x^4}\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\frac{3x^2\left(3+x^4\right)-x^3\cdot 4x^3}{\left(3+x^4\right)^2}=\frac{-x^2\left(x^2+3\right)\left(x^2-3\right)}{\left(3+x^4\right)^2} \end{align*}}$
となるので、f(x)の増減は次のようになる。
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow\pm\infty}\ f\ (x)=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{1}{\frac{3}{x^3}+x}=0\end{align*}}$
なので、最大値・最小値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y_{max}=f\left(\sqrt3\right)=\underline{\ \frac{\sqrt3}{4}}\ \ ,\ \ y_{min}=f\left(-\sqrt3\right)=\underline{\ -\frac{\sqrt3}{4}}\end{align*}}$
となる。
(2)
関数g(x)を
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ (x)=\log\left(3+x^4\right)\end{align*}}$
とおくと、g(x)はすべてのxに対して連続かつ微分可能なので、
平均値の定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{g\ (x)-g\ (a)}{x-a}=g\ '(c) \end{align*}}$ ・・・・・・(ア)
となるcが存在する。
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ '(x)=\frac{4x^3}{3+x^4}=4f\ (x)\end{align*}}$
であり、(1)より任意のxに対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{\sqrt3}{4}\leqq f\ (x)\leqq \frac{\sqrt3}{4}\end{align*}}$
が成り立つので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\sqrt3\leqq g\ '(c)\leqq \sqrt3\end{align*}}$ ･･･・・・(イ)
となる。
(ア)、(イ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\sqrt3\leqq \frac{g\ (x)-g\ (a)}{x-a}\leqq \sqrt3 \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left|\frac{g\ (x)-g\ (a)}{x-a}\right|\leqq \sqrt3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left|g\ (x)-g\ (a)\right|\leqq \sqrt3\ \left|x-a\right|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left|\log\left(3+x^4\right)-\log\left(3+a^4\right)\right|\leqq \sqrt3\ \left|x-a\right|\end{align*}}$
となるので、題意は示された。
平均値の定理を用いるというヒントがあるので、
さほど難しくないと思います。
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- 2014/06/24(火) 23:57:00|
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