第1問
次の問いに答えよ。
(1) sとtは実数で、s＞0とst≧4を満たすとする。このとき、
s+t≧4
が成り立つことを示せ。
(2) xとyは実数で、x＞0とx8(y－x2)≧4を満たすとする。このとき、
x(x+y)≧4
が成り立つことを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
s＞0とst≧4より、t＞0なので、相加・相乗平均の関係より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{s+t}{2}\geqq \sqrt{st}\geqq 2\ \ \ \left(\because st\geqq 4\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ s+t\geqq 4\end{align*}}$
となり、題意は示された。
等号成立は、s=tかつst≧4、すなわち、s=t=2のときである。
(2)
与式は、x8(y－x2)=x5(x3y－x5)≧4と変形できるので、
x5＞0と(1)より
x5+(x3y－x5)≧4
⇔ x3y≧4．
さらにこの式は、x3y=x2・xy≧4と変形できるので、
x2＞0と(1)より
x2+xy≧4
⇔ x(x+y)≧4
となり、題意は示された。
(2)は、(1)の結論を2連発で使うのですが、気づきますかね？
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- 2014/08/15(金) 23:57:00|
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第2問
AB=AC、BC=1、∠ABC=72°の三角形ABCを考える。∠ABCの
二等分線と辺ACの交点をDとする。次の問いに答えよ。
(1) ADの長さとACの長さを求めよ。
(2) cos72°を求めよ。
(3) 三角形ABDの内接円の半径をr、三角形CBDの内接円の半径をsと
するとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{r}{s}\end{align*}}$ の値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
∠ABC=∠ACB=72°より、∠A=36°であり、
これと∠ABD=∠CBD=36°より、
△DABと△BCDも二等辺三角形となる。
よって、
AD=BD=BC=1
また、AC=AD=x（＞0）とおくと、CD=x－1であり、
2つの二等辺三角形ABC、BCDは相似なので
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x:1=1:\left(x-1\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2-x-1=0\end{align*}}$ ……(#)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ AC=x=\underline{\ \frac{\sqrt 5+1}{2}\ \ \ (>0)}\end{align*}}$
(2)
CDの中点をEとおくと、BE⊥CDなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos 72^{\circ}=\frac{CE}{BC}=\frac{x-1}{2}=\underline{\ \frac{\sqrt5-1}{4}}\end{align*}}$
(3)
△ABD、△CBDの内接円の半径はそれぞれr、sなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle ABD=\frac{r}{2}\left(AB+BD+DA \right)=\frac{r}{2}\left(x+2 \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle CBD=\frac{s}{2}\left(BC+CD+DB \right)=\frac{s}{2}\left(x+1\right)\end{align*}}$
であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle ABD:\triangle CBD=AD:CD=1:\left(x-1\right)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{r}{2}\left(x+2 \right):\frac{s}{2}\left(x+1\right)=1:\left(x-1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ r\left(x+2 \right)\left(x-1 \right)=s\left(x+1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{r}{s}=\frac{x+1}{x^2+x-2}\end{align*}}$ ．
ここで、xは(#)の解なので、上式の分母は、
x2+x－2=(x2－x－1)+2x－1=2x－1
となる。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{r}{s}=\frac{x+1}{2x-1}=\frac{\frac{\sqrt 5+1}{2}+1}{2\cdot\frac{\sqrt 5+1}{2}-1}=\underline{\ \frac{5+3\sqrt5}{10}}\end{align*}}$
(3)は、xのまま計算していかないと死にますよｗｗ
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第3問
実数を線分とする行列
$\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf b \\ \sf c & \sf d \end{pmatrix}\ \ ,\ \ B=\begin{pmatrix} \sf x&\sf y \\ \sf z & \sf u \end{pmatrix}\end{align*}}$
に対して次の問いに答えよ。
(1) A2=Aを満たすAをすべて求めよ。
(2) A、BはA2=A、B2=B、AB=O=BA（ただし、Oは零行列）
を満たすとする。
(ⅰ) A+B= $\small\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 1 \end{pmatrix}\end{align*}}$ を満たすA、Bの組をすべて求めよ。
(ⅱ) A+B= $\small\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 0 \end{pmatrix}\end{align*}}$ を満たすA、Bの組をすべて求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
A2=Aより
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf 1&\sf b \\ \sf c & \sf d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf 1&\sf b \\ \sf c & \sf d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf 1+bc&\sf b+bd \\ \sf c+cd & \sf bc+d^2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf b \\ \sf c & \sf d \end{pmatrix}\end{align*}}$
となり、成分を比較すると、
1+bc=1 ⇔ bc=0 ……①
b+bd=b ⇔ bd=0 ……②
c+cd=c ⇔ cd=0 ……③
bc+d2=d ……④
①、④より、
d2=d ⇔ d=0，1
となるので、
d=1のときは、②、③より、b=c=0
d=0のときは、①、②、③より、b=0 または c=0
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ A=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 1 \end{pmatrix}\ ,\ \begin{pmatrix} \sf 1&\sf b \\ \sf 0 & \sf 0 \end{pmatrix}\ ,\ \begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf c & \sf 0 \end{pmatrix}}\end{align*}}$ （b、cは実数）
(2)(ⅰ)
(ア) A=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 1 \end{pmatrix}\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 1 \end{pmatrix}=O\end{align*}}$
であり、このBは、
B2=O=B、 AB=BA=O
となるので、題意を満たす。
(イ) A=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf 1&\sf b \\ \sf 0 & \sf 0 \end{pmatrix}\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \sf 1&\sf b \\ \sf 0 & \sf 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf 0&\sf -b \\ \sf 0 & \sf 1 \end{pmatrix}\end{align*}}$
であり、このBは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B^2=\begin{pmatrix} \sf 0&\sf -b \\ \sf 0 & \sf 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf 0&\sf -b \\ \sf 0 & \sf 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf 0&\sf -b \\ \sf 0 & \sf 1 \end{pmatrix}=B\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AB=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf b \\ \sf 0 & \sf 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf 0&\sf -b \\ \sf 0 & \sf 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf 0&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 0 \end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf BA=\begin{pmatrix} \sf 0&\sf -b \\ \sf 0 & \sf 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf 1&\sf b \\ \sf 0 & \sf 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf 0&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 0 \end{pmatrix}\end{align*}}$
となるので、題意を満たす。
(ウ) A=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf c & \sf 0 \end{pmatrix}\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf c & \sf 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf 0&\sf 0 \\ \sf -c & \sf 1 \end{pmatrix}\end{align*}}$
であり、このBは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B^2=\begin{pmatrix} \sf 0&\sf 0 \\ \sf -c & \sf 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf 0&\sf 0 \\ \sf -c & \sf 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf 0&\sf 0 \\ \sf -c & \sf 1 \end{pmatrix}=B\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AB=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf c & \sf 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf 0&\sf 0 \\ \sf -c & \sf 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf 0&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 0 \end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf BA=\begin{pmatrix} \sf 0&\sf 0 \\ \sf -c & \sf 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf c & \sf 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf 0&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 0 \end{pmatrix}\end{align*}}$
となるので、題意を満たす。
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(A,B\right)=\underline{\ \left(\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} \sf 0&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 0 \end{pmatrix}\right)\ ,\ \left(\begin{pmatrix} \sf 1&\sf b \\ \sf 0 & \sf 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} \sf 0&\sf -b \\ \sf 0 & \sf 1 \end{pmatrix} \right)\ ,\ \left(\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf c & \sf 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} \sf 0&\sf 0 \\ \sf -c & \sf 1 \end{pmatrix}\right)}\end{align*}}$
(2)(ⅱ)
(ア) A=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 1 \end{pmatrix}\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf 0&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf -1 \end{pmatrix}\end{align*}}$
であり、このBは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B^2=\begin{pmatrix} \sf 0&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf 0&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf 0&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 0 \end{pmatrix}\ne B\end{align*}}$
となるので、題意を満たさない。
(イ) A=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf 1&\sf b \\ \sf 0 & \sf 0 \end{pmatrix}\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \sf 1&\sf b \\ \sf 0 & \sf 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf 0&\sf -b \\ \sf 0 & \sf 0 \end{pmatrix}\end{align*}}$
であり、B2=Bより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf 0&\sf -b \\ \sf 0 & \sf 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf 0&\sf -b \\ \sf 0 & \sf 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf 0&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf 0&\sf -b \\ \sf 0 & \sf 0 \end{pmatrix}\ \ \Leftrightarrow\ \ b=0\end{align*}}$ ．
このとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 0 \end{pmatrix}\ \ ,\ \ B=\begin{pmatrix} \sf 0&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 0 \end{pmatrix}\end{align*}}$
となり、明らかにAB=BA=Oなので、題意を満たす。
(ウ) A=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf c & \sf 0 \end{pmatrix}\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf c & \sf 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf 0&\sf 0 \\ \sf -c & \sf 0 \end{pmatrix}\end{align*}}$
であり、B2=Bより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf 0&\sf 0 \\ \sf -c & \sf 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf 0&\sf 0 \\ \sf -c & \sf 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf 0&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf 0&\sf 0 \\ \sf -c & \sf 0 \end{pmatrix}\ \ \Leftrightarrow\ \ c=0\end{align*}}$ ．
このときも
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 0 \end{pmatrix}\ \ ,\ \ B=\begin{pmatrix} \sf 0&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 0 \end{pmatrix}\end{align*}}$
となるので、題意を満たす。
よって、条件を満たすようなA、Bの組は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ A=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 0 \end{pmatrix}\ \ ,\ \ B=\begin{pmatrix} \sf 0&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 0 \end{pmatrix}}\end{align*}}$
である。
成分計算が面倒です。
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- 2014/08/17(日) 23:57:00|
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第4問
次の不等式を示せ。
(1) 0≦x≦$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ に対して、sinx≦x
(2) 0≦x≦$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ に対して、
$\small\sf{\begin{align*} \sf e^{-x}\leqq e^{-\sin x}\leqq e^{-\frac{2x}{\pi}}\end{align*}}$
(3) $\small\sf{\begin{align*} \sf 1-\frac{1}{e}<\int_0^{\frac{\pi}{2}}e^{-\sin x}dx\leqq \frac{\pi}{2}\left(1-\frac{1}{e}\right)\end{align*}}$
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
区間I：0≦x≦$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ 内で定義される関数f(x)=x－sinxを考えると、
f’(x)=1－cosx≧0より、f(x)は単調に増加する。
これと、f(x)=0より、区間Ｉ内で常にf(x)≧0となる。
よって、区間I内で常に sinx≦xが成り立つ。
(2)
区間Ｉ内で関数g(x)を
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g(x)=\sin x-\frac{2x}{\pi}\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ '(x)=\cos x-\frac{2}{\pi}\end{align*}}$ ．
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<\frac{2}{\pi}<1\end{align*}}$ より、区間Ｉ内にg’(x)=0となるxがただ1つ存在し、
その値をpとおくと、g(x)の増減は次のようになる。
よって、区間Ｉ内で常にg(x)≧0となる。
これと(1)より、区間Ｉ内で不等式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2x}{\pi}\leqq \sin x\leqq x\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -x\leqq -\sin x\leqq -\frac{2x}{\pi}\end{align*}}$
が成り立つ。
さらに、関数exは単調に増加するので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf e^{-x}\leqq e^{-\sin x}\leqq e^{-\frac{2x}{\pi}}\end{align*}}$
が成り立つ。
(3)
(2)より不等式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\pi/2}e^{-x}dx\leqq \int_0^{\pi/2}e^{-\sin x}dx\leqq \int_0^{\pi/2}e^{-\frac{2x}{\pi}}dx\end{align*}}$
が成り立つ。
これと
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\pi/2}e^{-x}dx=\bigg[-e^{-x} \bigg]_0^{\pi/2}=1-e^{-\pi/2}>1-e^{-1}\ \ \ \left(\because \frac{\pi}{2}>1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\pi/2}e^{-\frac{2x}{\pi}}dx=\left[-\frac{\pi}{2}\ e^{-\frac{2x}{\pi}} \right]_0^{\pi/2}=\frac{\pi}{2}\left(1-e^{-1} \right)\end{align*}}$
より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-\frac{1}{e}<\int_0^{\frac{\pi}{2}}e^{-\sin x}dx\leqq \frac{\pi}{2}\left(1-\frac{1}{e}\right)\end{align*}}$
が成り立つ。
(2)でg(x)を考えるのも自然な流れですね。
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- 2014/08/18(月) 23:57:00|
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