第1問
放物線$\small\sf{\sf C:\ y=x^2}$ 上の点$\small\sf{\sf A_1(a_1,\ a_1^2)\ ,\ A_2(a_2,\ a_2^2)\ ,\ A_3(a_3,\ a_3^2)\ ,\ \cdots}$
を、Ak+2(k≧1)におけるCの接線が直線AkAk+1に平行であるようにとる。
ただし、a1＜a2とする。三角形AkAk+1Ak+2の面積をTkとし、直線A1A2と
Cで囲まれた部分の面積をSとする。このとき次の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{T_{k+1}}{T_k}\end{align*}}$ を求めよ。
(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \sum_{k=1}^n\ T_k\end{align*}}$ をSを用いて表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
2点$\scriptsize\sf{\sf A_k(a_k,\ a_k^2)\ ,\ A_{k+1}(a_{k+1},\ a_{k+1}^2)}$ を通る直線AkAk+1は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-a_k^2\ =\ \frac{a_{k+1}^2-a_k^2}{a_{k+1}-a_k}\ (x-a_k)\ \ \Leftrightarrow\ \ y=(a_{k}+a_{k+1})\ x-a_k\ a_{k+1}\end{align*}}$ ･･･①
また、$\scriptsize\sf{\sf y=x^2}$ に対して、$\scriptsize\sf{\sf y'=2x}$ なので、
点$\scriptsize\sf{\sf A_{k+2}(a_{k+2},\ a_{k+2}^2)}$ におけるCの接線の傾きは $\scriptsize\sf{\sf 2a_{k+2}}$ であり、
これが直線AkAk+1と平行なので、
$\scriptsize\sf{\sf 2a_{k+2}=a_{k}+a_{k+1}}$ ･･･②
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf A_{k+2}A_k}=(a_k-a_{k+2}\ ,\ a_k^2-a_{k+2}^2)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf A_{k+2}A_{k+1}}=(a_{k+1}-a_{k+2}\ ,\ a_{k+1}^2-a_{k+2}^2)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T_k=\frac{1}{2}\left| (a_{k}-a_{k+2})(a_{k+1}^2-a_{k+2}^2)-(a_{k+1}-a_{k+2})(a_{k}^2-a_{k+2}^2)\right|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left| (a_{k}-a_{k+2})(a_{k+1}-a_{k+2})(a_{k}-a_{k+1})\right|\end{align*}}$
これに②を代入して整理すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T_k=\frac{1}{8}\left| a_{k}-a_{k+1}\right|^3\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{T_{k+1}}{T_k}=\frac{\left| a_{k+1}-a_{k+2}\right|^3}{\left|a_{k}-a_{k+1}\right|^3}\end{align*}}$ ･･･③
②を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{T_{k+1}}{T_k}=\frac{\frac{1}{8}\left|a_{k+1}-a_{k}\right|^3}{\left| a_{k}-a_{k+1}\right|^3}=\ \underline{\ \frac{1}{8}\ \ }\end{align*}}$
三角形の面積は、右図で
(赤色の部分)－(青色の部分)－(緑色の部分)
として求めても計算が楽になります。
(2)
まず、③より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T_{1}=\frac{1}{8}\ ( a_{2}-a_{1})^3\end{align*}}$
また、(1)より数列{Tk}は、初項T1、公比 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{8}\end{align*}}$ の等比数列なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \sum_{k=1}^n\ T_k=\lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{T_1\ \begin{Bmatrix}1-\left( \frac{1}{8} \right)^{\sf n} \end{Bmatrix}}{1-\frac{1}{8}}=\frac{1}{7}\ (a_2-a_1)^3\end{align*}}$ ････④
一方、①より直線A1A2の式は、$\scriptsize\sf{\sf y=(a_1+a_2)x-a_1a_2}$ となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_{a_1}^{a_2}\ \begin{Bmatrix}\left(\sf a_1+a_2 \right)\sf x-a_1a_2-x^2 \end{Bmatrix}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\int_{a_1}^{a_2}\ (x-a_1)(x-a_2)\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{6}\ (a_2-a_2)^3\end{align*}}$
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \sum_{k=1}^n\ T_k=\ \underline{\frac{6}{7}\ S\ \ }\end{align*}}$
(1)の結果で、Tkが等比数列をなすことに気づけば、
(2)は簡単ですね。
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- 2011/11/05(土) 23:57:00|
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第2問
行列
$\small\sf{\begin{align*} \sf A=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sf \cos\frac{\pi}{3}&\sf -\sin\frac{\pi}{3}\\ \sf \sin\frac{\pi}{3}& \sf \cos\frac{\pi}{3} \end{pmatrix}\end{align*}}$
の表す一次変換をfとする。点$\small\sf{\sf P(16 \sqrt{3}\ ,\ 6）}$ をとり、$\small\sf{\sf P_1=f(P)}$ 、
$\small\sf{\sf P_{n+1}=f(P_n)\ \ (n=1,2,3,\cdots )}$ とする。正の整数kに対して、
次の条件を満たす領域をDkとする。
$\small\sf{\sf x\lt 0 \ ,\ \ y\lt 0\ ,\ \ \sqrt{3}\ x+y\leqq -2^{-k}}$
このとき、Dkに含まれるPnの個数をkで表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
一次変換f は、
「原点中心 $\scriptsize\sf{\begin{align*}\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ だけ回転移動･･･(ア)」 + 「$\scriptsize\sf{\begin{align*}\frac{1}{2}\end{align*}}$ 倍の相似変換･･･(イ)」
という変換を表す。
まず、点$\scriptsize\sf{\sf P(16\sqrt{3}\ ,\ 6）}$ をP0とし、半直線OP0をL0とする。
L0を原点中心に60°ずつ回転させた半直線を、順次L1～L5と定める。
すなわち、
$\scriptsize\sf{\sf L_0:\ x-\sqrt{3}\ y=0\ \ （x\gt 0）}$
$\scriptsize\sf{\sf L_1:\ x=0\ \ （y\gt 0）}$
$\scriptsize\sf{\sf L_2:\ x+\sqrt{3}\ y=0\ \ (x\lt 0)}$
$\scriptsize\sf{\sf L_3:\ x-\sqrt{3}\ y=0\ \ （x\lt0）}$
$\scriptsize\sf{\sf L_4:\ x=0\ \ （y\lt 0）}$
$\scriptsize\sf{\sf L_5:\ x+\sqrt{3}\ y=0\ \ （x\gt 0）}$
とする。(右図1)
(ア)より、
P1はL1上、 P2はL2上、 P3はL3上、････と順に移されてゆき、
P6でまたL0上に戻ってくる。
すなわち、mを0以上の整数、ｉ を0≦ｉ≦5の整数とすると、
点P6m+iは半直線Li上にあることになる。
ここで、領域Dk（右図2）は第3象限内にあるので、
半直線L3上の点P6m+3のみを考えればよい。
一方、(イ)より
線分OPnの長さは、初項OP0=32、
公比 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ の等比数列をなすので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OP_n=32\left(\frac{1}{2}\right)^n=2^{5-n}\end{align*}}$
よって、 $\scriptsize\sf{\sf OP_{6m+3}=2^{2-6m}}$
L3と直線 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{3}\end{align*}}$ x+y+2-k=0は直交するので、その交点をQとすると、
OQの長さは、原点Oから直線 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{3}\end{align*}}$ x+y+2-k=0までの距離に等しく、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OQ=\frac{|0+0-2^{-k}|}{\sqrt{(\sqrt3)^2+1^2}}=2^{-k-1}\end{align*}}$
点P6m+3が領域Dkに含まれるためには、$\scriptsize\sf{\sf OP_{6m+3}\geqq OQ}$ であればよいので、
$\scriptsize\sf{\sf 2^{2-6m}\geqq 2^{-k-1}}$.
底2＞1より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2-6m\geqq -k-1\ \ \Leftrightarrow\ \ m\leqq \frac{k+3}{6}\end{align*}}$
これを満たす0以上の整数mの個数は、ガウス記号[ ]を用いて、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left[\frac{k+3}{6}\right]+1\end{align*}}$ 個
と表される。
まず、一次変換fがどのような変換を表すかを理解する必要があります。
まぁ、分からなくてもP1、P2、P3、･･･と、計算していけば気づくかもしれませんが。
あとは、第3象限だけを考えればよいので、普通な感じですが、最後にガウス記号を使うのは、
ちょっと勇気が要るかもしれませんねｗｗ
mは0以上の整数なので、最後に1を加えるのを忘れないように。
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- 2011/11/06(日) 23:57:00|
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第3問
$\small\sf{\alpha}$ を2次方程式 $\small\sf{\sf x^2-2x-1=0}$ の解とするとき、 $\small\sf{\sf (a+5\alpha)(b+5c\alpha)=1}$
を満たす整数の組(a，b，c)をすべて求めよ。ただし、必要ならば $\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ が無
理数であることは証明せずに用いてよい。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\sf (a+5\alpha)(b+5c\alpha )=1}$
$\scriptsize\sf{\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ ab-1+5(ac+b)\alpha+25c\alpha^2=0}$ ･･･①
一方、$\scriptsize\sf{\alpha}$ は $\scriptsize\sf{\sf x^2-2x-1=0}$ の解なので、
$\scriptsize\sf{\alpha}$ =1±$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\alpha^2=2\alpha+1=3\pm 2\sqrt2}$
となり、これらを①に代入して整理すると、
$\scriptsize\sf{\sf (ab+5ac+5b+75c-1)\pm 5(ac+b+10c)\sqrt2=0}$
ここで、a、b、cは有理数、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ は無理数なので、
$\scriptsize\sf{\sf ab+5ac+5b+75c-1=0}$ ･･･② かつ
$\scriptsize\sf{\sf ac+b+10c=0}$ ･･･③
③より、$\scriptsize\sf{\sf b=-ac-10c}$ ･･･③’
これを②に代入して整理すると、
$\scriptsize\sf{\sf (a^2+10a-25)c=-1}$ ････②’
a、b、cは整数なので、
$\scriptsize\sf{\sf c=1}$ または $\scriptsize\sf{\sf c=-1}$
(ア) $\scriptsize\sf{\sf c=1}$ のとき
②’より、$\scriptsize\sf{\sf a^2+10a-25=-1}$
これを解くと、$\scriptsize\sf{\sf a=2,\ -12}$
③’より、$\scriptsize\sf{\sf a=2}$ のとき$\scriptsize\sf{\sf b=-12}$
$\scriptsize\sf{\sf a=-12}$ のとき$\scriptsize\sf{\sf b=2}$
(イ) $\scriptsize\sf{\sf c=-1}$ のとき
②’より、$\scriptsize\sf{\sf a^2+10a-25=1}$
これを満たす整数aは存在しないので不適
以上より、
$\scriptsize\sf{\sf \underline{(a,b,c)=(2,-12,1)\ ,\ (-12,2,1)}}$
②、③を導き出すときの考え方は以下の通り。
有理数A、Bに対し、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}A+B\sqrt2=0}\end{align*}}$ が成り立つとき、
A≠0ならば、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2=-\frac{A}{B}\end{align*}}$
となり、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf\sqrt2\end{align*}}$ が無理数であることに矛盾するので、
A=B=0となる。
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- 2011/11/07(月) 23:57:00|
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第4問
平面上の三角形OABを考え、辺ABの中点をMとする。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}=\frac{\overrightarrow{\sf OA}}{|\overrightarrow{\sf OA}|}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf b}=\frac{\overrightarrow{\sf OB}}{|\overrightarrow{\sf OB}|}\end{align*}}$
とおき、点Pを $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\ \cdot\overrightarrow{\sf OP}=-\overrightarrow{\sf b}\ \cdot\overrightarrow{\sf OP}>0\end{align*}}$ であるようにとる。直線OPにAから
下ろした垂線と直線OPの交点をQとする。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf MQ}\end{align*}}$ と $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ は平行であることを示せ。
(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf MQ}|=\frac{1}{2}\left( |\overrightarrow{\sf OA}|+|\overrightarrow{\sf OB}|\right)\end{align*}}$ であることを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\ \cdot\overrightarrow{\sf OP}=-\overrightarrow{\sf b}\ \cdot\overrightarrow{\sf OP}>0\end{align*}}$ ････①
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ \left(\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}\right)\ \cdot\overrightarrow{\sf OP}=0\end{align*}}$ ････①’
まず、仮定より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf a}\right|=\left|\overrightarrow{\sf b}\right|=1\end{align*}}$
なので、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ は、∠AOBの二等分線の方向ベクトルとなる。
ここで、∠AOBの二等分線とABとの交点をCとすると、①’より、
OC⊥OP
①より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ と $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\end{align*}}$ のなす角は鋭角
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ と $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\end{align*}}$ のなす角は鈍角
となるので、
点PはOを通りOCと垂直な直線上で、
OCに関してAと同じ側にある。(右図1)
また仮定より、AQ⊥OPなので、AQ//COとなる。
AQ延長とBO延長の交点をRとすると(右図2)、
AR//COなので、
∠OAQ=∠AOC （錯角）
=∠BOC
=∠ORQ （同位角）
より、△OARはOA=ORの二等辺三角形となる。
M、QはそれぞれAB、ARの中点となるので、
中点連結定理より
MQ//BR かつ 2MQ=BR
ここで、BR=OR+OB=OA+OB なので、
(1)、(2)ともに示された。
まぁ、本来は頑張ってベクトル計算をしていくんでしょうけど、
面倒なので中学生風に解いてみました。
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- 2011/11/08(火) 23:57:00|
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第5問
$\small\sf{n=1,2,3,\cdots }$ に対して、$\small\sf{\sf y=\log (nx)}$ と $\small\sf{\begin{align*} \sf \left(x-\frac{1}{n}\right)^2+y^2=1\end{align*}}$ の交点のうち、
第1象限にある点を(pn，qn)とする。
(1) 不等式 $\small\sf{\begin{align*} \sf 1-q_n^2 \leqq\frac{(e-1)^2}{n^2}\end{align*}}$ を示すことにより、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ q_n=1\end{align*}}$ を証明せよ。
ただし、ｅは自然数対数の底である。
(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf S_n=\int_{\frac{1}{n}}^{p_n}\ \log(nx)\ dx\end{align*}}$ をpnで表せ。
(3) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ nS_n\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
2曲線をそれぞれ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf C_1:\ y=\log (nx)\ ,\ \ C_2:\ \left(x-\frac{1}{n}\right)^2+y^2=1\end{align*}}$
とおく。
(1)
点(pn，qn)は、2曲線C1、C2の交点なので、
$\scriptsize\sf{\sf q_n=\log(nP_n)}$ ････①
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(p_n-\frac{1}{n}\right)^2+q_n^2=1\end{align*}}$ ････②
まず②より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-q_n^2=\left(p_n-\frac{1}{n}\right)^2=\frac{(np_n-1)^2}{n^2}\ \geqq 0\end{align*}}$ ････②’
これを$\scriptsize\sf{\sf q_n\gt 0}$ の範囲で解くと、
$\scriptsize\sf{\sf 0\lt q_n\geqq 1}$ ････③
①、③より、
$\scriptsize\sf{\sf 0\lt \log(nP_n)\geqq 1}$
$\scriptsize\sf{\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 1\lt nP_n\leqq ｅ\ \ (\because\ \ ｅ\gt 1)}$ ････④
②’、④より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-q_n^2 =\frac{(np_n-1)^2}{n^2}\leqq \frac{(e-1)^2}{n^2}\end{align*}}$ は示された。
ここで、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{(e-1)^2}{n^2}=0\end{align*}}$ であり、
②’より$\scriptsize\sf{\sf 0\leqq 1-q_n^2}$ なので、はさみうちの原理より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ (1-q_n^2)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \lim_{n\rightarrow\infty}\ q_n=\underline{\ 1\ \ (\because\ q_n\gt 0\ )\ }\end{align*}}$
条件式を行ったり来たりして少しヤヤコシイですが、
きちんと整理さえすれば問題ないでしょう。
(2)
まず部分積分法を用いて不定積分を求めておく。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int\ \log(nx)\ dx=\int\ (x)'\ log(nx)\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =x\ log(nx)-\int\ x\cdot \frac{1}{x}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =x\ log(nx)-x+C\end{align*}}$ （Cは積分定数）
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_n=\left[\ x\ log(nx)-x\ \right]_{\frac{1}{n}}^{p_n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ p_n\ \log(np_n)-p_n+\frac{1}{n}\ \ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\sf \int\log x ｄx=x\log x-x+C}$ というのは知っていると思いますが。
(3)
(2)より、
$\scriptsize\sf{\sf nS_n=np_n \log(np_n)-np_n+1}$
$\scriptsize\sf{\sf =np_n(q_n-1)+1}$ （∵ ①より）
ここで(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ q_n=1\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ nS_n=np_n(1-1)+1=\underline{\ 1\ \ }\end{align*}}$
(1)、(2)が出来ていれば問題ないですよね。
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- 2011/11/09(水) 23:57:00|
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