第1問
数直線上の座標xに点Pがあるとき、表と裏がそれぞれ $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ の確率
で出る硬貨2枚を1回投げて、点Pの位置を次のように決める。
(ⅰ)2枚とも表が出たときは、座標x+1に移動する。
(ⅱ)2枚とも裏が出たときは、座標x－1に移動する。
(ⅲ)表と裏が1枚ずつ出たときは、移動しない。
点Pの最初の位置を座標0とする。硬貨2枚を5回投げ終わったときに、
点Pが次の位置にある確率をそれぞれ求めよ。
(1) 座標4
(2) 座標3
(3) 座標0
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
5回のうち、(ⅰ)、(ⅱ)、(ⅲ)の起こる回数をそれぞれ
a、b、cとすると、
a+b+c=5 ……(#)
であり、1回投げたとき、(ⅰ)、(ⅱ)、(ⅲ)が起こる確率はそれぞれ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4}\ \ ,\ \ \frac{1}{4}\ \ ,\ \ \frac{1}{2}\end{align*}}$
である。
(1)
5回の操作の後に点Pが座標4にあるのは、
a－b=4
のときであり、これと(#)を同時に満たすようなa、b、cの組は、
(a，b，c)=(4，0，1)
のみなので、その確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf _5C_4\left(\frac{1}{4}\right)^4\cdot\frac{1}{2}=\underline{\ \frac{5}{512}}\end{align*}}$
(2)
5回の操作の後に点Pが座標3にあるのは、
a－b=3
のときであり、これと(#)を同時に満たすようなa、b、cの組は、
(a，b，c)=(3，0，2)、(4，1，0)
のいずれかなので、その確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf _5C_3\left(\frac{1}{4}\right)^3\left(\frac{1}{2}\right)^2+_5C_4\left(\frac{1}{4}\right)^4\cdot\frac{1}{4}=\underline{\ \frac{45}{1024}}\end{align*}}$
(3)
5回の操作の後に点Pが座標0にあるのは、
a－b=0
のときであり、これと(#)を同時に満たすようなa、b、cの組は、
(a，b，c)=(0，0，5)、(1，1，3)、(2，2，1)
のいずれかなので、その確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1}{2}\right)^5+\frac{5!}{3!}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^3+\frac{5!}{2!\ 2!}\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^2\left(\frac{1}{4}\right)^2\cdot\frac{1}{2}=\underline{\ \frac{63}{256}}\end{align*}}$
もれなく書き出すだけですが、順序も考慮に入れましょう。
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- 2014/05/25(日) 23:57:00|
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第2問
OA=OB=1をみたす二等辺三角形OABにおいて、辺ABを1：3に
内分する点をP、辺OBの中点をQ、直線OPと直線AQの交点をR、
直線BRと辺OAの交点をSとし、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}=\overrightarrow{\sf OA}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf b}=\overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ とおく。
直線BSは辺OAと直交しているとする。
(1) ベクトル $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OR}\end{align*}}$ を $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ を用いて表せ。
(2) ベクトル $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BS}\end{align*}}$ を $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ を用いて表せ。
(3) 内積 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ を求めよ。
(4) 三角形OABの面積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
メネラウスの定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{QB}{OQ}\cdot\frac{AP}{BA}\cdot\frac{RO}{PR}=\frac{1}{1}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{RO}{PR}=1\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{RO}{PR}=4\end{align*}}$
なので、 
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OR}=\frac{4}{5}\ \overrightarrow{\sf OP}=\frac{4}{5}\cdot\frac{3\overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OB}}{1+3}=\underline{\ \frac{3\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}}{5}}\end{align*}}$
(2)
チェバの定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{SA}{OS}\cdot\frac{PB}{AP}\cdot\frac{QO}{OS}=\frac{SA}{OS}\cdot\frac{3}{1}\cdot\frac{1}{1}=1\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{SA}{OS}=4\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BS}=\overrightarrow{\sf OS}-\overrightarrow{\sf OB}=\underline{\ \frac{3}{4}\overrightarrow{\sf a}-\overrightarrow{\sf b}}\end{align*}}$
(3)
BS⊥OAなので、(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BS}\cdot\overrightarrow{\sf OA}=\left(\frac{3}{4}\overrightarrow{\sf a}-\overrightarrow{\sf b}\right)\cdot\overrightarrow{\sf a}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{3}{4}|\overrightarrow{\sf a}|^2-\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=\frac{3}{4}|\overrightarrow{\sf a}|^2=\underline{\ \frac{3}{4}}\end{align*}}$
(4)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle OAB=\frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{\sf a}|^2|\overrightarrow{\sf b}|^2-\left(\overrightarrow{\sf a}\cdot \overrightarrow{\sf b}\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\sqrt{1^2\cdot1^2-\left(\frac{3}{4}\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{\sqrt7}{8}}\end{align*}}$
(4)で使っている面積の公式は大丈夫ですよね？
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- 2014/05/26(月) 23:57:00|
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第3問
a、bを定数とし、2次の正方行列A、X、Yは
A=aX+bY、 X+Y=E、 XY=O
をみたすとする。ここで、EとOはそれぞれ2次の単位行列と零行列
を表す。このとき、X+Y=Eの両辺に左からXをかけるとX2=Xが
成り立つことが分かる。
(1) Y2=Y、 YX=Oが成り立つことを示せ。
(2) AがEの定数倍でないとき、A－aEとA－bEはともに逆行列を
もたないことを示せ。
(3) $\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix} \sf -1&\sf 2 \\ \sf 6 & \sf 3 \end{pmatrix}\end{align*}}$ のとき、a、b （a＜b）およびX、Yを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
X+Y=E ……(#)
(1)
(#)の両辺に右からYをかけると、
XY+Y2=Y
となり、XY=O なので、Y2=Y が成り立つ。
(#)の両辺に左からYをかけると、
YX+Y2=Y
となり、Y2=Y なのでYX=O が成り立つ。
(2)
A－aEに右からXをかけると、
(A－aE)X={(aX+bY)-aE}X
=a(X2－X)+bYX
となり、X2=X かつ YX=O なので
(A－aE)X=O ……(*)
ここで、A－aEの逆行列が存在すると仮定すると、
(*)の両辺に左から(A－aE)-1をかけると
X=O
となり、これと(#)より Y=E・
このとき、A=aX+bY=bE となり、AがEの定数倍でない
ことに矛盾する。
よって、A－aEの逆行列は存在しない。
同様にして、A－bEに右からYをかけると、
(A－bE)Y=aX+b(Y2－Y)+bYX=O
となるので、A－bEの逆行列が存在すると仮定すると、
Y=O、 X=E、 A=aX
となり、AがEの定数倍でないことに矛盾するため、
A－bEの逆行列も存在しない。
(3)
A－aEの成分は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A-aE=\begin{pmatrix} \sf -1&\sf 2 \\ \sf 6 & \sf 3 \end{pmatrix}-a\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf -1-a&\sf 2 \\ \sf 3 & \sf 3-a \end{pmatrix}\end{align*}}$
であり、(2)より、これが逆行列を持たないので、
デターミナントを考えると、
(－1－a)(3－a)－120=0
⇔ a2－2a－15=(a－5)(a+3)=0
⇔ a=－3， 5
となる。
A－bEについても同様に計算すると、b=－3，5 となり、
題意よりa＜bなので、
a=－3、 b=5
このとき、これと(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=-3X+5Y=\begin{pmatrix} \sf -1&\sf 2 \\ \sf 6 & \sf 3 \end{pmatrix}\end{align*}}$ ……(ⅰ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X+Y=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 1 \end{pmatrix}\end{align*}}$ ……(ⅱ)
となり、
(ⅰ)－(ⅱ)×5より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -8X=\begin{pmatrix} \sf -6&\sf 2 \\ \sf 6 & \sf -2 \end{pmatrix}\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ X=\frac{1}{4}\begin{pmatrix} \sf 3&\sf -1 \\ \sf -3 & \sf 1 \end{pmatrix}}\end{align*}}$
(ⅰ)+(ⅱ)×3より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 8Y=\begin{pmatrix} \sf 2&\sf 2 \\ \sf 6 & \sf 6 \end{pmatrix}\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ Y=\frac{1}{4}\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 1 \\ \sf 3 & \sf 3 \end{pmatrix}}\end{align*}}$
(2)で背理法を用いるところが難しいかもしれませんね。
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- 2014/05/27(火) 23:57:00|
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第4問
定数cは1＜c＜$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ をみたすとし、0≦x＜1で定義された2つの関数
$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=x+\sqrt{1-x^2}\ \ ,\ \ g\ (x)=c\ f\ (x)-x\sqrt{1-x^2}\end{align*}}$
を考える。g(x)の導関数をg’(x)と表す。
(1) f(x)の最大値と最小値を求めよ。また、それらを与えるxの値も
求めよ。
(2) g’(x)=h(x)(c－f(x))をみたす関数h(x)を求めよ。
(3) g(x)の最大値を求めよ。ただし、最大値を与えるxの値を求める
必要はない。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
f(x)の導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=1+\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\sqrt{1-x^2}-x}{\sqrt{1-x^2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1-2x^2}{\sqrt{1-x^2}\left(\sqrt{1-x^2}+x\right)}\end{align*}}$
となるので、f(x)の増減は次のようになる。
よって、
x=1のとき、f(x)は最小値 1
x=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\sqrt2}\end{align*}}$ のとき、f(x)は最大値 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$
をとる。
(2)
g(x)の導関数を計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ '(x)=c\ f\ '(x)-\left(\sqrt{1-x^2}+x\cdot \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\sqrt{1-x^2}-x}{\sqrt{1-x^2}}\ c-\frac{\left(\sqrt{1-x^2} \right)^2-x^2}{\sqrt{1-x^2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\sqrt{1-x^2}-x}{\sqrt{1-x^2}}\ c-\frac{\left(\sqrt{1-x^2} -x\right)\left(\sqrt{1-x^2} +x\right)}{\sqrt{1-x^2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\sqrt{1-x^2}-x}{\sqrt{1-x^2}}\left\{c-\left(\sqrt{1-x^2}+x\right)\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\sqrt{1-x^2}-x}{\sqrt{1-x^2}}\left(c-f\ (x)\right)\end{align*}}$
となるので、題意を満たす関数h(x)は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ h\ (x)=\frac{\sqrt{1-x^2}-x}{\sqrt{1-x^2}}\ \ \left(=f\ '(x)\right)}\end{align*}}$
である。
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1\lt c\lt\sqrt2\end{align*}}$ なので、(1)の増減表より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (p)=f\ (q)=c\ \ \ \ \ \left(0\lt p\lt \frac{1}{\sqrt2}\lt q\lt 1 \right)\end{align*}}$
となるようなp、qが存在する（右図）。
よって、
0＜x＜pのとき c－f(x)＞0
p＜x＜qのとき c－f(x)＜0
q＜x＜1のとき c－f(x)＞0
となる。
また、h(x)はf’(x)と一致するので、h(x)の符号は、
(1)の増減表のf’(x)の符号と一致する。
これらより、g(x)の増減は次のようになる。
よって、g(x)が最大になるのは、x=pのとき、
またはx=qのときである。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c=f\ (p)=p+\sqrt{1-p^2}\end{align*}}$
の両辺を2乗すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c^2=p^2+2p\sqrt{1-p^2}+\left(1-p^2\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p\sqrt{1-p^2}=\frac{c^2-1}{2}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ (p)=c\ f(p)+p\sqrt{1-p^2}=c^2+\frac{c^2-1}{2}=\frac{c^2+1}{2}\end{align*}}$
x=qのときも同様に計算できるので、
x=p，qのときにg(x)は最大となり、その値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ (x)_{max}=\underline{\ \frac{c^2+1}{2}}\end{align*}}$
である。
最後のg(p)の値が面倒ですね。
最悪の場合、次のようにp、qの値を具体的に求めてしまうのも手です。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}c=f\ (p)=p+\sqrt{1-p^2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}\ \ \Leftrightarrow\ \ c-p=\sqrt{1-p^2}}\end{align*}}$
両辺2乗
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}c^2-2cp+p^2=1-p^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}\ \ \Leftrightarrow\ \ 2p^2-2cp+c^2-1=0}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}\ \ \Leftrightarrow\ \ p=\frac{c\pm\sqrt{2-c^2}}{2}}\end{align*}}$
p＜qより
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}p=\frac{c-\sqrt{2-c^2}}{2}\ \ ,\ \ q=\frac{c-\sqrt{2-c^2}}{2}}\end{align*}}$
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- 2014/05/28(水) 23:57:00|
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