理系と共通問題です。
第1問
数直線上の座標xに点Pがあるとき、表と裏がそれぞれ $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ の確率
で出る硬貨2枚を1回投げて、点Pの位置を次のように決める。
(ⅰ)2枚とも表が出たときは、座標x+1に移動する。
(ⅱ)2枚とも裏が出たときは、座標x－1に移動する。
(ⅲ)表と裏が1枚ずつ出たときは、移動しない。
点Pの最初の位置を座標0とする。硬貨2枚を5回投げ終わったときに、
点Pが次の位置にある確率をそれぞれ求めよ。
(1) 座標4
(2) 座標3
(3) 座標0
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
5回のうち、(ⅰ)、(ⅱ)、(ⅲ)の起こる回数をそれぞれ
a、b、cとすると、
a+b+c=5 ……(#)
であり、1回投げたとき、(ⅰ)、(ⅱ)、(ⅲ)が起こる確率はそれぞれ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4}\ \ ,\ \ \frac{1}{4}\ \ ,\ \ \frac{1}{2}\end{align*}}$
である。
(1)
5回の操作の後に点Pが座標4にあるのは、
a－b=4
のときであり、これと(#)を同時に満たすようなa、b、cの組は、
(a，b，c)=(4，0，1)
のみなので、その確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf _5C_4\left(\frac{1}{4}\right)^4\cdot\frac{1}{2}=\underline{\ \frac{5}{512}}\end{align*}}$
(2)
5回の操作の後に点Pが座標3にあるのは、
a－b=3
のときであり、これと(#)を同時に満たすようなa、b、cの組は、
(a，b，c)=(3，0，2)、(4，1，0)
のいずれかなので、その確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf _5C_3\left(\frac{1}{4}\right)^3\left(\frac{1}{2}\right)^2+_5C_4\left(\frac{1}{4}\right)^4\cdot\frac{1}{4}=\underline{\ \frac{45}{1024}}\end{align*}}$
(3)
5回の操作の後に点Pが座標0にあるのは、
a－b=0
のときであり、これと(#)を同時に満たすようなa、b、cの組は、
(a，b，c)=(0，0，5)、(1，1，3)、(2，2，1)
のいずれかなので、その確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1}{2}\right)^5+\frac{5!}{3!}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^3+\frac{5!}{2!\ 2!}\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^2\left(\frac{1}{4}\right)^2\cdot\frac{1}{2}=\underline{\ \frac{63}{256}}\end{align*}}$
もれなく書き出すだけですが、順序も考慮に入れましょう。
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- 2014/05/29(木) 23:48:00|
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理系と共通の問題です。
第2問
OA=OB=1をみたす二等辺三角形OABにおいて、辺ABを1：3に
内分する点をP、辺OBの中点をQ、直線OPと直線AQの交点をR、
直線BRと辺OAの交点をSとし、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}=\overrightarrow{\sf OA}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf b}=\overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ とおく。
直線BSは辺OAと直交しているとする。
(1) ベクトル $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OR}\end{align*}}$ を $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ を用いて表せ。
(2) ベクトル $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BS}\end{align*}}$ を $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ を用いて表せ。
(3) 内積 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ を求めよ。
(4) 三角形OABの面積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
メネラウスの定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{QB}{OQ}\cdot\frac{AP}{BA}\cdot\frac{RO}{PR}=\frac{1}{1}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{RO}{PR}=1\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{RO}{PR}=4\end{align*}}$
なので、 
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OR}=\frac{4}{5}\ \overrightarrow{\sf OP}=\frac{4}{5}\cdot\frac{3\overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OB}}{1+3}=\underline{\ \frac{3\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}}{5}}\end{align*}}$
(2)
チェバの定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{SA}{OS}\cdot\frac{PB}{AP}\cdot\frac{QO}{OS}=\frac{SA}{OS}\cdot\frac{3}{1}\cdot\frac{1}{1}=1\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{SA}{OS}=4\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BS}=\overrightarrow{\sf OS}-\overrightarrow{\sf OB}=\underline{\ \frac{3}{4}\overrightarrow{\sf a}-\overrightarrow{\sf b}}\end{align*}}$
(3)
BS⊥OAなので、(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BS}\cdot\overrightarrow{\sf OA}=\left(\frac{3}{4}\overrightarrow{\sf a}-\overrightarrow{\sf b}\right)\cdot\overrightarrow{\sf a}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{3}{4}|\overrightarrow{\sf a}|^2-\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=\frac{3}{4}|\overrightarrow{\sf a}|^2=\underline{\ \frac{3}{4}}\end{align*}}$
(4)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle OAB=\frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{\sf a}|^2|\overrightarrow{\sf b}|^2-\left(\overrightarrow{\sf a}\cdot \overrightarrow{\sf b}\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\sqrt{1^2\cdot1^2-\left(\frac{3}{4}\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{\sqrt7}{8}}\end{align*}}$
(4)で使っている面積の公式は大丈夫ですよね？
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- 2014/05/29(木) 23:51:00|
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第3問
aは正の定数とし、曲線C1：y=ax2 （0≦x≦1）とC2：
y=$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{a}\end{align*}}$ (x－1)2 （0≦x≦1）およびx軸で囲まれる部分の
面積をS(a)とする。
(1) C1とC2の交点のx座標を求めよ。
(2) S(a)を求めよ。
(3) aがすべての正の実数を動くとき、S(a)の最大値とそれを
与えるaの値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
2式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf ax^2=\frac{1}{a}\left(x-1 \right)^2\ \ \Leftrightarrow\ \ \left(ax\right)^2=\left(x-1 \right)^2\end{align*}}$
となり、a＞0、0≦x≦1なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf ax=1-x\ (>0)\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ x=\frac{1}{a+1}}\end{align*}}$ ．
(2)
C1、C2、x軸の位置関係は右図のようになるので、
(1)で求めたC1，C2の交点のx座標をpとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\ (a)=\int_0^pax^2dx+\int_p^1\frac{1}{a}\left(x-1 \right)^2dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\frac{a}{3}\ x^3 \right]_0^p+\left[\frac{1}{3a}\left(x-1\right)^3 \right]_p^1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{a}{3}\ p^3-\frac{1}{3a}\left(p-1\right)^3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{a}{3}\left(\frac{1}{a+1}\right)^3-\frac{1}{3a}\left(\frac{1}{a+1}-1\right)^3\end{align*}}$ ←(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{a^2+a}{3\left(a+1 \right)^3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{a}{3\left(a+1 \right)^2}}\end{align*}}$
(3)
(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\ (a)=\frac{a}{3\left(a^2+2a+1 \right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3\left(a+ \frac{1}{a}+2\right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \leqq \frac{1}{3\left(2\sqrt{a\cdot \frac{1}{a}}+2\right)}\end{align*}}$ ←a＞0より相加・相乗平均
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{12}\end{align*}}$ ．
等号が成立するのは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=\frac{1}{a}\ \ \Leftrightarrow\ \ a=1\ \ (>0)\end{align*}}$
のときである。
以上より、
a=1 のとき、S(a)は最大値 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{12}\end{align*}}$ をとる。
(1)は、符号に気をつけましょう。
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- 2014/05/29(木) 23:54:00|
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第4問
数列{an}の初項a1から第n項anまでの和Snが
Sn=2an+n2－n （n=1，2，3，…）
をみたすとする。
(1) a1とa2を求めよ。
(2) an+1－2anをnの式で表せ。
(3) bn=an+1－an－2 （n=1，2，3，…）とおくと、数列{bn}は
等比数列となることを示し、初項b1と公比を求めよ。
(4) anをnの式で表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
Sn=2an+n2－n ……(#)
(1)
S1=a1より、(#)はn=1のとき
a1=2a1+12－1 ⇔ a1=0
となる。
S2=a1+a2より、(#)はn=2のとき
0+a2=2a2+22－2 ⇔ a2=－2
となる。
(2)
(#)より
Sn+1=2an+1+(n+1)2－(n+1)
Sn=2an+n2－n
これら2式の差をとると、Sn+1－Sn=an+1より、
an+1=2an+1－2an+(n+1)2－(n+1)－(n2－n)
⇔ an+1－2an=－2n ……(*)
となる。
(3)
(*)より
an+2－2an+1=－2(n+1)
an+1－2an=－2n
これら2式の差をとると、bn=an+1－an－2なので、
an+2－an+1－2(an+1－an)=－2
⇔ (bn+1+2)－2(bn+2)=－2
⇔ bn+1=2bn
となり、数列{bn}は、公比2の等比数列となる。
また初項は、
b1=a2－a1－2=－4 ←(1)より
である。
(4)
(3)より、数列{bn}の一般項は、
bn=－4･2n-1
となるので、
an+1－an－2=－4･2n-1
⇔ an+1－an=2－4･2n-1．
これは、数列{an}の階差数列を表すので、
n≧2のとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}\left(2-4\cdot 2^{k-1} \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =0+2\left(n-1 \right)-\frac{4\left(2^{n-1}-1 \right)}{2-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 2n-2^{n+1}+2}\end{align*}}$
これは、n=1のときも成り立つ。
上から順にスイスイーっと誘導に乗っていきましょう！
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- 2014/05/29(木) 23:57:00|
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