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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2014京都工芸繊維大 前期 数学1



第1問

  四面体ABPQは
       $\small\sf{\begin{align*} \sf AP=AQ=3\ ,\ BP=BQ=2\sqrt2\ ,\ PQ=\frac{12}{5}\ ,\ \angle APB=\frac{\pi}{4}\end{align*}}$
  を満たすとする。点Pから直線ABに下ろした垂線をPHとする。

 (1) 線分PHの長さを求めよ。

 (2) ∠PHQの大きさを$\small\sf{\theta}$ とする。sin$\small\sf{\theta}$ の値を求めよ。

 (3) 2つのベクトル $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}\end{align*}}$ と $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PQ}\end{align*}}$ は垂直であることを証明せよ。

 (4) 四面体ABPQの体積を求めよ。



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  1. 2014/06/17(火) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .京都工芸繊維大 前期 2014
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2014京都工芸繊維大 前期 数学2



第2問

  次の問いに答えよ。

 (1) x>0のとき、不等式 2-x<(2+x)e-x が成り立つことを
    証明せよ。

 (2) 定積分 $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\frac{1}{2}}\left(2-x\right)\ dx\end{align*}}$ および $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\frac{1}{2}}\left(2+x\right)e^{-x}\ dx\end{align*}}$ の値を求めよ。

 (3) (1)と(2)を用いて、不等式 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{5}\lt e^{-\frac{1}{2}}<\frac{17}{28}\end{align*}}$ が成り立つことを
    証明せよ。


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  1. 2014/06/18(水) 23:57:00|
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2014京都工芸繊維大 前期 数学3



第3問

  関数
        $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=e^{-\sqrt3\ x}\left(1-\cos x\right)\end{align*}}$
  を考える。自然数nに対し、区間2(n-1)$\small\sf{\pi}$ ≦x≦2n$\small\sf{\pi}$ における
  関数f(x)の最大値をAnとする。

 (1) A1を求めよ。

 (2) 自然数nに対し、Anをnを用いて表せ。

 (3) 無限級数 $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{n=1}^{\infty}A_n\end{align*}}$ の和を求めよ。



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  1. 2014/06/19(木) 23:57:00|
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2014京都工芸繊維大 前期 数学4



第4問

  xの2次方程式
         (*) x2-2ax+2ab-b2=0
  について、以下の問いに答えよ。ただし、a、bは実数とする。

 (1) (*)は実数解のみをもつことを証明せよ。

 (2) 1個のさいころを2回投げて出た目の数を順にa、bとする。
    このa、bに対して(*)を考え、
    「(*)は符号の異なる2つの解をもつ」という事象をA、
    「(*)の2つの解の差の絶対値は6以下である」という事象をB
    とする。ただし、(*)が重解をもつときは(*)の2つの解の差は
    0と考える。
    このとき、事象A、Bおよび和事象A∪Bの確率P(A)、P(B)
    およびP(A∪B)をそれぞれ求めよ。 



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  1. 2014/06/20(金) 23:57:00|
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