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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2009大阪大 理系数学1




第1問

  放物線$\small\sf{\sf C:\ y=x^2}$ 上の点$\small\sf{\sf A_1(a_1,\ a_1^2)\ ,\ A_2(a_2,\ a_2^2)\ ,\ A_3(a_3,\ a_3^2)\ ,\ \cdots}$
  を、Ak+2(k≧1)におけるCの接線が直線AkAk+1に平行であるようにとる。
  ただし、a1<a2とする。三角形AkAk+1Ak+2の面積をTkとし、直線A1A2
  Cで囲まれた部分の面積をSとする。このとき次の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{T_{k+1}}{T_k}\end{align*}}$ を求めよ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \sum_{k=1}^n\ T_k\end{align*}}$ をSを用いて表せ。



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  1. 2011/11/05(土) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪大 理系 2009
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2009大阪大 理系数学2




第2問

  行列
      $\small\sf{\begin{align*} \sf A=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sf \cos\frac{\pi}{3}&\sf -\sin\frac{\pi}{3}\\ \sf \sin\frac{\pi}{3}& \sf \cos\frac{\pi}{3} \end{pmatrix}\end{align*}}$
  の表す一次変換をfとする。点$\small\sf{\sf P(16 \sqrt{3}\ ,\ 6)}$ をとり、$\small\sf{\sf P_1=f(P)}$ 、
  $\small\sf{\sf P_{n+1}=f(P_n)\ \  (n=1,2,3,\cdots )}$ とする。正の整数kに対して、
  次の条件を満たす領域をDkとする。
      $\small\sf{\sf x\lt 0 \ ,\ \ y\lt 0\ ,\ \ \sqrt{3}\ x+y\leqq -2^{-k}}$
  このとき、Dkに含まれるPnの個数をkで表せ。


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  1. 2011/11/06(日) 23:57:00|
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2009大阪大 理系数学3




第3問

  $\small\sf{\alpha}$ を2次方程式 $\small\sf{\sf x^2-2x-1=0}$ の解とするとき、 $\small\sf{\sf (a+5\alpha)(b+5c\alpha)=1}$
  を満たす整数の組(a,b,c)をすべて求めよ。ただし、必要ならば $\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ が無
  理数であることは証明せずに用いてよい。



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  1. 2011/11/07(月) 23:57:00|
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2009大阪大 理系数学4




第4問

  平面上の三角形OABを考え、辺ABの中点をMとする。
     $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}=\frac{\overrightarrow{\sf OA}}{|\overrightarrow{\sf OA}|}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf b}=\frac{\overrightarrow{\sf OB}}{|\overrightarrow{\sf OB}|}\end{align*}}$
  とおき、点Pを $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\ \cdot\overrightarrow{\sf OP}=-\overrightarrow{\sf b}\ \cdot\overrightarrow{\sf OP}>0\end{align*}}$ であるようにとる。直線OPにAから
  下ろした垂線と直線OPの交点をQとする。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf MQ}\end{align*}}$ と $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ は平行であることを示せ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf MQ}|=\frac{1}{2}\left( |\overrightarrow{\sf OA}|+|\overrightarrow{\sf OB}|\right)\end{align*}}$ であることを示せ。



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  1. 2011/11/08(火) 23:57:00|
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2009大阪大 理系数学5




第5問

  $\small\sf{n=1,2,3,\cdots }$ に対して、$\small\sf{\sf y=\log (nx)}$ と $\small\sf{\begin{align*} \sf \left(x-\frac{1}{n}\right)^2+y^2=1\end{align*}}$ の交点のうち、
  第1象限にある点を(pn,qn)とする。

 (1) 不等式 $\small\sf{\begin{align*} \sf 1-q_n^2 \leqq\frac{(e-1)^2}{n^2}\end{align*}}$ を示すことにより、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ q_n=1\end{align*}}$ を証明せよ。
   ただし、eは自然数対数の底である。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf S_n=\int_{\frac{1}{n}}^{p_n}\ \log(nx)\ dx\end{align*}}$ をpnで表せ。

 (3) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ nS_n\end{align*}}$ を求めよ。


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  1. 2011/11/09(水) 23:57:00|
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