第1問
(1) 次の文章中の に適する答えを、解答用紙の所定の欄に
記入せよ。
次のように1から5までの数字が書かれたカードを用意する。
1 2 3 4 5
それに次のように4の数字が書かれたカードを1枚加える。
1 2 3 4 5 4
この6枚のカードを1列に並べて6桁の整数をつくる。このとき、
つくられる相異なる整数の場合の数は ① であり、その中で
5の倍数となる相異なる整数の場合の数は ② である。
次に、この6枚のカードに0と書かれたカードを加えて7枚のカード
にし、この7枚のカードを1列に並べる。左端に0以外のカードが来る
ことによって6桁の相異なる整数になる場合の数は ③ である。
その中で、1のカードと2のカードが隣り合う相異なる整数の場合の
数は ④ である。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
①
4のカードが2枚あるので、できる6桁の整数の個数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{6!}{2!}=\underline{\ 360}\end{align*}}$
②
一の位は5なので、残りの5枚を並べることを考える。
4のカードが2枚あるので、できる6桁の整数の個数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{5!}{2!}=\underline{\ 60}\end{align*}}$
③
次の2つの場合が考えられる。
・左端の数が4である場合
0、1、2、3、4、5の6数を並べる
・左端の数が1、2、3、5のいずれかである場合
残りの6数(このうち4は2枚)を並べる
よって、できる整数の個数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 6!+\frac{6!}{2!}\times 4=\underline{\ 2160}\end{align*}}$
④
1と2のカードを1セットにして考えると、次の2つの場合が考えられる。
・左端の数が4である場合
1と2セットおよび、0、3、4、5の5つを並べる
・左端の数が1と2のセット、3、5のいずれかである場合
残りの5つ(このうち4は2枚)を並べる
1と2の並び方は2!通りあるので、できる整数の個数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(5!+\frac{5!}{2!}\times 3\right)\times 2!=\underline{\ 600}\end{align*}}$
同じものを含む順列です。
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- 2014/06/04(水) 23:54:00|
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第1問
(2) 次の不定積部を求めよ。ただし、積分定数は省略してよい。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \int x\log\left(1+x\right)dx\end{align*}}$
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(2)
求める積分をIとおくと、
x=(x+1)－1
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf I=\int\left(x+1 \right)\log\left(x+1 \right)dx-\int\log\left(x+1 \right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left(x+1 \right)^2\log\left(x+1 \right)-\int\frac{1}{2}\left(x+1 \right)^2\cdot\frac{dx}{x+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\left\{\left(x+1 \right)\log\left(x+1 \right)-\int\left(x+1 \right)\cdot\frac{dx}{x+1} \right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left\{\frac{1}{2}\left(x+1 \right)-1 \right\}\left(x+1 \right)\log\left(x+1 \right)-\int\left\{\frac{1}{2}\left(x+1 \right)-1 \right\}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{2}\left(x^2-1 \right)\log\left(x+1 \right)-\frac{1}{4}\ x^2+\frac{1}{2}\ x}\end{align*}}$
x=(x+1)－1 がすべてです。
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- 2014/06/04(水) 23:57:00|
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第2問
座標空間内に3点A(1，1，2)、B(3，5，7)、C(4，4，5)がある。
また、s、tは実数であるとして、点P(s，t，4)を考える。このとき、
以下の問いに答えよ。
(1) 点Pが3点A、B、Cを通る平面上にあるためのs、tの関係式を
求めよ。
(2) 点Pが直線AB上にあるときのs、tの値を求めよ。
(3) 点Pが3点A、B、Cを通る平面上を動くとき、その軌跡により
三角形ABCは二つの部分に分けられる。この二つの部分の
面積の比の値rを求めよ。ただし、r≧1とする。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
点Pが平面ABC上にあるとき、実数u、vを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AP}=u\ \overrightarrow{\sf AB}+v\ \overrightarrow{\sf AC}\end{align*}}$ ……(#)
と表すことができる。
成分を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(s-1\ ,\ t-1\ ,\ 2\right)=u\left(2\ ,\ 4\ ,\ 5 \right)+v\ \left(3\ ,\ 3\ ,\ 3 \right)\end{align*}}$
となり、両辺を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left\{ \begin{array}{ll}\sf s=2u+3v+1 \\ \sf t=4u+3v+1 \\ \sf 2=5u+3v \\\end{array} \right.\end{align*}}$ ……(*)
これらからu、vを消去すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ s-3t=-6}\end{align*}}$
となり、これが求める関係式である。
(2)
(#)において、v=0とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AP}=u\ \overrightarrow{\sf AB}\end{align*}}$
となり、Pは直線AB上に位置することになる。
よって、(*)にv=0を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left\{ \begin{array}{ll}\sf s=2u+1 \\ \sf t=4u+1 \\ \sf 2=5u \\\end{array} \right.\end{align*}}$
となるので、これらを連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ u=\frac{2}{5}\ \ ,\ \ s=\frac{9}{5}\ \ ,\ \ t=\frac{13}{5}}\end{align*}}$
を得る。
(3)
辺ABを2：3に内分する点をD、辺ACを2：1に内分する点をE
とおくと、(#)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AP}=\frac{5}{2}u\cdot\frac{2}{5}\overrightarrow{\sf AB}+\frac{3}{2}v\cdot\frac{2}{3}\overrightarrow{\sf AC}=\frac{5}{2}u\ \overrightarrow{\sf AD}+\frac{3}{2}v\ \overrightarrow{\sf AE}\end{align*}}$
と変形でき、(*)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{5}{2}\ u+\frac{3}{2}\ v=1\end{align*}}$
なので、点Pは、線分DEを $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{5}{2}\ u:\frac{3}{2}\ v\end{align*}}$ の比に内分する点である。
すなわち、点Pは直線DEを動くので、この直線によって△ABCは
△ADEと四角形BCEDの二つの部分に分けられる。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle ADE=\frac{2}{5}\ \triangle ACE=\frac{2}{5}\cdot\frac{2}{3}\ \triangle ABC=\frac{4}{15}\ \triangle ABC\end{align*}}$
となるので、
△ADE：四角形BCED=4：11
である。これらの面積の比の値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ r=\frac{11}{4}\ \ \ (>1)}\end{align*}}$
(3)の式変形の意味わかりますか？？
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- 2014/06/05(木) 23:57:00|
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第3問
x≧0で定義された関数
$\small\sf{\begin{align*} \sf f_n(x)=x^a-x^{a+\frac{1}{n}}\end{align*}}$
を考える。ただし、aは正の実数とし、nは自然数とする。このとき、
以下の問いに答えよ。
(1) 区間[0，1]において、fn(x)の最大値を与えるxの値をxnとおく。
xnを求めよ。
(2) 極限 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ x_n\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
fn(x)の導関数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f_n\ '(x)=ax^{a-1}-\left(a+\frac{1}{n}\right)x^{a+\frac{1}{n}-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =x^{a-1}\left\{a-\left(a+\frac{1}{n}\right) x^{\frac{1}{n}}\right\}\end{align*}}$
なので、x=0以外で fn(x)=0となるのは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=\left(a+\frac{1}{n}\right) x^{\frac{1}{n}}\ \ \Leftrightarrow\ \ x^{\frac{1}{n}}=\frac{a}{a+\frac{1}{n}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=\left(\frac{a}{a+\frac{1}{n}}\right)^{n}\end{align*}}$
のときである。
この値をpとおくと、a、n＞0より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<\frac{a}{a+\frac{1}{n}}<1\ \ \Rightarrow\ \ 0\lt p<1\end{align*}}$
なので、fn(x)の増減は次のようになる。
よって、fn(x)はx=pで最大となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ x_n=p=\left(\frac{a}{a+\frac{1}{n}}\right)^{n}}\end{align*}}$
(2)
(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ x_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{a}{a+\frac{1}{n}}\right)^{n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{1+\frac{1}{an}}\right)^{n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{an}\right)^{-n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{N\rightarrow\infty}\left\{\left(1+\frac{1}{N}\right)^{N}\right\}^{-\frac{1}{a}}\end{align*}}$ ←N=anとおく
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ e^{-\frac{1}{a}}}\end{align*}}$
ネイピア数ｅの定義は大丈夫ですか？
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- 2014/06/06(金) 23:57:00|
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第4問
以下の問いに答えよ。
(1) 関数f(x)=|x|がx=0において微分可能でないことを微分の定義に
基づいて示せ。
(2) y=x|x|のグラフの概形を描け。
(3) mは自然数とする。g(x)=xm|x|がx=0において微分可能であるか
微分可能でないかを理由をつけて答えよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
x≧0のとき、f(x)=|x|=x なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow +0}\frac{f\ (x)-f\ (0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow +0}\frac{x-0}{x}=1\end{align*}}$
x＜0のとき、f(x)=|x|=－x なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow -0}\frac{f\ (x)-f\ (0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow -0}\frac{-x-0}{x}=-1\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow +0}\frac{f\ (x)-f\ (0)}{x-0}\ne\lim_{x\rightarrow -0}\frac{f\ (x)-f\ (0)}{x-0}\end{align*}}$
なので、極限 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow 0}\frac{f\ (x)-f\ (0)}{x-0}\end{align*}}$ は存在しない。
従って、関数f(x)はx=0において微分可能でない。
(2)
x≧0のとき、y=x|x|=x2
x＜0のとき、y=x|x|=－x2
なので、y=x|x|のグラフの概形は
右図のようになる。
(3)
x≧0のとき、g(x)=xm|x|=xm+1 なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow +0}\frac{g\ (x)-g\ (0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow +0}\frac{x^{m+1}-0}{x}=\lim_{x\rightarrow +0}\ x^{m}=0\end{align*}}$
x＜0のとき、g(x)=xm|x|=－xm+1 なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow -0}\frac{g\ (x)-g\ (0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow -0}\frac{-x^{m+1}-0}{x}=\lim_{x\rightarrow -0}\left(- x^{m}\right)=0\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow +0}\frac{g\ (x)-g\ (0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow -0}\frac{g\ (x)-g\ (0)}{x-0}\end{align*}}$
なので、極限 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow 0}\frac{f\ (x)-f\ (0)}{x-0}\end{align*}}$ は存在し、
これた、x=0における微分係数となるため、関数g(x)は
x=0において微分可能である。
微分係数の定義はちゃんと覚えていますか？？？
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- 2014/06/07(土) 23:57:00|
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第5問
0＜x≦2$\small\sf{\pi}$ において定義された関数
$\small\sf{\begin{align*} \sf h\ (x)=\frac{\sin x}{x}\end{align*}}$
について、以下の問いに答えよ。
(1) h(x)の最小値を与えるxがただ1つ存在することを示せ。
(2) h(x)の最小値を与えるxの値をbとおく。次の定積分のを求めよ。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \int_{\pi}^bx^2h\ (x)\ dx\end{align*}}$
(3) bは $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{17}{12}\pi\lt b<\frac{3}{2}\pi\end{align*}}$ を満たすことを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
h(x)の導関数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h\ '(x)=\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}\end{align*}}$
であり、この分子をf(x)とおく。
すなわち、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=x\cos x-\sin x\ \ \ \ \left(0\lt x\leqq 2\pi \right)\end{align*}}$
とおくと、f(x)の導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=-x\sin x+\cos x-\cos x=-x\sin x\end{align*}}$
となるので、f(x)の増減は次のようになる。
よって、f(x)=0となるxが、$\scriptsize\sf{\pi}$ ＜x＜2$\scriptsize\sf{\pi}$ の範囲にただ1つ存在
するので、その値をbとおくと、h(x)の増減は次のようになる。
よって、x=bでh(x)は最小となるので、題意は示された。
(2)
(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (b)=b\cos b-\sin b=0\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_{\pi}^bx^2h\ (x)\ dx=\int_{\pi}^bx\sin x\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\bigg[-x\cos x\bigg]_{\pi}^b+\int_{\pi}^b \cos x\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\bigg[-x\cos x+\sin x\bigg]_{\pi}^b\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\left(b\cos b-\sin b\right)+\left(\pi\cos \pi-\sin \pi\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-f\ (b)-\pi\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ -\pi\ }\end{align*}}$
(3)
(1)の増減表より、関数f(x)は区間 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{17}{12}\pi\lt x<\frac{3}{2}\pi\end{align*}}$ において単調に増加し、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(\frac{17}{12}\pi\right)=\frac{17}{12}\pi\cos\frac{17}{12}\pi-\sin\frac{17}{12}\pi\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{17}{12}\pi\cos\left(\frac{2}{3}\pi+\frac{3}{4}\pi\right)-\sin\left(\frac{2}{3}\pi+\frac{3}{4}\pi\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{17}{12}\pi\left(\cos\frac{2}{3}\pi\cos\frac{3}{4}\pi-\sin\frac{2}{3}\pi\sin\frac{3}{4}\pi\right)-\left(\sin\frac{2}{3}\pi\cos\frac{3}{4}\pi+\cos\frac{2}{3}\pi\sin\frac{3}{4}\pi\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{17}{12}\pi\cdot\frac{\sqrt2-\sqrt6}{4}+\frac{\sqrt2+\sqrt6}{4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf <\frac{17}{12}\cdot 3\cdot\frac{\sqrt2-\sqrt6}{4}+\frac{\sqrt2+\sqrt6}{4}\ \ \ \left(\because \pi <3\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{21\sqrt2-13\sqrt6}{4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\sqrt{882}-\sqrt{1014}}{4}<0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(\frac{3}{2}\pi\right)=\frac{3}{2}\cdot\cos\frac{3}{2}\pi-\sin\frac{3}{2}\pi=1>0\end{align*}}$
なので、中間値の定理より、f(x)=0よなるxが、区間 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{17}{12}\pi\lt
x<\frac{3}{2}\pi\end{align*}}$ に
ただ1つ存在する。
この値がbなので、不等式 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{17}{12}\pi\lt b<\frac{3}{2}\pi\end{align*}}$ が成り立つ。
(3)の $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}f\left(\frac{17}{12}\pi\right)}\end{align*}}$ の計算がイヤですね。
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- 2014/06/08(日) 23:57:00|
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