第1問
xの2次関数$\small\sf{\sf ｆ(x)=ax^2+bx+c}$ とその導関数ｆ’(x)について、
次の問に答えよ。ただし、a、b、cは定数でa≠0とする。
(1) 実数$\small\sf{\alpha\ ,\ \beta}$ について、$\small\sf{\sf f(\alpha)=ｆ(\beta)}$ ならば、
$\small\sf{\sf |ｆ'(\alpha)|=|ｆ'(\beta)|}$ であることを示せ。
(2) 実数$\small\sf{\alpha\ ,\ \beta}$ について、$\small\sf{\sf |ｆ'(\alpha)|=|ｆ'(\beta)|}$ ならば、
$\small\sf{\sf ｆ(\alpha)=ｆ(\beta)}$ であることを示せ。
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【解答】
$\scriptsize{\sf ｆ(x)=ax^2+bx+c}$ に対して、$\scriptsize{\sf ｆ'(x)=2ax+b}$
(1)
$\scriptsize{\sf ｆ(\alpha)=ｆ(\beta)}$ のとき
$\scriptsize{\sf a\alpha^2+b\alpha+c=a\beta^2+b\beta+c}$
⇔ $\scriptsize{\sf a(\alpha^2-\beta^2)+b(\alpha-\beta)=0}$
⇔ $\scriptsize{\sf (\alpha-\beta){2a(\alpha+\beta)+b}=0}$
⇔ $\scriptsize\sf{\alpha=\beta}$ ･･･① または $\scriptsize{\sf 2a(\alpha+\beta)+b=0}$ ･･･②
①のときは、明らかに $\scriptsize{\sf ｆ'(\alpha)=ｆ'(\beta)}$
②のとき、
$\scriptsize{\sf ｆ'(\alpha)+ｆ'(\beta)=(2a\alpha+b)+(2a\beta+b)=2{2a(\alpha+\beta)+b}=0}$
よって、$\scriptsize{\sf ｆ'(\alpha)=ｆ'(\beta)}$ または $\scriptsize{\sf ｆ'(\alpha)=-ｆ'(\beta)}$ となるので、
$\scriptsize{\sf |ｆ'(\alpha)|=|ｆ'(\beta)|}$ である。
(2)
$\scriptsize{\sf |ｆ'(\alpha)|=|ｆ'(\beta|}$ のとき
$\scriptsize{\sf ｆ'(\alpha)=ｆ'(\beta)}$ ･･･③ または $\scriptsize{\sf ｆ'(\alpha)=-ｆ'(\beta)}$ ･･･④
③のとき
$\scriptsize{\sf 2a\alpha+b=2a\beta+b\ \ \Leftrightarrow\ \ a(\alpha-\beta)=0}$
ここで、$\scriptsize{\sf a\ne 0}$ より、$\scriptsize\sf{\alpha=\beta}$
よって、$\scriptsize{\sf ｆ(\alpha)=ｆ(\beta)}$
④のとき
$\scriptsize{\sf 2a\alpha+b=-(2a\beta+b)\ \ \Leftrightarrow\ \ 2a(\alpha+\beta)+b=0}$
このとき、
$\scriptsize{\sf ｆ(\alpha)-ｆ(\beta)=a(\alpha^2-\beta^2)+b(\alpha-\beta)}$
$\scriptsize{\sf =(\alpha-\beta){2a(\alpha+\beta)+b} =0}$
となるので、$\scriptsize{\sf ｆ(\alpha)=ｆ(\beta)}$
よって、題意は示された。
以下のように、同値変形を用いて(1)、(2)を同時に証明してもOKでしょう。
(細かい途中計算は省いています。)
$\scriptsize{\sf ｆ(\alpha)=ｆ(\beta)}$
⇔ $\scriptsize{\sf (\alpha-\beta ){2a(\alpha+\beta)+b}=0}$
⇔ $\scriptsize\sf{\sf \alpha=\beta}$ または $\scriptsize{\sf 2a(\alpha+\beta)+b=0}$
⇔ $\scriptsize{\sf 2a\alpha+b=2a\beta+b}$ または $\scriptsize{\sf (2a\alpha+b)+(2a\beta+b)=0}$
⇔ $\scriptsize{\sf ｆ'(\alpha)=ｆ'(\beta)}$ または $\scriptsize{\sf ｆ'(\alpha)+ｆ'(\beta )=0}$
⇔ $\scriptsize{\sf |ｆ'(\alpha)|=|ｆ'(\beta )|}$
以上より、(1)、(2)ともに示された。
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- 2011/11/10(木) 23:57:00|
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第2問
1からnまでの自然数1，2，3，･･･，nの和をSとするとき、
次の問に答えよ。
(1) nを4で割った余りが0または3ならば、Sは偶数であることを示せ。
(2) Sが偶数ならば、nを4で割った余りが0または3であることを示せ。
(3) nを8で割った余りが3または4ならば、Sが4の倍数でないことを示せ。
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【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=1+2+\ldots+n=\frac{1}{2}n(n+1)\end{align*}}$
(1)
(ⅰ) nを4で割った余りが0になるとき
nは自然数mを用いて n=4mと表されるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{2}\cdot4m(4m+1)=2m(4m+1)\end{align*}}$
m(4m+1)は整数なので、Sは偶数である。
(ⅱ) nを4で割った余りが3になるとき
nは自然数mを用いて n=4m+3と表されるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{2}(4m+3)(4m+4)=2(4m+3)(m+1)\end{align*}}$
(4m+3)(m+1)は整数なので、Sは偶数である。
よって、題意は示された。
(2)
nを4で割ったときの余りは、0、1、2、3のいずれかである。
(ⅲ) nを4で割った余りが1になるとき
nは自然数mを用いて n=4m+1と表されるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{2}(4m+1)(4m+2)=(4m+1)(m+1)\end{align*}}$
m+1、4m+1はともに奇数なので、Sは奇数である。
(ⅳ) nを4で割った余りが2になるとき
nは自然数mを用いて n=4m+2と表されるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{2}(4m+2)(4m+3)=(m+1)(4m+3)\end{align*}}$
m+1、4m+3はともに奇数なので、Sは奇数である。
よって、「nを4で割った余りが0、3のいずれでもないならば、Sは奇数である。」
これの対偶をとると、
「Sが偶数ならば、nを4で割った余りが0または3である」
となるので、題意は示された。
(3)
(ⅴ) nを8で割った余りが3になるとき
nは自然数mを用いて n=8m+3と表されるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{2}(8m+3)(8m+4)=2(8m+3)(2m+1)\end{align*}}$
8m+3、2m+1はともに奇数なので、Sは4の倍数とはなりえない。
(ⅵ) nを8で割った余りが4になるとき
nは自然数mを用いて n=8m+4と表されるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{2}(8m+4)(8m+5)=2(2m+1)(8m+5)\end{align*}}$
2m+1、8m+5はともに奇数なので、Sは4の倍数とはなりえない。
以上より、題意は示された。
PCだとコピペできるので楽なんですが、実際に手で書くことを考えると、
もう少し途中を省略して書いた方がいいかもしれないですねｗｗ
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- 2011/11/11(金) 23:57:00|
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第3問
次の問に答えよ。
(1) xy平面において、円(x－a)2+(y－b)2=2c2と直線y=xが
共有点をもたないためのa、b、cの条件を求めよ。ただし、
a、b、cは定数でc≠0とする。
(2) 1個のサイコロを3回投げて出た目の数を、順にa、b、cとする。
a、b、cが(1)で求めた条件をみたす確率を求めよ。
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【解答】
(1)
円と直線が共有点をもたないためには、
円の中心(a，b)から直線x－y=0までの距離 ＞ 円の半径
であればよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{|a-b|}{\sqrt{1^2+1^2}}>\sqrt{2c^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ \underline{\ |a-b|>2\ |c|\ \ }\end{align*}}$
cにも絶対値がつくことに注意！
判別式を用いてやってもいいと思います。
(2)
目の出方の総数は、63=216通り
また、|a－b|の値について、表にまとめたものが右図。
|a－b|≦5なので、2|c|＜|a－b|≦5
これを満たすcは、c=1 または c=2
(ⅰ) c=1のとき
右表より、a、bの目の出方は12通り
(ⅱ) c=2のとき
右表より、a、bの目の出方は2通り
よって、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{12+2}{216}=\underline{\ \frac{7}{108}\ \ }\end{align*}}$
すべて書き出しても、そんなにタイヘンじゃありません。
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- 2011/11/12(土) 23:57:00|
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