青木ゼミ青木大学入試(数学)　.関西の公立大学　.京都府立医大　2014

2014京都府立医科大　数学１

第１問

　　a、bを正の実数とする。eは自然対数の底とし、2.7＜eを用いてもよい。

　(１) a＜bとする。このときa^b＝b^aならば1＜a＜e＜bであることを証明せよ。

　(２) $\small\sf{\begin{align*}\sf \sqrt5^{\sqrt7}\end{align*}}$ と $\small\sf{\begin{align*}\sf \sqrt7^{\sqrt5}\end{align*}}$ の大小を比較せよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(１)
　　　a、b＞より　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a^b=b^a\ \ \Leftrightarrow\ \ \log a^b=\log b^a\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ b\log a=a\log b\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{\log a}{a}=\frac{\log b}{b}\end{align*}}$ ．
　　　ここで、xの関数f(x)を
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)=\frac{\log x}{x}\ \ \ \ \left(0\lt x\right)\end{align*}}$
　　　とおくと、導関数は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f'(x)=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-(\log x)\cdot 1}{x^2}=\frac{1-\log x}{x^2}\end{align*}}$
　　　となるので、f(x)の増減およびy＝f(x)のグラフは、
　　　次のようになる。

　　　　　

　　　よって、0＜a＜bであるa、bがf(a)＝f(b)を満たすとき、
　　　　　　　　1＜a＜e＜b
　　　となるので、題意は示された。

　(２)
　　　2.7²＝7.29なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 1\lt\sqrt5lt\sqrt7\lt 2.7\lt e\end{align*}}$ ．
　　　(１)より、f(x)は1＜x＜eの範囲で単調に増加するので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\left(\sqrt5\right)\lt f\left(\sqrt7\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{\log\sqrt5}{\sqrt5}\lt\frac{\log\sqrt7}{\sqrt7}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sqrt7\log\sqrt5\lt\sqrt5\log\sqrt7\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \log\sqrt5^{\sqrt7}\lt\log\sqrt7^{\sqrt5}\end{align*}}$
　　　となり、e＞1なので
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sqrt5^{\sqrt7}\lt\sqrt7^{\sqrt5}\end{align*}}$
　　　である。

　　うまく式変形すると、f(x)に気づくはずです。　　

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2014京都府立医科大　数学２

第２問

　　1辺の長さが2の正四面体ABCDをTとおく。直線BDと平行な平面Hで
　　Tを切断したところ、Hは辺AB、BC、CD、DAとそれぞれP、Q、R、Sで
　　交わり、PS：QR＝2：3となった。

　(１) 2直線PSとBDは平行であることを証明せよ。

　(２) △PBQと△SDRは合同であることを証明せよ。

　(３) $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf PS=2a\ \ \left(0\lt a\lt\frac{2}{3}\right)\end{align*}}$ とおくとき、四角形PQRSの面積S(a)をaを
　　　用いて表せ。

　(４) S(a)が最大となるaの値を求めよ。

解答はこちら↓

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【解答】

　(１)
　　　2直線PS、BDはともに平面ABD上にあるので、
　　　これらの位置関係は、
　　　　　　・交わっている
　　　　　　・平行
　　　のいずれかである。
　　　ところが、BDと平面Hは平行なので、直線BDは
　　　平面H上の直線PSと交わることはない。
　　　よって、2直線PSとBDは平行である。

　(２)
　　　PS//BDより△APS∽△ABDとなるので、
　　　△APSは一辺が2aの正三角形である。
　　　よって、
　　　　　　　　PB＝SD＝2－2a．
　　　同様に、QR//BDより△QCRは一辺が3aの正三角形に
　　　なるので、
　　　　　　　　QB＝RD＝2－3a．
　　　また、∠PBQ＝∠SDR＝60°なので、
　　　二辺とその間の角がそれぞれ等しい。
　　　よって、△PBQと△SDRは合同である。

　(３)
　　　△PBQに余弦定理を用いると、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf PQ^2=\left(2-2a\right)^2+\left(2-3a\right)^2-2\left(2-2a\right)\left(2-3a\right)\cdot \cos 60^{\circ}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =7a^2-10a+4\end{align*}}$ ．
　　　PS//BD//QRおよび(２)より、
　　　四角形PQRSは等脚台形になるので、
　　　PからQRに垂線PHを下ろすと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf QH=\frac{QR-PS}{2}=\frac{a}{2}\end{align*}}$ ．
　　　△PQHにおいて三平方の定理より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf PH=\sqrt{\left(7a^2-10a+4\right)-\left(\frac{a}{2}\right)^2}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{1}{2}\sqrt{27a^2-40a+16}\end{align*}}$
　　　となり、これが台形PQRSの高さになるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S(a)=\frac{1}{2}\left(2a+3a\right)\cdot\frac{1}{2}\sqrt{27a^2-40a+16}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{\ \frac{5}{4}\sqrt{27a^4-40a^3+16a^2}}\end{align*}}$

　(４)
　　　関数f(a)を
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(a)=27a^4-40a^3+16a^2\ \ \ \left(0\lt a\lt\frac{2}{3}\right)\end{align*}}$
　　　とおくと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 　f'(a)=108a^3-120a^2+32a=4a\left(3a-2\right)\left(9a-4\right)\end{align*}}$
　　　となるので、f(a)の増減は次のようになる。

　　　　　　　　

　　　f(a)が最大になるときS(a)も最大になるので、
　　　求めるaの値は、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\ a=\frac{4}{9}}\end{align*}}$ である。

　　中１内容ですが、(１)が書きにくいかもしれませんね。　　

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2014京都府立医科大　数学３

第３問

　　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*}\sf f\ (x)=\log\frac{x^2+1}{2}\end{align*}}$
　　とおく。xy平面上の円Cと曲線D：y＝f(x)はDのすべての
　　変曲点で接しているとする。ただし、2つの曲線がある点で
　　接するとはその点で交通の接線をもつことをいう。

　(１) 増減、凹凸に注意して関数y＝f(x)のグラフをかけ。

　(２) Cの方程式を求めよ。

　(３) CとDの共有点はDの変曲点のみであることを証明せよ。

　(４) CとDで囲まれた部分の面積を求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(１)
　　　まず、f(－x)＝f(x)より、Dはy軸について対称である。
　　　f(x)の第1次および第2次導関数は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ '(x)=\frac{2}{x^2+1}\cdot\left(\frac{x^2+1}{2}\right)'=\frac{2x}{x^2+1}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ ''(x)=\frac{2(x^2+1)-2x\cdot 2x}{(x^2+1)^2}=-\frac{2(x-1)(x+1)}{(x^2+1)^2}\end{align*}}$
　　　なので、f(x)のx＞0における増減・凹凸、およびDの概形は、
　　　次のようになる。

　　　　　　

　(２)
　　　(１)より、Dの変曲点は(±1，0)であり、
　　　これらを右図のようにA、A’とする。
　　　AにおけるDの接線および法線をそれぞれ
　　　L、mとすると
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf m:\ y-0=-\frac{1}{f\ '(1)}\left(x-1\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ y=-x+1\end{align*}}$
　　　となり、CはLに接するので、Cの中心は
　　　m上にある。
　　　また、Dはy軸について対称なので、
　　　Cもy軸について対称になる。

　　　以上より、Cの中心Bは、mとy軸との交点 (0，1)と一致する。
　　　よって、Cの半径は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf AB=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2\end{align*}}$
　　　なので、Cの方程式は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\ x^2+\left(y-1\right)^2=2}\end{align*}}$

　(３)　　　
　　　(２)で求めたCの式と、Dの式
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf D: y=f\ (x)=\log\frac{x^2+1}{2}\end{align*}}$
　　　を連立させてxを消去すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=\log\frac{2-\left(y-1\right)^2+1}{2}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ e^y=\frac{-y^2+2y+2}{2}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2e^y+y^2-2y-2=0\end{align*}}$　　……(#)
　　　となり、(#)の実数解が、CとDの共有点のy座標となる。
　　　(#)の左辺をg(y)とおくと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g\ '(y)=2e^y+2y-2\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g\ ''(y)=2e^y+2>0\end{align*}}$
　　　となるので、g’(y)は単調に増加する。
　　　また、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g\ '(0)=2e^0+0-2=0\end{align*}}$
　　　なので、y＜0でg’(y)＜0、 y＞0でg’(y)＞0、となる。
　　　よって、g(y)の増減は次のようになる。

　　　　　　　　

　　　これより、g(y)＝0となるのは、y＝0のときのみである。
　　　すなわち、CとDはy＝0の点A、A’のみを共有するので、
　　　題意は示されたことになる。

　(４)
　　　Cの下半分の式は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=1-\sqrt{2-x^2}\end{align*}}$
　　　と表されるので、CとDで囲まれた部分の面積Sは、
　　　図の対称性より、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S=2\int_0^1\left\{\left(1-\sqrt{2-x^2}\right)-\log\frac{x^2+1}{2}\right\}dx\end{align*}}$　　　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =2-2\int_0^1\sqrt{2-x^2}\ dx-2\int_0^1\log\frac{x^2+1}{2}dx\end{align*}}$
　　　として求めることができる。
　　　ここで、定積分 $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_0^1\sqrt{2-x^2}\ dx\end{align*}}$ の値は、
　　　右図の緑色部分の面積と等しいので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(\sqrt2\right)^2\pi\cdot\frac{1}{8}+\frac{1}{2}\cdot 1^2=\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}\end{align*}}$ ．

　　　また、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_0^1\log\frac{x^2+1}{2}dx\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\left[x\log\frac{x^2+1}{2}\right]_0^1-\int_0^1\frac{2x^2}{x^2+1}dx\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =-2\int_0^1\left(1-\frac{1}{x^2+1}\right)dx\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =-2+\int_0^{\pi/4}\frac{1}{\tan^2\theta+1}\cdot \frac{d\theta}{\cos^2\theta}\end{align*}}$　　←x＝tanθと置換
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =-2+2\int_0^{\pi/4}d\theta\ \ \ \ \left(\because\ 1+\tan^2\theta=\frac{1}{\cos^2\theta}\right)\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =-2+\frac{\pi}{2}\end{align*}}$
　　　となるので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S=2-2\left(\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}\right)-2\left(-2+\frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{\ 5-\frac{3}{2}\pi\ }\end{align*}}$

　　(３)は、少しややこしいかもしれません。　　

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2014京都府立医科大　数学４

第４問

　　xy平面上の曲線C：x³＋y³＝26を考える。C上の点P(a，b)で
　　a、bがともに有理数であるときPをC上の有理点という。たとえば、
　　(－1，3)や $\small\sf{\begin{align*}\sf \left(\frac{53}{28},\frac{75}{28}\right)\end{align*}}$ はC上の有理点である。
　　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*}\sf h\ (x)=\frac{x\left(-x^3+52\right)}{2x^3-26}\end{align*}}$
　　とおく。

　(１) $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a^3+b^3=26\ \ \left(a\ne\sqrt[3]{13}\ ,\ b\ne\sqrt[3]{13}\right)\end{align*}}$ のとき、{h(a)}³＋{h(b)}³
　　　の値を求めよ。

　(２) 有理数 $\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{p}{q}\end{align*}}$ （p、qは互いに素な整数で、q＞0）に対して、 $\small\sf{\begin{align*}\sf h\left(\frac{p}{q}\right)\end{align*}}$
　　　を $\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{p'}{q'}\end{align*}}$ （p’、q’は互いに素な整数で、q’＞0）と表す。
　　　 pが奇数ならば、p’は奇数でq’≧2qであることを証明せよ。
　　　ただし、2つの整数が互いに素とは、その最大公約数が1である
　　　ことをいう。

　(３) C上には無限の有理点が存在することを示せ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(１)
　　　　a³＋b³＝26のとき、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf h\ (a)=\frac{a\left(-a^3+52\right)}{2a^3-26}=\frac{a\left\{-(26-b^3)+52\right\}}{2(26-b^3)-26}=\frac{a\left(26-b^3\right)}{26-b^3}=a\end{align*}}$
　　　　であり、同様にh(b)＝bなので、
　　　　　　　　{h(a)}³＋{h(b)}³＝a³＋b³＝26

　(２)
　　　題意より
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{p'}{q'}=h\left(\frac{p}{q}\right)=\frac{\frac{p}{q}\left\{-\left(\frac{p}{q}\right)^3+52\right\}}{2\left(\frac{p}{q}\right)^3-26}=\frac{p\left(-p^3+52q^3\right)}{2q\left(p^3-13q^3\right)}\end{align*}}$　　……(#)
　　　pが奇数のとき、p³は奇数、52q³は偶数なので、
　　　p(－p³＋52q³)は奇数である。
　　　よって、p’はp(－p³＋52q³)の約数なので、奇数である。

　　　－p³＋52q³とqの最大公約数をrとし、
　　　　　　　　－p³＋52q³＝rA、　　q＝rQ
　　　とおく（A、Qは互いに素な整数）。
　　　これらからqを消去すると、
　　　　　　　　－p³＋52r³Q³＝rA
　　　　　⇔　p³＝r(52r²Q³－A)
　　　となり、p³はrの倍数である。題意より、pとqは互いに素なので、
　　　r＝1となり、－p³＋52q³とqは互いに素である。
　　　よって、(#)の分数 $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{p\left(-p^3+52q^3\right)}{2q\left(p^3-13q^3\right)}\end{align*}}$ において、分母の2qが
　　　約分によって消えることはないので、q’≧2qとなる。

　(３)
　　　　　　　x₁＝－1、 x_n+1＝h(x_n)　
　　　　　　　y₁＝3、 y_n+1＝h(y_n)　（n＝1，2，3，…）
　　　で定義される数列{x_n}、{y_n}を考え、任意のnに対して
　　　xy平面上の点P_n(x_n，y_n)がC上の有理点であることを
　　　数学的帰納法で示す。

　　　(ⅰ) n＝1のとき
　　　　　　　　x₁³＋y₁³＝(－1)³＋3³＝26
　　　　　となるので、P₁はC上の有理点である。
　　　(ⅱ) P_kがC上の有理点であると仮定すると、
　　　　　　　　　x_k³＋y_k³＝26
　　　　　であり、(１)より
　　　　　　　x_k+1³＋y_k+1³＝{h(x_k)}³＋{h(y_k)}³＝26
　　　　　　となるので、点P_k+1もC上の有理点となる。
　　　よって、任意の自然数nに対して、点P_n(x_n，y_n)はC上の有理点
　　　である。
　　
　　　次に、xを
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x_n=\frac{p_n}{q_n}\ \ \ \ \ \left(n=1,2,3,\ldots\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　（p_n、q_nは互いに素な整数で、q_n＞0）
　　　とおくと、p₁＝－1は奇数なので、(２)より、
　　　　　　　　p₂は奇数であり、q₂≧2q₁
　　　となる。以下も帰納的に、
　　　　　　　　p₃、p₄、p₅、…… はすべて奇数であり、
　　　　　　　　q₃≧2q₂、q₃≧2q₄、……
　　　が成り立つ。すなわち、
　　　　　　　　q₁＜q₂＜q₃＜q₄＜……
　　　となるので、x_n（n＝1，2，3，…）はすべて異なる値をとる。
　　　よって、無限個の点P_n（n＝1，2，3，…）はすべて異なる点
　　　である。

　　　以上より、C上には無限の有理点P_n（n＝1，2，3，…）が存在する。
　　　　　　　

　　(３)では、点P_n（n＝1，2，3，…）がすべて異なることを示す必要がありますが、
　　(２)の結論を上手く使いましょう。　　

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