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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2014京都府立医科大 数学1



第1問

  a、bを正の実数とする。eは自然対数の底とし、2.7<eを用いてもよい。

 (1) a<bとする。このときab=baならば1<a<e<bであることを証明せよ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*}\sf \sqrt5^{\sqrt7}\end{align*}}$ と $\small\sf{\begin{align*}\sf \sqrt7^{\sqrt5}\end{align*}}$ の大小を比較せよ。



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  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .京都府立医大 2014
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2014京都府立医科大 数学2



第2問

  1辺の長さが2の正四面体ABCDをTとおく。直線BDと平行な平面Hで
  Tを切断したところ、Hは辺AB、BC、CD、DAとそれぞれP、Q、R、Sで
  交わり、PS:QR=2:3となった。

 (1) 2直線PSとBDは平行であることを証明せよ。

 (2) △PBQと△SDRは合同であることを証明せよ。

 (3) $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf PS=2a\ \ \left(0\lt a\lt\frac{2}{3}\right)\end{align*}}$ とおくとき、四角形PQRSの面積S(a)をaを
    用いて表せ。

 (4) S(a)が最大となるaの値を求めよ。



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2014京都府立医科大 数学3



第3問

        $\small\sf{\begin{align*}\sf f\ (x)=\log\frac{x^2+1}{2}\end{align*}}$
  とおく。xy平面上の円Cと曲線D:y=f(x)はDのすべての
  変曲点で接しているとする。ただし、2つの曲線がある点で
  接するとはその点で交通の接線をもつことをいう。

 (1) 増減、凹凸に注意して関数y=f(x)のグラフをかけ。

 (2) Cの方程式を求めよ。

 (3) CとDの共有点はDの変曲点のみであることを証明せよ。

 (4) CとDで囲まれた部分の面積を求めよ。


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2014京都府立医科大 数学4



第4問

  xy平面上の曲線C:x3+y3=26を考える。C上の点P(a,b)で
  a、bがともに有理数であるときPをC上の有理点という。たとえば、
  (-1,3)や $\small\sf{\begin{align*}\sf \left(\frac{53}{28},\frac{75}{28}\right)\end{align*}}$ はC上の有理点である。
        $\small\sf{\begin{align*}\sf h\ (x)=\frac{x\left(-x^3+52\right)}{2x^3-26}\end{align*}}$
  とおく。

 (1) $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a^3+b^3=26\ \ \left(a\ne\sqrt[3]{13}\ ,\ b\ne\sqrt[3]{13}\right)\end{align*}}$ のとき、{h(a)}3+{h(b)}3
    の値を求めよ。

 (2) 有理数 $\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{p}{q}\end{align*}}$ (p、qは互いに素な整数で、q>0)に対して、 $\small\sf{\begin{align*}\sf h\left(\frac{p}{q}\right)\end{align*}}$
    を $\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{p'}{q'}\end{align*}}$ (p’、q’は互いに素な整数で、q’>0)と表す。
    pが奇数ならば、p’は奇数でq’≧2qであることを証明せよ。
    ただし、2つの整数が互いに素とは、その最大公約数が1である
    ことをいう。

 (3) C上には無限の有理点が存在することを示せ。




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