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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2010大阪教育大 後期 数学1



第1問

  係数が実数である多項式f(x)=x3+ax2+bx+cに対して、方程式
  f(x)=0が異なる3つの実数解をもつとき、次の問いに答えよ。

 (1) 方程式f’(x)=0は異なる2つの実数解をもつことを示せ。

 (2) (1)の解$\small\sf{\alpha}$ 、$\small\sf{\beta}$ とするとき、$\small\sf{\alpha}$ 2+$\small\sf{\beta}$ 2と$\small\sf{\alpha}$ 3+$\small\sf{\beta}$ 3をa、bで表せ。

 (3) 次の式が成立することを示せ。
        $\small\sf{\begin{align*} \sf f\left( \frac{\alpha+\beta}{2}\right)=\frac{f\left(\alpha \right)+f\left(\beta \right)}{2}\end{align*}}$



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  1. 2014/08/11(月) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪教育大 後期 2010
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2010大阪教育大 後期 数学2



第2問

  △ABCについて、次の問いに答えよ。

 (1) 辺BC、CA、ABの中点をD、E、Fとすると、線分AD、BE、CFは
    1点Gで交わり、
        AG:GD=BG:GE=CG:GF=2:1
    であることを示せ。

 (2) △ABCの面積をS、内接円の半径をr、3辺の長さをa、b、cとすると、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf r=\frac{S}{L}\ \ ,\ \ S=\sqrt{L\left(L-a \right)\left(L-b \right)\left(L-c \right)}\end{align*}}$
    であることを示せ。ただし、2L=a+b+cとする。



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  1. 2014/08/12(火) 23:57:00|
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2010大阪教育大 後期 数学3



第3問

  nは自然数とし、t>0とする。次の問いに答えよ。

 (1) 次の不等式を示せ。
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \left(1+t\right)^n\geqq 1+nt+\frac{n\left(n-1 \right)}{2}\ t^2\end{align*}}$

 (2) 0<r<1とする。次の極限値を求めよ。
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{\left(1+t\right)^n}\ \ ,\ \ \lim_{n\rightarrow\infty} n r^n\end{align*}}$

 (3) x≠-1のとき、次の和Snを求めよ。
        $\small\sf{\begin{align*} \sf S_n=1-2x+3x^2-4x^3+\ldots +(-1)^{n-1}nx^{n-1}\end{align*}}$

 (4) 0<x<1のとき、極限値 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ S_n\end{align*}}$ をA(x)とおく。A(x)を求めよ。
    さらに、極限値 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow 1-0}\ A(x)\end{align*}}$ を求めよ。


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  1. 2014/08/13(水) 23:57:00|
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2010大阪教育大 後期 数学4



第4問

  実数a、bはa>b>0とする。楕円 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\end{align*}}$ で囲まれる領域をA、
  楕円 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1\end{align*}}$ で囲まれる部分をBで表す。共通部分A∩Bの面積
  をS、和集合A∪Bの面積をTとする。次の問いに答えよ。

 (1) Aの面積が$\small\sf{\pi}$ abであることを示せ。

 (2) Bに含まれてAに含まれない部分の面積をa、b、$\small\sf{\alpha}$ を用いて表せ。
    ただし、$\small\sf{\begin{align*} \sf \sin\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\ \ ,\ \ 0<\alpha<\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ とする。

 (3) T=2Sであるとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{b}{a}\end{align*}}$ の値を求めよ。



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  1. 2014/08/14(木) 23:57:00|
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