第1問
a、bを実数とし、定積分 $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\pi}\left(x-a-b\cos x\right)^2dx\end{align*}}$ の値をI(a，b)とおく。
次の問いに答えよ。
(1) 不定積分 $\small\sf{\begin{align*} \sf \int\ \cos^2x\ dx\end{align*}}$ を求めよ。
(2) 不定積分 $\small\sf{\begin{align*} \sf \int\ x\cos x\ dx\end{align*}}$ を求めよ。
(3) I(a，b)をa、bを用いて表せ。
(4) a、bが実数全体を動くときのI(a，b)の最小値、および、I(a，b)が
最小値をとるときのa、bの値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
半角公式を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int\cos^2x\ dx=\int\frac{1+\cos 2x}{2}\ dx=\underline{\ \frac{1}{2}\left(x+ \frac{1}{2}\sin 2x\right)+C_1}\end{align*}}$
（C1は積分定数）
(2)
部分積分法を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int x\cos x\ dx=x\sin x-\int\sin x\ dx=\underline{\ x\sin x+cos x+C_2}\end{align*}}$
（C2は積分定数）
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf I\ (a,b)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{\pi}\left(x-a-b\cos x\right)^2dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{\pi}\left(x^2-2ax+a^2+2ab\cos x+b^2\cos^2 x-2bx\cos x\right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\bigg[\frac{x^3}{3}-ax^2+a^2x+2ab\sin x+\frac{b^2}{2}\left(x+\frac{1}{2}\sin 2x\right)-2b\left(x\sin x+\cos x\right)\bigg]_0^{\pi}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \pi a^2-\pi^2a+\frac{\pi}{2}b^2+4b+\frac{\pi^3}{3}}\end{align*}}$
(4)
(3)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf I(a,b)=\pi \left(a^2-\pi a\right)+\frac{\pi}{2}\left(b^2+\frac{8}{\pi}\ b\right)+\frac{\pi^3}{3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi \left(a-\frac{\pi}{2} \right)^2+\frac{\pi}{2}\left(b+\frac{4}{\pi}\right)^2+\frac{\pi^3}{12}-\frac{8}{\pi}\end{align*}}$
と変形できる。
a、bは実数なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a=\frac{\pi}{2}\ \ ,\ \ b=-\frac{4}{\pi}}\end{align*}}$
のときI(a，b)は最小となり、その値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ I(a,b)_{min}=\frac{\pi^3}{12}-\frac{8}{\pi}}\end{align*}}$
となる。
丁寧に計算しましょう。
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- 2014/05/21(水) 23:57:00|
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第2問
a＞0、b＞0とし、座標平面上の楕円
$\small\sf{\begin{align*} \sf K:\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\end{align*}}$
上の2点
$\small\sf{\begin{align*} \sf A\left(a\cos\theta\ ,\ b\sin\theta \right)\ \ ,\ \ B\left(a\cos \left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)\ ,\ b\sin\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)\right)\end{align*}}$
のそれぞれにおけるKの接線をL、mとする。ただし、0≦$\small\sf{\theta}$ ≦$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{4}\end{align*}}$
とする。2直線Lとmの交点をC(c，d)とし、さらに2点
$\small\sf{\begin{align*} \sf D\left(a\cos \left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)\ ,\ 0\right)\ \ ,\ \ E\left(c\ ,\ 0 \right)\end{align*}}$
をとる。台形CBDEの面積をSとする。次の問いに答えよ。
(1) cおよびdをa、b、$\small\sf{\theta}$ を用いて表せ。
(2) Sをa、b、$\small\sf{\theta}$ を用いて表せ。
(3) $\small\sf{\theta}$ が0≦$\small\sf{\theta}$ ≦$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{4}\end{align*}}$ の範囲を動くときのSの最大値、および、Sが
最大値をとるときのmの傾きをa、bを用いて表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
Aにおける接線Lの方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L:\ \frac{\cos\theta}{a}\ x+\frac{\sin\theta}{b}\ y=1\end{align*}}$ ……(ⅰ)
であり、B(－asin$\scriptsize\sf{\theta}$ ，bcos$\scriptsize\sf{\theta}$ )なので、
Bにおける接線mの方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf m:\ -\frac{\sin\theta}{a}\ x+\frac{\cos\theta}{b}\ y=1\end{align*}}$ ……(ⅱ)
となる。
(ⅰ)×cos$\scriptsize\sf{\theta}$ －(ⅱ)×sin$\scriptsize\sf{\theta}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\sin^2\theta+\cos^2\theta}{a}\ x=\cos\theta-\sin\theta\ \ \Leftrightarrow\ \ x=a\left(\cos\theta-\sin\theta\right)\end{align*}}$
(ⅰ)×sin$\scriptsize\sf{\theta}$ +(ⅱ)×cos$\scriptsize\sf{\theta}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\sin^2\theta+\cos^2\theta}{b}\ y=\cos\theta+\sin\theta\ \ \Leftrightarrow\ \ y=b\left(\cos\theta+\sin\theta\right)\end{align*}}$
Lとmの交点がC(c，d)なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ c=a\left(\cos\theta-\sin\theta\right)\ \ ,\ \ d=b\left(\cos\theta+\sin\theta\right)}\end{align*}}$
(2)
(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf BD=b\cos\theta\ \ ,\ \ CE=b\left(\cos\theta+\sin\theta\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf DE=a\left(\cos\theta-\sin\theta\right)-\left(-a\sin\theta \right)=a\cos\theta \end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{2}\left\{b\cos\theta+b\left(\cos\theta+\sin\theta\right)\right\}\cdot a\cos\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\ ab\left(2\cos^2\theta+\sin\theta\cos\theta \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{4}\ ab\left(2\cos 2\theta+\sin 2\theta+2 \right)}\end{align*}}$
(3)
(2)で求めたVは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos p=\frac{1}{\sqrt5}\ \ ,\ \ \sin p=\frac{2}{\sqrt5}\ \ \ \ \left(0\lt p< \frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$
となるpを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\frac{1}{4}\ ab\left\{\sqrt5\ \left(\sin 2\theta\ \cos p+\cos 2\theta\ \sin p\right)+2 \right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{4}\ ab\left\{\sqrt5\ \sin\left(2\theta+p\right)+2 \right\}\end{align*}}$
と変形できる。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq \theta\leqq \frac{\pi}{4}\ \ \Leftrightarrow\ \ p\leqq 2\theta+p\leqq p+\frac{\pi}{2}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\theta+p=\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ すなわち $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \theta=\frac{\pi}{4}-\frac{p}{2}\end{align*}}$
のときVは最大となり、その値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V_{max}=\underline{\ \frac{\sqrt5+2}{4}\ ab\ }\end{align*}}$
である。
このときの$\scriptsize\sf{\theta}$ の値をqとおくと、cosq≠0なので、
mの傾きをMとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf M=\frac{b\sin q}{a\cos q}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{b}{a}\ \tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{p}{2}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{b}{a}\cdot\frac{1-\tan\frac{p}{2}}{1+\tan\frac{p}{2}}\end{align*}}$ ←加法定理
ここで、半角公式より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \tan^2\frac{p}{2}=\frac{1-\cos p}{1+\cos p}=\frac{1-\frac{1}{\sqrt5}}{1+\frac{1}{\sqrt5}}=\frac{\left(\sqrt5-1 \right)^2}{4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \tan\frac{p}{2}=\frac{\sqrt5-1}{2}\ \ (>0)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf M=\frac{b}{a}\cdot\frac{1-\frac{\sqrt5-1}{2}}{1+\frac{\sqrt5-1}{2}}=\frac{b}{a}\cdot\frac{3-\sqrt5}{1+\sqrt5}=\underline{\ \frac{\left(\sqrt5-2 \right)b}{a}}\end{align*}}$
最後の計算がイヤですねぇ。
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- 2014/05/22(木) 23:57:00|
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第3問
1次変換fは点(1，3)を点(3，5)へ、点(1，－1)を点(1，－1)
へ移すとする。fを表す行列をAとするとき、次の問いに答えよ。
(1) Aを求めよ。
(2) A2、A3を求めよ。
(3) 自然数nに対してAnを推測し、その推測が正しいことを数学的
帰納法によって証明せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
題意より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A\binom{1}{3}=\binom{4}{5}\ \ ,\ \ A\binom{1}{-1}=\binom{1}{-1}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 1 \\ \sf 3 & \sf -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf 3&\sf 1 \\ \sf 5 & \sf -1 \end{pmatrix}\end{align*}}$
となる。ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 1 \\ \sf 3 & \sf -1 \end{pmatrix}\end{align*}}$
とおくと、
detB=－1－3=－4≠0
なので、Bの逆行列が存在する。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix} \sf 3&\sf 1 \\ \sf 5 & \sf -1 \end{pmatrix}\cdot \frac{1}{-4}\begin{pmatrix} \sf -1&\sf -1 \\ \sf -3 & \sf 1 \end{pmatrix}=\underline{\ \frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sf 3&\sf 1 \\ \sf 1 & \sf 3 \end{pmatrix}}\end{align*}}$
となる。
(2)
(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A^2=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sf 3&\sf 1 \\ \sf 1 & \sf 3 \end{pmatrix}\cdot\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sf 3&\sf 1 \\ \sf 1 & \sf 3 \end{pmatrix}=\underline{\ \frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sf 5&\sf 3 \\ \sf 3 & \sf 5 \end{pmatrix}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A^3=A^2\cdot A=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sf 5&\sf 3 \\ \sf 3 & \sf 5 \end{pmatrix}\cdot\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sf 3&\sf 1 \\ \sf 1 & \sf 3 \end{pmatrix}=\underline{\ \frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sf 9&\sf 7 \\ \sf 7 & \sf 9 \end{pmatrix}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A^4=A^3\cdot A=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sf 9&\sf 7 \\ \sf 7 & \sf 9 \end{pmatrix}\cdot\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sf 3&\sf 1 \\ \sf 1 & \sf 3 \end{pmatrix}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sf 17&\sf 15 \\ \sf 15 & \sf 17 \end{pmatrix}\end{align*}}$
(3)
(1)、(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A^n=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sf 2^n+1&\sf 2^n-1 \\ \sf 2^n-1 & \sf 2^n+1 \end{pmatrix}\end{align*}}$
と類推することができるので、これを数学的帰納法で示す。
(ⅰ)n=1のときは自明
(ⅱ)n=kで成立すると仮定すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A^k=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sf 2^k+1&\sf 2^k-1 \\ \sf 2^k-1 & \sf 2^k+1 \end{pmatrix}\end{align*}}$
このとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A^{k+1}=A^k\cdot A\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sf 2^k+1&\sf 2^k-1 \\ \sf 2^k-1 & \sf 2^k+1 \end{pmatrix}\cdot\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sf 3&\sf 1 \\ \sf 1 & \sf 3 \end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{4}\begin{pmatrix} \sf 4\cdot2^k+2&\sf 4\cdot2^k-2 \\ \sf 4\cdot2^k-2 & \sf 4\cdot2^k+2 \end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sf 2^{k+1}+1&\sf 2^{k+1}-1 \\ \sf 2^{k+1}-1 & \sf 2^{k+1}+1 \end{pmatrix}\end{align*}}$
となり、n=k+1のときも成立する。
以上より、任意の自然数nに対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A^n=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sf 2^n+1&\sf 2^n-1 \\ \sf 2^n-1 & \sf 2^n+1 \end{pmatrix}\end{align*}}$
が成り立つ。
A4、A5、……と調べていくと、規則性に気づくと思います。
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- 2014/05/23(金) 23:57:00|
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第4問
座標空間内に4点A(0，－1，0)、B(2，t，1－t)、C(0，s，－1)、
D(3，2，1)がある。ただし、t、uは実数でt＞－1をみたし、また
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AC}\end{align*}}$ は垂直であるとする。次の問いに答えよ。
(1) sをtを用いて表せ。
(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}\ ,\ \overrightarrow{\sf AC}\end{align*}}$ の両方に垂直で大きさが1のベクトル $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf n}\end{align*}}$=(p，q，r)
のうちp＞0となるものを求めよ。
(3) 4点A，B，C，Dが同一平面に含まれるための必要十分条件は
t=－$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$ またはt=1であることを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}=\left(2\ ,\ 1+t\ ,\ 1-t \right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf AC}=\left(0\ ,\ 1+s+1\ ,\ -1\right)\end{align*}}$
であり、これらが垂直なので、内積を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}\cdot\overrightarrow{\sf AC}=0+\left(1+t \right)\left(1+s \right)-\left(1-t \right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 1+s=\frac{1-t}{1+t}\ \ \ \ \left(\because t\ne -1 \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ s=-\frac{2t}{1+t}}\end{align*}}$
(2)
題意より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AC}\cdot\overrightarrow{\sf n}=0+\left(1+s\right)q-r=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ r=\left(1+s\right)q=\frac{1-t}{1+t}\ q\end{align*}}$ ……(i)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}\cdot\overrightarrow{\sf n}=2p+\left(1+t \right)q+\left(1-t \right)r=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2p+\left(1+t \right)q+\frac{\left(1-t \right)^2}{1+t}\ q=0\end{align*}}$ ←(i)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2p+\frac{2\left(1+t^2 \right)}{1+t}\ q=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ q=-\frac{1+t}{1+t^2}\ p\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r=-\frac{1-t}{1+t^2}\ p\end{align*}}$ ←(i)より
題意より、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf n}\end{align*}}$ の大きさが1なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf n}|^2=p^2+q^2+r^2=p^2+\left(-\frac{1+t}{1+t^2}\ p \right)^2+\left(-\frac{1-t}{1+t^2}\ p \right)^2=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{t^2+3}{1+t^2}\ p^2=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p=\sqrt{\frac{t^2+1}{t^2+3}}\ \ (>0)\end{align*}}$
となる。よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \overrightarrow{\sf n}=\sqrt{\frac{t^2+1}{t^2+3}}\left(1\ ,\ -\frac{1+t}{1+t^2}\ ,\ -\frac{1-t}{1+t^2} \right)}\end{align*}}$
(3)
点Dは平面ABC上にあり、(2)より 平面ABC⊥$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf n}\end{align*}}$ なので、
AD⊥$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf n}\end{align*}}$ となる。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AD}=\left(3\ ,\ 3\ ,\ 1\right)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \overrightarrow{\sf AD}\cdot\overrightarrow{\sf n}=\sqrt{\frac{t^2+1}{t^2+3}}\left(3-\frac{3\left(1+t\right)}{1+t^2}-\frac{1-t}{1+t^2} \right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 3t^2-2t-1=\left(3t+1\right)\left(t-1\right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ t=1\ ,\ -\frac{1}{3}\end{align*}}$
となるので、題意は示された。
(3)は、(2)を上手く使いましょう。
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- 2014/05/24(土) 23:57:00|
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