第１問
a－b－8とb－c－8が素数となるような素数の組(a，b，c)を
すべて求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
a－b－8＝d ……(P) b－c－8＝e ……(Q)
とおくと
a＝b＋d＋8＞b
b＝c＋e＋8＞c
より、c＜b＜a ……(R) となる。
(ⅰ) c＝2のとき
(Q)より、b＝e＋10
(R)より素数a、bはともに奇数となるので、
a－bは偶数となる。
よって、(P)より素数dは偶数となるので、d＝2となり
a＝b＋10＝e＋20
(ア) e＝3k＋1（k：自然数）のとき
a＝(3k＋1)＋20＝3(k＋7)
となり、aは24以上の3の倍数となるが、
これはaが素数であることに反する。
(イ) e＝3k＋2（k：自然数）のとき
b＝(3k＋2)＋10＝3(k＋4)
となり、bは15以上の3の倍数となるが、
これはbが素数であることに反する。
よって、素数eは3の倍数なので、e＝3である。このとき、
b＝3＋10＝13
a＝3＋20＝23
となり、これらは題意を満たす。
(ⅱ) c＞2のとき
b、cともに奇数なので(ⅰ)と同様に考えると
素数eは偶数なので、e＝2である。
よって、(Q)より
b＝c＋10．
また、(ⅰ)と同様にd＝2なので、
a＝b＋10＝c＋20
となり、(ⅰ)の(ア)、(イ)と同様に考えると、
素数cは3の倍数となる。
よって、
c＝3、 b＝3＋10＝13、 a＝3＋20＝23
を得る。
(ⅰ)、(ⅱ)より、題意を満たす素数の組は
(a，b，c)＝(23，13，2)、(23，13，3)
毎年恒例の整数問題ですが、例年より手がかりが少ないので、
難しく感じるかもしれませんね。偶数の素数は2だけであること、
3の倍数である素数は3だけであることを用いています。
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- 2018/11/14(水) 01:06:00|
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第２問
0＜t＜1とし、放物線C：y＝x2上の点(t，t2)における接線をLとする。
CとLとx軸で囲まれる部分の面積をS1とし、CとLと直線x＝1で囲まれ
る部分の面積をS2とする。S1＋S2の最小値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
Cの導関数は、y’＝2xなので、Lの方程式は、
y－t2＝2t(x－t) ⇔ y＝2tx－t2
なので、x軸との交点は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0=2tx-t^2\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{t}{2}\ \ \ \left(\because t\ne 0 \right)\end{align*}}$
である。
CとLの位置関係は右図のようになるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_1=\int_0^{\frac{t}{2}}x^2dx+\int_{\frac{t}{}2}^t\left\{x^2- \left(2tx-t^2 \right)\right\}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{\frac{t}{2}}x^2dx+\int_{\frac{t}{}2}^t\left(x-t\right)^2dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\frac{1}{3}\ x^3\right]_0^{\frac{t}{}2}+\left[\frac{1}{3}\left(x-t\right)^3\right]_{\frac{t}{}2}^t\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}\left(\frac{t}{2}\right)^3-\frac{1}{3}\left(-\frac{t}{2}\right)^3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{12}\ t^3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_2=\int_t^1\left\{x^2- \left(2tx-t^2 \right)\right\}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_t^1\left(x-t\right)^2dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\frac{1}{3}\left(x-t\right)^3\right]_0^t\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}\left(1-t\right)^3\end{align*}}$
S1＋S2＝f(t)とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (t)=\frac{1}{12}\ t^3+\frac{1}{3}\left(1-t\right)^3=-\frac{1}{4}t^3+t^2-t+\frac{1}{3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(t)=-\frac{3}{4}t^2+2t-1=-\frac{1}{4}\left(3t-2\right)\left(t-2\right)\end{align*}}$
なので、0＜t＜1におけるf(t)の増減は次のようになる。
よって、S1＋S2は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\frac{2}{3}\end{align*}}$ のとき最小値 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{1}{27}}\end{align*}}$ をとる。
これは易しいので確実にゲットです！
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第３問
円C：x2＋y2＝1上の点Pにおける接線をLとする。点(1，0)を通りLと
平行な直線をmとする。直線mと円Cの(1，0)以外の共有点をP’とする。
ただし、mが直線x＝1のときはP’は(1，0)とする。
円C上の点P(s，t)から点P’(s’，t’)を得る上記の操作をTと呼ぶ。
(１) s’、t’をそれぞれsとtの多項式として表せ。
(２) 点Pに操作Tをn回繰り返して得られる点をPnとおく。Pが$\small\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{\sqrt3}{2}\ ,\ \frac{1}{2}\right)\end{align*}}$ の
とき、P1、P2、P3を図示せよ。
(３) 正の整数nについて、Pn＝Pとなるような点Pの個数を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
まず、P(s，t)は円C上の点なので、
s2＋t2＝1 ……(#)
また、接線Lの方程式は、sx＋ty＝1 であり、
t≠0のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=-\frac{s}{t}\ x+\frac{1}{t}\end{align*}}$
と変形できるので、直線mの方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=-\frac{s}{t}\left(x-1\right)\end{align*}}$
となる。C、mの2式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2+\frac{s^2}{t^2}\left(x-1\right)^2=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(s^2+t^2\right)x^2-2s^2x+s^2-t^2=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^2-2s^2x+2s^2-1=0\end{align*}}$ ←(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=1\ ,\ 2s^2-1\end{align*}}$
直線mと円Cの(1，0)以外の共有点がP’なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ s'=2s^2-1\ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t'=-\frac{s}{t}\left\{ \left(2s^2-1 \right)-1\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{s}{t}\cdot\left(-2t^2\right)\end{align*}}$ ←(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ =2st\ }\end{align*}}$
これらは、t＝0のときも成り立つ。
(２)
(#)よりs、tは$\scriptsize\sf{\theta}$ （0≦$\scriptsize\sf{\theta}$ ＜2$\scriptsize\sf{\pi}$ ）を用いて
s＝cos$\scriptsize\sf{\theta}$ 、 t＝sin$\scriptsize\sf{\theta}$
と表すことができる。
よって、(１)の結論に倍角公式を適用すると、
s’＝2cos2$\scriptsize\sf{\theta}$ ＝cos2$\scriptsize\sf{\theta}$
t’＝2cos$\scriptsize\sf{\theta}$ sin$\scriptsize\sf{\theta}$ ＝sin2$\scriptsize\sf{\theta}$
となる。
よって、1回の操作Tによって、
点(cos$\scriptsize\sf{\theta}$ ，sin$\scriptsize\sf{\theta}$ )が点(cos2$\scriptsize\sf{\theta}$ ，sin2$\scriptsize\sf{\theta}$ )に移るので、
点P(cos$\scriptsize\sf{\theta}$ ，sin$\scriptsize\sf{\theta}$ )に対して、Pn(cos2n$\scriptsize\sf{\theta}$ ，sin2n$\scriptsize\sf{\theta}$ )
となる。
これより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P\left(\frac{\sqrt3}{2}\ ,\ \frac{1}{2}\right)=\left(\cos\frac{\pi}{3}\ ,\ \sin\frac{\pi}{3}\right)\end{align*}}$
に対して、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_1\left(\cos\frac{2\pi}{3}\ ,\ \sin\frac{2\pi}{3}\right)=\left(\frac{1}{2}\ ,\ \frac{\sqrt3}{2}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_2\left(\cos\frac{4\pi}{3}\ ,\ \sin\frac{4\pi}{3}\right)=\left(-\frac{1}{2}\ ,\ \frac{\sqrt3}{2}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_3\left(\cos\frac{8\pi}{3}\ ,\ \sin\frac{8\pi}{3}\right)=\left(-\frac{1}{2}\ ,\ -\frac{\sqrt3}{2}\right)\end{align*}}$
となるので、これらを図示すると右図のようになる。
(３)
(２)より、
Pn＝P
⇔ (cos2n$\scriptsize\sf{\theta}$ ，sin2n$\scriptsize\sf{\theta}$ )＝(cos$\scriptsize\sf{\theta}$ ，sin$\scriptsize\sf{\theta}$ )
⇔ 2n$\scriptsize\sf{\theta}$ ＝$\scriptsize\sf{\theta}$ ＋2m$\scriptsize\sf{\pi}$ （m：整数）
⇔ $\scriptsize\sf{\theta}$ ＝$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2m}{2^n-1}\ \pi\ \ \ \ \left(\because n>0 \right)\end{align*}}$
となり、0≦$\scriptsize\sf{\theta}$ ＜2$\scriptsize\sf{\pi}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq\frac{2m}{2^n-1}\ \pi< 2\pi\ \ \Leftrightarrow\ \ 0\leqq m< 2^n-1\end{align*}}$
これを満たす整数mは2n－1個あるので、
題意を満たすような点Pの個数は
2n－1個
である。
三角関数で表すことに気づかないと難しいでしょうねぇ。
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第４問
半径1の球が直円錐に内接している。この直円錐の底面の半径を
rとし、表面積をSとする。
(１) Sをrを用いて表せ。
(２) Sの最小値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
直円錐の頂点をP、底面の中心をQ、
内接球の中心をOとする。
右図は、この直円錐および内接球を
3点O、P、Qを通る平面で切断したときの
断面図である。
この図において、OP＝hとおくと、
△OPT∽△APQより、AP＝rhとなり、
OQ＝OT＝1なので、
△APQに三平方の定理を用いると、
r2＋(1＋h)2＝(rh)2
⇔ (r2－1)h2－2h－(r2＋1)＝0 ．
r2－1＞0より、これを解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h=\frac{1\pm\sqrt{1+\left(r^2-1\right)\left(r^2+1\right)}}{r^2-1}\ \ \Leftrightarrow\ \ h=\frac{r^2+1}{r^2-1}\ \ (>0)\end{align*}}$
となるので、母線の長さは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AP=\frac{\left(r^2+1\right)r}{r^2-1}\end{align*}}$
である。直円錐の側面は、半径がAPで、弧の長さが
平面の円周と等しい扇形なので、側面積は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\cdot AP\cdot 2\pi\ r=\frac{\left(r^2+1\right)r^2}{r^2-1}\ \pi\end{align*}}$
となる。
よって、表面積Sは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{\left(r^2+1\right)r^2}{r^2-1}\ \pi+\pi\ r^2=\underline{\ \frac{2r^4}{r^2-1}\ \pi}\end{align*}}$
(２)
R＝r2－1（＞0)とおくと、
r4＝(r2)2＝(R＋1)2
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{2\left(R+1\right)^2}{R}\ \pi\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\left(R+ \frac{1}{R}+2\right)\pi\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \geqq 2\left(2\sqrt{R\cdot \frac{1}{R}}+2 \right)\pi\end{align*}}$ ←相加・相乗平均
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =8\pi\end{align*}}$
より、Sの最小値は、 8$\scriptsize\sf{\pi}$ である。
これは、相加・相乗平均の等号が成立するときなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf R=\frac{1}{R}\ \ \Leftrightarrow\ \ R=r^2-1=1\ (>0)\ \ \Leftrightarrow\ \ r=\sqrt2\ (>0)\end{align*}}$
のときである。
(２) 理系ならいろいろできますが、分数形なので相加相乗でしょ。
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第５問
数直線上の点Pを次の規則で移動させる。一枚の硬貨を投げて、
表が出ればPを＋1だけ移動させ、裏が出ればPを原点に関して
対称な点に移動させる。Pは初め原点にあるとし、硬貨をn回投げ
た後のPの座標をanとする。
(１) a3＝0となる確率を求めよ。
(２) a4＝1となる確率を求めよ。
(３) n≧3のとき、an＝n－3となる確率をnを用いて表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
1～3回目の硬貨によって、点Pは下図のように移動する。
（表が出たとき青矢印、裏が出たとき赤矢印）
よって、a3＝0となる確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{8}=\underline{\ \frac{1}{4}}\end{align*}}$
(２)
a4＝1となるのは、次の2つの場合がある。
(A) a3＝0で4回目に表が出る
(B) a3＝－1で4回目に裏が出る
よって、a4＝1となる確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{2}=\underline{\ \frac{3}{16}}\end{align*}}$
(３)
anが最大になるのは、n回すべてが表のときで、
その値はnである。
一方、anが最小になるのは、1～n－1回目にすべて表
が出た後、n回目に裏が出る場合で、その値は1－nである。
よって、anのとり得る値の範囲は、
1－n≦an≦n ……(#)
である。
an＝n－3となる確率をpnとおく。
an＝n－3となるのは、次の2つの場合がある。
(A) an-1＝n－4 （確率pn-1）で、n回目に表が出る
(B) an-1＝3－nで、n回目に裏が出る
(B)の場合について、
・an-1＝3－nになるためには、
an-2＝2－n または an-2＝n－3
である必要があるが、(#)より an-2＝n－3
・an-2＝n－3になるためには、
an-3＝n－4 または an-3＝3－n
である必要があるが、(#)より an-3＝n－4
・an-3＝n－4になるためには、
an-4＝n－5 または an-4＝4－n
である必要があるが、(#)より an-4＝n－5
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \vdots\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \vdots\end{align*}}$
・a2＝1になるためには、
a1＝0 または a1＝－1
である必要があるが、(#)より a1＝0
・a1＝0になるためには、1回目に裏が出ればよい。
よって、裏表表表……表表表表裏裏 の順に出れば(B)の場合が起こる。
(A)、(B)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_n=\frac{1}{2}\ p_{n-1}+\frac{1}{2^n}\end{align*}}$
が成り立ち、両辺に2nをかけると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2^{n}\ p_n=2^{n-1}p_{n-1}+1\end{align*}}$
となるので、数列{2npn}は等差数列となる。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2^{n}\ p_n=2^{3}p_{3}+(n-3)=8\cdot\frac{1}{4}+(n-3)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ p_n=\frac{n-1}{2^{n}}}\end{align*}}$
(３)が難しいでしょうね。
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