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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2014大阪市立大 理系数学1



第1問

  a、bを実数とし、定積分 $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\pi}\left(x-a-b\cos x\right)^2dx\end{align*}}$ の値をI(a,b)とおく。
  次の問いに答えよ。

 (1) 不定積分 $\small\sf{\begin{align*} \sf \int\ \cos^2x\ dx\end{align*}}$ を求めよ。

 (2) 不定積分 $\small\sf{\begin{align*} \sf \int\ x\cos x\ dx\end{align*}}$ を求めよ。

 (3) I(a,b)をa、bを用いて表せ。

 (4) a、bが実数全体を動くときのI(a,b)の最小値、および、I(a,b)が
    最小値をとるときのa、bの値を求めよ。




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  1. 2014/05/21(水) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪市立大 理系 2014
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2014大阪市立大 理系数学2



第2問

  a>0、b>0とし、座標平面上の楕円
        $\small\sf{\begin{align*} \sf K:\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\end{align*}}$
  上の2点
       $\small\sf{\begin{align*} \sf A\left(a\cos\theta\ ,\ b\sin\theta \right)\ \ ,\ \ B\left(a\cos \left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)\ ,\ b\sin\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)\right)\end{align*}}$
  のそれぞれにおけるKの接線をL、mとする。ただし、0≦$\small\sf{\theta}$ ≦$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{4}\end{align*}}$
  とする。2直線Lとmの交点をC(c,d)とし、さらに2点
       $\small\sf{\begin{align*} \sf D\left(a\cos \left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)\ ,\ 0\right)\ \ ,\ \ E\left(c\ ,\ 0 \right)\end{align*}}$
  をとる。台形CBDEの面積をSとする。次の問いに答えよ。

 (1) cおよびdをa、b、$\small\sf{\theta}$ を用いて表せ。

 (2) Sをa、b、$\small\sf{\theta}$ を用いて表せ。

 (3) $\small\sf{\theta}$ が0≦$\small\sf{\theta}$ ≦$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{4}\end{align*}}$ の範囲を動くときのSの最大値、および、Sが
    最大値をとるときのmの傾きをa、bを用いて表せ。




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  1. 2014/05/22(木) 23:57:00|
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2014大阪市立大 理系数学3



第3問

  1次変換fは点(1,3)を点(3,5)へ、点(1,-1)を点(1,-1)
  へ移すとする。fを表す行列をAとするとき、次の問いに答えよ。

 (1) Aを求めよ。

 (2) A2、A3を求めよ。

 (3) 自然数nに対してAnを推測し、その推測が正しいことを数学的
    帰納法によって証明せよ。




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  1. 2014/05/23(金) 23:57:00|
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2014大阪市立大 理系数学4



第4問

  座標空間内に4点A(0,-1,0)、B(2,t,1-t)、C(0,s,-1)、
  D(3,2,1)がある。ただし、t、uは実数でt>-1をみたし、また
  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AC}\end{align*}}$ は垂直であるとする。次の問いに答えよ。

 (1) sをtを用いて表せ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}\ ,\ \overrightarrow{\sf AC}\end{align*}}$ の両方に垂直で大きさが1のベクトル $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf n}\end{align*}}$=(p,q,r)
    のうちp>0となるものを求めよ。

 (3) 4点A,B,C,Dが同一平面に含まれるための必要十分条件は
    t=-$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$ またはt=1であることを示せ。



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  1. 2014/05/24(土) 23:57:00|
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