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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2014大阪府立大学 前期理系 数学1



第1問

  数直線上の座標xに点Pがあるとき、表と裏がそれぞれ $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ の確率
  で出る硬貨2枚を1回投げて、点Pの位置を次のように決める。
    (ⅰ)2枚とも表が出たときは、座標x+1に移動する。
    (ⅱ)2枚とも裏が出たときは、座標x-1に移動する。
    (ⅲ)表と裏が1枚ずつ出たときは、移動しない。
  点Pの最初の位置を座標0とする。硬貨2枚を5回投げ終わったときに、
  点Pが次の位置にある確率をそれぞれ求めよ。

 (1) 座標4

 (2) 座標3

 (3) 座標0




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  1. 2014/05/25(日) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪府立大 前期 2014(理系)
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2014大阪府立大学 前期理系 数学2



第2問

  OA=OB=1をみたす二等辺三角形OABにおいて、辺ABを1:3に
  内分する点をP、辺OBの中点をQ、直線OPと直線AQの交点をR、
  直線BRと辺OAの交点をSとし、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}=\overrightarrow{\sf OA}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf b}=\overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ とおく。
  直線BSは辺OAと直交しているとする。

 (1) ベクトル $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OR}\end{align*}}$ を $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ を用いて表せ。

 (2) ベクトル $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BS}\end{align*}}$ を $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ を用いて表せ。

 (3) 内積 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ を求めよ。

 (4) 三角形OABの面積を求めよ。



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  1. 2014/05/26(月) 23:57:00|
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2014大阪府立大学 前期理系 数学3



第3問

  a、bを定数とし、2次の正方行列A、X、Yは
     A=aX+bY、  X+Y=E、  XY=O
  をみたすとする。ここで、EとOはそれぞれ2次の単位行列と零行列
  を表す。このとき、X+Y=Eの両辺に左からXをかけるとX2=Xが
  成り立つことが分かる。

 (1) Y2=Y、 YX=Oが成り立つことを示せ。

 (2) AがEの定数倍でないとき、A-aEとA-bEはともに逆行列を
    もたないことを示せ。

 (3) $\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix} \sf -1&\sf 2 \\ \sf 6 & \sf 3 \end{pmatrix}\end{align*}}$ のとき、a、b (a<b)およびX、Yを求めよ。




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  1. 2014/05/27(火) 23:57:00|
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2014大阪府立大学 前期理系 数学4



第4問

  定数cは1<c<$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ をみたすとし、0≦x<1で定義された2つの関数
        $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=x+\sqrt{1-x^2}\ \ ,\ \ g\ (x)=c\ f\ (x)-x\sqrt{1-x^2}\end{align*}}$
  を考える。g(x)の導関数をg’(x)と表す。

 (1) f(x)の最大値と最小値を求めよ。また、それらを与えるxの値も
    求めよ。

 (2) g’(x)=h(x)(c-f(x))をみたす関数h(x)を求めよ。

 (3) g(x)の最大値を求めよ。ただし、最大値を与えるxの値を求める
    必要はない。



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  1. 2014/05/28(水) 23:57:00|
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