第1問
a、bを実数とする。2次方程式x2+2ax+b=0の2つの解を$\small\sf{\alpha}$ 、$\small\sf{\beta}$
とする。重解の場合は$\small\sf{\alpha}$ =$\small\sf{\beta}$ と考える。次の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\alpha}$ 、$\small\sf{\beta}$ が実数で、|$\small\sf{\alpha}$ |≦1、 |$\small\sf{\beta}$ |≦1をみたすとき、点(a，b)の
存在範囲を図示せよ。
(2) $\small\sf{\alpha}$ は虚数とし、$\small\sf{\alpha}$ =p+qiとおく。ただし、p、qは実数であり、
iは虚数単位である。p、qがp2+q2≦1をみたすとき、点(a，b)
の存在範囲を図示せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
x2+2ax+b=0 ……(#)
(1)
(#)が実数解を持つので、判別式Dを考えると、
D/4=a2－b≧0 ⇔ b≦a2
また、(#)の左辺をf(x)とおくと、
f(x)=(x+a)2+b－a2
なので、(#)が－1≦x≦1の範囲に2つの実数解を持つためには、
軸 －1≦－a≦1 ⇔ －1≦a≦1
f(1)=1+2a+b≧0 ⇔ b≧－2a－1
f(－1)=1－2a+b≧0 ⇔ b≧2a－1
をすべて満たせばよい。
放物線b=a2と直線b=－2a－1の共有点
a2=－2a－1
⇔ a2+2a+1=(a+1)2=0
⇔ a=－1、 b=1
放物線b=a2と直線b=2a－1の共有点
a2=2a－1
⇔ a2－2a+1=(a－1)2=0
⇔ a=1、 b=1
よって、題意を満たすような点(a，b)の
存在範囲は右図のようになる。
（境界線上の点も含む）
(2)
(#)が虚数解を持つので、判別式Dを考えると、
D/4＜0 ⇔ b＞a2
また、(#)の解は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=-a\pm\sqrt{a^2-b}=-a\pm\sqrt{b-a^2}\ i\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p=-a\ \ ,\ \ q=\pm\sqrt{b-a^2}\end{align*}}$
となる。
題意より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p^2+q^2=\left(-a\right)^2+\left(\pm\sqrt{b-a^2}\right)^2\leqq 1\ \ \Leftrightarrow\ \ b\leqq 1\end{align*}}$
となるので、条件を満たすよな点(a，b)の
存在範囲は右図のようになる。
（放物線b=a2上の点は含まない）
まぁよくある問題ですね。
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- 2014/05/17(土) 23:57:00|
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第2問
座標空間内に4点A(0，－1，0)、B(2，0，1)、C(0，t，1)、
D(u，2，1)がある。ただし、t、uは実数であり、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AC}\end{align*}}$ は
垂直であるとする。次の問いに答えよ。
(1) tの値を求めよ。
(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}\ ,\ \overrightarrow{\sf AC}\end{align*}}$ の両方に垂直で大きさが1のベクトル $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf n}\end{align*}}$=(p，q，r)
のうちp＞0となるものを求めよ。
(3) 4点A，B，C，Dが同一平面に含まれるならばu=4であること
を示せ。
(4) u=3のとき四面体ABCDの体積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}=\left(2\ ,\ 1\ ,\ 1 \right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf AC}=\left(0\ ,\ t+1\ ,\ -1\right)\end{align*}}$
であり、これらが垂直なので、内積を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}\cdot\overrightarrow{\sf AC}=0+(t+1)-1=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ t=0}\end{align*}}$
(2)
題意より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AC}\cdot\overrightarrow{\sf n}=0+q-r=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}\cdot\overrightarrow{\sf n}=2p+q+r=0\end{align*}}$
これらを連立させると、
r=q=－p
であり、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf n}\end{align*}}$ の大きさが1であることより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf n}|^2=p^2+q^2+r^2=3p^2=1\ \ \Leftrightarrow\ \ p=\frac{1}{\sqrt3}\ \ (>0)\end{align*}}$
となる。よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \overrightarrow{\sf n}=\frac{1}{\sqrt3}\left(1\ ,\ -1\ ,\ -1 \right)}\end{align*}}$
(3)
点Dは平面ABC上にあり、(2)より 平面ABC⊥$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf n}\end{align*}}$ なので、
AD⊥$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf n}\end{align*}}$ となる。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AD}=\left(u\ ,\ 3\ ,\ 1\right)\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \overrightarrow{\sf AD}\cdot\overrightarrow{\sf n}=\frac{1}{\sqrt3}\left(u-3-1 \right)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ u=4\end{align*}}$
となるので、題意は示された。
(4)
点Dから平面ABCに下ろした垂線の足をHとすると、
実数v、wを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AH}=v\ \overrightarrow{\sf AB}+w\ \overrightarrow{\sf AC}=\left(2v\ ,\ v+w\ ,\ v-w \right)\end{align*}}$
と表すことができるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf DH}=\overrightarrow{\sf AH}-\overrightarrow{\sf AD}=\left(2v-3\ ,\ v+w-3\ ,\ v-w-1\right)\end{align*}}$
となる。
DH⊥平面ABC より DH⊥AB かつ DH⊥AC なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf DH}\end{align*}}$ は、(2)で求めた$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf n}\end{align*}}$ は平行になる。
よって、実数kを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf DH}=\sqrt3\ k\overrightarrow{\sf n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(2v-3\ ,\ v+w-3\ ,\ v-w-1\right)=k\ \left(1\ ,\ -1\ ,\ -1 \right)\end{align*}}$
と表すことができるので、両辺の成分を比較すると、
2v－3=k かつ v+w－3=－k かつ
v－w－1=－k
となる。これらを連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf v=\frac{5}{3}\ ,\ w=1\ ,\ k=\frac{1}{3}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf DH}|=\frac{\sqrt3}{3}\ |\overrightarrow{\sf n}|=\frac{\sqrt3}{3}\end{align*}}$
一方、△ABCは直角三角形なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle ABC=\frac{1}{2}\ |\overrightarrow{\sf AB}||\overrightarrow{\sf AC}|=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{4+1+1}\ \cdot\sqrt{0+1+1}=\sqrt3\end{align*}}$ ．
以上より、四面体ABCDの体積をVとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\frac{1}{3}\cdot \triangle ABC\cdot |\overrightarrow{\sf DH}|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}\cdot \sqrt3 \cdot\frac{\sqrt3}{3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{3}}\end{align*}}$
四面体の高さを求めるのが面倒ではありますが、
一度ぐらいは解いたことのある問題ですよね。
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- 2014/05/18(日) 23:57:00|
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第4問
3個のさいころを同時に投げて得点を得るゲームを行う。3個の
さいころのうち、最も大きな目が出たさいころを1個だけ、最も
小さな目が出たさいころを1個だけ、それぞれ取り除き、残った
1個のサイコロの目をCとする。とくに、3個のさいころの目が一致
するときは、その目がCである。C≧4ならば得点をCとし、C≦3
ならば得点を0点とする。次の問いに答えよ。
(1) 得点が6となる確率を求めよ。
(2) 得点が5となる確率を求めよ。
(3) 得点が4となる確率を求めよ。
(4) 得点の期待値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
3個のさいころの目の出方の総数は、63通りであり、
以下は、3つのさいころの目の組み合わせを (6，4，1)
などと表すことにする。
(1)
C=6
・3個の目が一致する場合
(6，6，6)……1通り
・2個の目だけ一致する場合
(6，6，1～5)……順序も考慮に入れて、5×3=15通り
よって、得点が6点になる確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1+15}{6^3}=\underline{\ \frac{2}{27}}\end{align*}}$
(2)
C=5
・3個の目が一致する場合
(5，5，5)……1通り
・2個の目だけ一致する場合
(6，5，5)……3通り
(5，5，1～4)……4×3=12通り
・3個の目がすべて異なる場合
(6，5，1～4)……4×3!=24通り
よって、得点が5点になる確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1+3+12+24}{6^3}=\underline{\ \frac{5}{27}}\end{align*}}$
(3)
C=4
・3個の目が一致する場合
(4，4，4)……1通り
・2個の目だけ一致する場合
(5～6，4，4)……2×3=6通り
(4，4，1～3)……3×3=9通り
・3個の目がすべて異なる場合
(5～6，4，1～3)……2×3×3!=36通り
よって、得点が4点になる確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1+6+9+36}{6^3}=\underline{\ \frac{13}{54}}\end{align*}}$
(4)
(1)～(3)以外の場合は全て得点が0なので、
得点の期待値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 6\times\frac{2}{27}+5\times\frac{5}{27}+4\times\frac{13}{54}=\underline{\ \frac{7}{3}}\end{align*}}$
となる。
重複があるので、組み合わせではなく順列で考えます。
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- 2014/05/20(火) 23:57:00|
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