第４問
a3－b3＝217を満たす整数の組(a，b)をすべて求めよ。
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【解答】
与式は
(a－b)(a2＋ab＋b2)＝7・31
と変形できる。
p＝a－b、 q＝a2＋ab＋b2 ･･････(ア)
とおくと、p、qはともに整数であり、
^2+\frac{3b^2}{4}>0)
なので、
(p，q)＝(1，217)、(7，31)、(31，17)、(217，1) ･･････(イ)
のいずれかである。
(ア)よりaを消去すると、
^2+\left(b+p\right)b+b^2=q \ \ \Leftrightarrow\ \ b^2+pb+\frac{p^2-q}{3}=0)
･･････(ウ)
bは実数なので、この方程式の判別式を考えると、
\geq 0)
であり、(イ)のうちでこれを満たすものは
(p，q)＝(1，217)、(7，31)
のみである。
(ⅰ) (p，q)＝(1，217)のとき
(ウ) ⇔ b2＋b－72＝(b＋9)(b－8)＝0
⇔ b＝－9、8
となるので、(a，b)＝(－8，－9)、(9，8)
(ⅱ) (p，q)＝(7，31)のとき
(ウ) ⇔ b2＋7b＋6＝(b＋1)(b＋6)＝0
⇔ b＝－1、－6
となるので、(a，b)＝(6，－1)、(1，－6)
以上より、 a3－b3＝217を満たす整数の組は、
(a，b)＝(－8，－9)、(9，8)、(6，－1)、(1，－6)
普通の不定方程式ですね。
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- 2014/07/07(月) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .京都大 理系 2005
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第６問
先頭車両から順に1からnまでの番号のついたn両編成の
列車がある。ただしn≧2とする。各車両を赤色、青色、
黄色のいずれか1色で塗るとき、隣り合った車両の少なく
とも一方が赤色となるような色の塗り方は何通りか。
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【解答】
条件P・・・隣り合った車両の少なくとも一方が赤色となる
条件Pを満たすn両編成の列車のうち、n両目の車両（最後尾の
車両）の色が赤色、青色、黄色であるものの場合の数をそれぞれ
an、bn、cnとすると、
n＝2のとき
赤赤、青赤、黄赤、赤青、赤黄
のいずれかなので、
a2＝3、 b2＝c2＝1
条件Pを満たすn両編成の列車の最後尾にさらに一両つけ加えて、
条件Pを満たすn＋1両編成の列車にするとき、n両目とn＋1両目
の色は、
赤赤、青赤、黄赤、赤青、赤黄
のいずれかになるので、
an+1＝an＋bn＋cn
bn+1＝cn+1＝an ･･････(#)
という関係が成り立つ。
よって、
a3＝a2＋b2＋c2＝5
(#)よりbn、cnを消去すると、
an+2＝an+1＋an＋an
⇔ an+2－an+1－2an＝0
となるので、二次方程式t2－t－2＝0の解がt＝－1，2で
であることを用いると、
an+2＋an+1＝2(an+1＋an)
an+2－2an+1＝－(an+1－2an)
と、2通りに変形できる。
これらより、数列{an+1＋an}と数列{an+1－2an}はいずれも
等比数列となるので、
an+1＋an＝2n-2(a3＋a2)＝2n+1 ･･････(ア)
an+1－2an＝(－1)n-2(a3－2a2)＝(－1)n-1 ･･････(イ)
(ア－イ)÷3より
^{n-1}}{3})
となるので、n両編成の列車で条件Pを満たすものの総数は、
^{n}}{3}})
←(#)より
である。
漸化式をつくりましょう。
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- 2014/07/09(水) 23:57:00|
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