青木ゼミ青木大学入試(数学)　.関西の国立大学　.京都大　文系　2005

2005京都大　文系数学１

第１問

　　xy平面上の原点と点(1，2)を結ぶ線分（両端を含む）をLとする。
　　曲線y＝x²＋ax＋bがLと共有点をもつような実数の組(a，b)の
　　集合をab平面上に図示せよ。

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　　　　　　L：ｙ＝2x　（0≦x≦1）
　　　　　　　　C： y＝x²＋ax＋b
　　　とし、これら2式を連立させると、
　　　　　　　　2x＝x²＋ax＋b　⇔　x²＋(a－2)x＋b＝0　　･･････(#)
　　　となるので、LとCが共有点を持つためには、(#)が
　　　0≦x≦1の範囲に実数解を持てばよい。
　　　
　　　まず、(#)の判別式を考えると、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　
　　　である必要がある。

　　　また、(#)の左辺をf(x)とおくと、　　
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　と変形できるので、放物線y＝f(x)の軸は
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　である。

　　(ⅰ) (#)が0＜x＜1の範囲に異なる2つの実数解を持つとき
　　　　　y＝f(x)のグラフが右図のようになればよいので、
　　　　　　　　D≧0
　　　　　　　　f(0)＝b＞0
　　　　　　　　f(1)＝a＋b－1＞0　⇔　b＞－a＋1　
　　　　　　　　0＜軸＜1　 $橿原学習塾青木ゼミ$

　　(ⅱ) (#)がx＝0を解に持つとき
　　　　　　　　f(0)＝b＝0

　　(ⅲ) (#)がx＝1を解に持つとき
　　　　　　　　f(1)＝a＋b－1＝0　⇔　b＝－a＋1　

　　(ⅳ) (#)が0＜x＜1とx＜0の範囲に1つずつ実数解を持つとき
　　　　　　　　f(0)＝b＜0
　　　　　　　　f(1)＝a＋b－1＞0　⇔　b＞－a＋1　

　　(ⅴ) (#)が0＜x＜1と1＜xの範囲に1つずつ実数解を持つとき
　　　　　　　　f(0)＝b＞0
　　　　　　　　f(1)＝a＋b－1＜0　⇔　b＜－a＋1　

　　　直線b＝－a＋1と放物線b＝ $橿原学習塾青木ゼミ$ (a－2)²の2式を連立させると、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　となるので、これらは点(0，1)で接する。

　　　以上より、題意を満たすような点(a，b)の存在範囲を図示すると、
　　　下図のようになる。ただし、境界線上の点も含む。

　　　　　　　

　　　上では細かく場合分けしましたが、(ⅱ)～(ⅴ)は
　　　　　　　　f(0)・f(1)≦0
　　　と、１つにまとめることができます。　　

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2014/07/10(木) 23:51:00|

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2005京都大　文系数学２

第２問

　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ を満たす自然数nは何個あるか。
　　　　ただし $橿原学習塾青木ゼミ$ である。
　　　　　　　　

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　与式の各辺は正なので、常用対数をとると、
　　　底＞1なので　
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　･･････(ア)
　　　となり、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　･･････(イ)
　　　より、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　なので、(ア)は
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　･･････(ウ)
　　　と変形できる。

　　　また、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　と変形できるので、これと(イ)より
　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ ．
　　　よって、
　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　なので、これと(ウ)より
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ ．
　　　よって、題意を満たす自然数nの個数は
　　　　　　　　62－32＋1＝31個
　　　である。

　　log₁₀2の値が不等式で与えられているので、面倒ですね。　　

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2014/07/10(木) 23:54:00|

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2005京都大　文系数学３

第３問

　　α、βは0でない相異なる複素数で、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　を満たすとする。このとき、0、α、βの表す複素平面上の3点を
　　結んで得られる三角形はどのような三角形か。（ただし、複素数zに
　　対し、 $橿原学習塾青木ゼミ$ はzに共役な複素数である。また、複素平面を複素数平面
　　ともいう。）

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　A(α)、B(β)、O(0)とおく。

　　　与式の両辺に $橿原学習塾青木ゼミ$ をかけると
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　となるので、OAの中点をMとおくと、点Bは、
　　　点Mを中心とする半径OMの円周上を動く。
　　　（ただし、2点O、Aはのぞく）

　　　よって、円周角の定理より、∠OBA＝90°なので、
　　　△OABは∠B＝90°の直角三角形である。

　　よくある式変形ですが、最後に式から図形的な性質を読み取る必要があります。　　

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2014/07/10(木) 23:57:00|

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2005京都大　文系数学４

第４問

　　a³－b³＝65を満たす整数の組(a，b)をすべて求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　与式は
　　　　　　　　(a－b)(a²＋ab＋b²)＝5・13
　　　と変形できる。
　　　　　　　　　p＝a－b、　　q＝a²＋ab＋b²　　･･････(ア)
　　　とおくと、p、qはともに整数であり、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　なので、
　　　　　(p，q)＝(1，65)、(5，13)、(13，5)、(65，1)　　･･････(イ)
　　　のいずれかである。

　　　(ア)よりaを消去すると、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　･･････(ウ)
　　　bは実数なので、この方程式の判別式を考えると、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　であり、(イ)のうちでこれを満たすものは
　　　　　　　　(p，q)＝(1，65)、(5，13)
　　　　のみである。

　　　(ⅰ) (p，q)＝(1，65)のとき
　　　　　　　　(ウ)　　⇔　3b²＋3b－64＝0
　　　　　　　　　　　　 ⇔　b＝ $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　となるので、不適

　　　(ⅱ) (p，q)＝(5，13)のとき
　　　　　　　　(ウ)　　⇔　3b²＋15b＋12＝3(b＋1)(b＋4)＝0
　　　　　　　　　　　　 ⇔　b＝－1、－4
　　　　　　　　となるので、(a，b)＝(4，－1)、(1，－4)

　　　以上より、　a³－b³＝217を満たす整数の組は、
　　　　　　　　(a，b)＝(4，－1)、(1，－4)

　　普通の不定方程式ですね。　　

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2014/07/11(金) 23:57:00|

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2005京都大　文系数学５

第５問

　　1からnまでの番号のついたn枚の札が袋に入っている。ただし
　　n≧3とし、同じ番号の札はないとする。この袋から3枚の札を
　　取り出して、札の番号を大きさの順に並べるとき、等差数列に
　　なっている確率を求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　　　　3枚の札の選び方の総数は、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　通り
　　　　　　選ばれた3つの札の数を小さい順にa、b、cとおく。

　　(ⅰ)　nが奇数のとき
　　　　nは3以上の奇数なので、自然数mを用いて
　　　　　　　　　　　n＝2m＋1　　･･････(ア)
　　　　と表せる。
　　　　等差数列をなす3数の組(a，b，c)のうち
　　　　公差がk（1≦k≦m）のものは、
　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　の2m＋1－2k個あるので、組の総数は
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　　←(ア)より
　　　　よって、求める確率は、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$

　　(ⅱ)　nが偶数のとき
　　　　nは4以上の偶数なので、自然数mを用いて
　　　　　　　　　　　n＝2m＋2　　･･････(イ)
　　　　と表せる。
　　　　等差数列をなす3数の組(a，b，c)のうち
　　　　公差がk（1≦k≦m）のものは、
　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　の2m＋2－2k個あるので、組の総数は
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　　←(イ)より
　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　
　　　　よって、求める確率は、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$

　　nの偶奇で場合分けです。
　　まずは、公差が1のとき、2のとき、・・・・と具体的に書きあげていくと
　　規則性に気づくはずです。　　

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2014/07/12(土) 23:57:00|

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