第1問
四面体ABPQは
$\small\sf{\begin{align*} \sf AP=AQ=3\ ,\ BP=BQ=2\sqrt2\ ,\ PQ=\frac{12}{5}\ ,\ \angle APB=\frac{\pi}{4}\end{align*}}$
を満たすとする。点Pから直線ABに下ろした垂線をPHとする。
(1) 線分PHの長さを求めよ。
(2) ∠PHQの大きさを$\small\sf{\theta}$ とする。sin$\small\sf{\theta}$ の値を求めよ。
(3) 2つのベクトル $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}\end{align*}}$ と $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PQ}\end{align*}}$ は垂直であることを証明せよ。
(4) 四面体ABPQの体積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
△ABPで余弦定理
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AB^2=3^2+\left(2\sqrt2\right)^2-2\cdot 3\cdot 2\sqrt2\cdot \cos\frac{\pi}{4}=5 \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ AB=\sqrt5\ \ (>0)\end{align*}}$ ．
△ABPで正弦定理
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\sqrt5}{\sin\frac{\pi}{4}}=\frac{2\sqrt2}{\sin\angle PAB}\ \ \Leftrightarrow\ \ \sin\angle PAB=\frac{2}{\sqrt5}\end{align*}}$ ．
△APHにおいて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf PH=AP\sin\angle PAH=3\cdot\frac{2}{\sqrt5}=\underline{\ \frac{6}{\sqrt5}}\end{align*}}$
(2)
AP=AQ、BP=BQより、△APB≡△AQBなので、
∠PAH=∠QAH．
これと、AP=AQより、△APH≡△AQHなので、
∠AHQ=90°．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf QH=AQ\sin\angle QAH=\frac{6}{\sqrt5}\end{align*}}$ ．
△PQHで余弦定理
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\theta=\frac{\left(\frac{6}{\sqrt5}\right)^2+\left(\frac{6}{\sqrt5}\right)^2-\left(\frac{12}{5}\right)^2}{2\cdot\frac{6}{\sqrt5}\cdot\frac{6}{\sqrt5}}=\frac{3}{5}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin\theta=\sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2}=\underline{\ \frac{4}{5}\ \ (>0)}\end{align*}}$
(3)
AB⊥PHかつAB⊥QHより、
AB⊥平面PQH ･･･・・・(#)
よって、AB⊥PQとなるので、題意は示された。
(4)
四面体ABPQの体積をVとおくと、(#)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\frac{1}{3}\times \triangle PQH \times AB\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}\times\left(\frac{1}{2}\cdot \frac{6}{\sqrt5}\cdot \frac{6}{\sqrt5}\cdot\sin\theta\right)\times \sqrt5\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{24}{15}\sqrt5\ }\end{align*}}$
(3)をそのままベクトルでやろうとすると面倒なので、
図形的に処理しました。
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- 2014/06/17(火) 23:57:00|
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第2問
次の問いに答えよ。
(1) x＞0のとき、不等式 2－x＜(2+x)e-x が成り立つことを
証明せよ。
(2) 定積分 $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\frac{1}{2}}\left(2-x\right)\ dx\end{align*}}$ および $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\frac{1}{2}}\left(2+x\right)e^{-x}\ dx\end{align*}}$ の値を求めよ。
(3) (1)と(2)を用いて、不等式 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{5}\lt e^{-\frac{1}{2}}<\frac{17}{28}\end{align*}}$ が成り立つことを
証明せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
関数f(x)を
f(x)=(2+x)e-x－(2－x)
とおくと、第1次および第2次の導関数は
f’(x)=e-x－(2+x)e-x+1=－(1+x)e-x+1
f”(x)=－e-x+(1+x)e-x=xe-x
となる。
x＞0のとき、f"(x)＞0なので、f’(x)は単調に増加し、
f’(0)=0なので、x＞0で常にf’(x)＞0となる。
よって、x＞0でf(x)は単調に増加し、f(0)=0なので、
x＞0で常にf(x)＞0となる。
よって、題意の不等式は成立する。
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\frac{1}{2}}\left(2-x\right)\ dx=\bigg[2x-\frac{1}{2}x^2\bigg]_0^{\frac{1}{2}}=\underline{\ \frac{7}{8}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\frac{1}{2}}\left(2+x\right)e^{-x}\ dx=\bigg[-\left(2+x\right)e^{-x}\bigg]_0^{\frac{1}{2}}+\int_0^{\frac{1}{2}}e^{-x}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\bigg[-\left(2+x\right)e^{-x}-e^{-x}\bigg]_0^{\frac{1}{2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ -\frac{7}{2}e^{-\frac{1}{2}}+3}\end{align*}}$
(3)
(1)の不等式は、x=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ のときも成り立つので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2-\frac{1}{2}<\left(2+\frac{1}{2}\right)e^{-\frac{1}{2}}\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{3}{5}\lt e^{-\frac{1}{2}}\end{align*}}$
また、(1)の不等式は、区間0≦x≦$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ で常に成り立つので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\frac{1}{2}}\left(2-x\right)\ dx<\int_0^{\frac{1}{2}}\left(2+x\right)e^{-x}\ dx\end{align*}}$
となり、これに(2)で得た値を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{7}{8}<-\frac{7}{2}e^{-\frac{1}{2}}+3\ \ \Leftrightarrow\ \ e^{-\frac{1}{2}}<\frac{17}{28}\end{align*}}$
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{5}\lt e^{-\frac{1}{2}}<\frac{17}{28}\end{align*}}$
となるので、題意は示された。
(1)は、f’(x)だけでは符号が簡単に決まらないので、
f”(x)まで求めましょう。(1)さえできれば、(2)、(3)は、
そのまま計算するだけです。
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第3問
関数
$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=e^{-\sqrt3\ x}\left(1-\cos x\right)\end{align*}}$
を考える。自然数nに対し、区間2(n－1)$\small\sf{\pi}$ ≦x≦2n$\small\sf{\pi}$ における
関数f(x)の最大値をAnとする。
(1) A1を求めよ。
(2) 自然数nに対し、Anをnを用いて表せ。
(3) 無限級数 $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{n=1}^{\infty}A_n\end{align*}}$ の和を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
f(x)の導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=-\sqrt3 e^{-\sqrt3\ x}\left(1-\cos x\right)+e^{-\sqrt3\ x}\sin x \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =e^{-\sqrt3\ x}\left(\sin x+\sqrt3\cos x-\sqrt3\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =e^{-\sqrt3\ x}\left\{2\sin\left( x+\frac{\pi}{3}\right)-\sqrt3\right\}\end{align*}}$ ←三角関数の合成
0≦x≦2$\scriptsize\sf{\pi}$ において、f’(x)=0となるのは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3}\ ,\ \frac{2}{3}\pi\ ,\ \frac{7}{3}\pi\ \ \Leftrightarrow\ \ x=0\ ,\ \frac{\pi}{3}\ ,\ 2\pi\end{align*}}$
のときなので、0≦x≦2$\scriptsize\sf{\pi}$ におけるf(x)の増減は次のようになる。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A_1=f\left(\frac{\pi}{3}\right)=\underline{\ \frac{1}{2}e^{-\frac{\sqrt3}{3}\pi}}\end{align*}}$
(2)
区間2(n－1)$\scriptsize\sf{\pi}$ ≦x≦2n$\scriptsize\sf{\pi}$ において、f’(x)=0となるのは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3}+2(n-1)\pi\ ,\ \frac{2}{3}\pi+2(n-1)\pi\ ,\ \frac{7}{3}\pi+2(n-1)\pi\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=2(n-1)\pi\ ,\ \frac{\pi}{3}+2(n-1)\pi\ ,\ 2n\pi\end{align*}}$
のときなので、(1)と同様に考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A_n=f\left(\frac{\pi}{3}+2(n-1)\pi\right)=\underline{\ \frac{1}{2}e^{-\frac{\sqrt3}{3}\pi-2\sqrt3(n-1)\pi}}\end{align*}}$
(3)
(2)より、数列{An}は、公比 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf e^{-2\sqrt3\ \pi}\end{align*}}$ の等比数列であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\lt e^{-2\sqrt3\ \pi}<1\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{n=1}^{\infty}A_n=\frac{1}{2}e^{-\frac{\sqrt3}{3}\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\ e^{-2\sqrt3(n-1)\pi}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}e^{-\frac{\sqrt3}{3}\pi}\cdot\frac{1}{1-e^{-2\sqrt3\ \pi}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{e^{-\frac{\sqrt3}{3}\pi}}{2\left(1-e^{-2\sqrt3\ \pi}\right)}}\end{align*}}$
Anが等比数列になることに気づきましょう。
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- 2014/06/19(木) 23:57:00|
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第4問
xの2次方程式
(*) x2－2ax+2ab－b2=0
について、以下の問いに答えよ。ただし、a、bは実数とする。
(1) (*)は実数解のみをもつことを証明せよ。
(2) 1個のさいころを2回投げて出た目の数を順にa、bとする。
このa、bに対して(*)を考え、
「(*)は符号の異なる2つの解をもつ」という事象をA、
「(*)の2つの解の差の絶対値は6以下である」という事象をB
とする。ただし、(*)が重解をもつときは(*)の2つの解の差は
0と考える。
このとき、事象A、Bおよび和事象A∪Bの確率P(A)、P(B)
およびP(A∪B)をそれぞれ求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
(*)の判別式をDとおくと、a、bは実数なので
D/4=a2－(2ab－b2)=(a－b)2≧0
となる。
よって、(*)は実数解のみをもつ。
(2)
事象Aについて
(*)の左辺をf(x)とおくと、f(0)＜0であればよいので、
f(0)=2ab－b2＜0 ⇔ b＞2a （∵b＞0）
となればよい。
このようなさいころの目の組(a，b)は
(1，3)、(1，4)、(1，5)、(1，6)、(2，5)、(2，6)
の6通りあるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p(A)=\frac{6}{6^2}=\underline{\ \frac{1}{6}}\end{align*}}$
事象Bについて
(*)の2解を$\scriptsize\sf{\alpha}$ 、$\scriptsize\sf{\beta}$ とおくと、解と係数の関係より
$\scriptsize\sf{\alpha}$ +$\scriptsize\sf{\beta}$ =2a、 $\scriptsize\sf{\alpha}$ $\scriptsize\sf{\beta}$ =2ab－b2 ･･･・・・(#)
2解の差の絶対値が6より大きくなるのは
|$\scriptsize\sf{\alpha}$ －$\scriptsize\sf{\beta}$ |＞6
⇔ ($\scriptsize\sf{\alpha}$ －$\scriptsize\sf{\beta}$ )2=($\scriptsize\sf{\alpha}$ +$\scriptsize\sf{\beta}$ )2－4$\scriptsize\sf{\alpha}$ $\scriptsize\sf{\beta}$ ＞62
⇔ 4a2－4(2ab－b2)＞36 ←(#)より
⇔ a2－2ab+b2=(a－b)2＞9
⇔ |a－b|＞3
のときであり、これを満たすさいころの目の組(a，b)は
(1，5)、(5，1)、(1，6)、(6，1)、(2，6)、(6，2)
の6通りある。
よって、事象Bが起こる確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P(B)=1-\frac{6}{6^2}=\underline{\ \frac{5}{6}}\end{align*}}$
和事象A∪Bについて
事象A、Bの条件をともに満たさないような(a，b)は
(1，5)、(1，6)、(2，6)
の3通りあるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P(A\cup B)=1-\frac{3}{6^2}=\underline{\ \frac{11}{12}}\end{align*}}$
二次方程式の解の処理さえできれば、あとは数えるだけです。
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- 2014/06/20(金) 23:57:00|
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