第１問
8個の文字「奈、良、県、立、医、科、大、学」を横１列に並べる。
このとき、「奈良医大」という連続した4文字が現れるように並べる
方法は何通りあるか。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
「奈良医大」、「県」、「立」、「科」、「学」の5つの順列なので、
5P5＝120通り
ホントにこんなんでいいんでしょうか？
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第２問
cos55°＋cos65°＋cos175°の値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
和→積の公式を用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cos 55^{\circ}+\cos 65^{\circ}+\cos 175^{\circ}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =2\cos\frac{55^{\circ}+65^{\circ}}{2}\cos\frac{65^{\circ}-55^{\circ}}{2}+\cos175^{\circ}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =2\cos 60^{\circ}\cos5^{\circ}+\cos (180^{\circ}-5^{\circ})\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =2\cdot \frac{1}{2}\cos5^{\circ}-\cos5^{\circ}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =0\end{align*}}$
計算するまでもなく、答えは0になりそうな気がしますが（笑）
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第３問
平面上に△ABCがある。この平面上で、次の等式を満たす点Pの
軌跡を求めよ。
$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf AP}\cdot\overrightarrow{\sf BP}=\overrightarrow{\sf AC}\cdot\overrightarrow{\sf BC}\end{align*}}$
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
始点をCに揃えると、与式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(\overrightarrow{\sf CP}-\overrightarrow{\sf CA}\right)\cdot\left(\overrightarrow{\sf CP}-\overrightarrow{\sf CB}\right)=\overrightarrow{\sf CA}\cdot\overrightarrow{\sf CB}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left|\overrightarrow{\sf CP}\right|^2-\left(\overrightarrow{\sf CA}+\overrightarrow{\sf CB}\right)\cdot\overrightarrow{\sf CP}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left|\overrightarrow{\sf CP}-\frac{\overrightarrow{\sf CA}+\overrightarrow{\sf CB}}{2}\right|^2=\left|\frac{\overrightarrow{\sf CA}+\overrightarrow{\sf CB}}{2}\right|^2\end{align*}}$
ABの中点をMとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left|\overrightarrow{\sf CP}-\overrightarrow{\sf CM}\right|^2=\left|\overrightarrow{\sf CM}\right|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left|\overrightarrow{\sf PM}\right|=\left|\overrightarrow{\sf CM}\right|\end{align*}}$
となるので、点Pの軌跡は、
Mを中心とする半径CMの円
である。
始点はどこに揃えても構いませんが、この式の場合だと
Cに揃えたくなりますよね。
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第４問
$\small\sf{0\lt\theta\lt\pi}$ 、$\small\sf{\begin{align*}\sf\theta\ne \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ のとき
$\small\sf{\begin{align*}\sf \tan\theta-\frac{1}{\tan\theta}=\frac{1}{\sin\theta}-\frac{1}{\cos\theta}\end{align*}}$
を満たすθの値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
与式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \frac{\sin\theta}{\cos\theta}-\frac{\cos\theta}{\sin\theta}=\frac{1}{\sin\theta}-\frac{1}{\cos\theta}\end{align*}}$
となり、両辺にsinθcosθをかけると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sin^2\theta-\cos^2\theta=\cos\theta-\sin\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(\sin\theta-\cos\theta\right)\left(\sin\theta+\cos\theta\right)=\cos\theta-\sin\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(\sin\theta-\cos\theta\right)\underline{\left(\sin\theta+\cos\theta+1\right)}=0\end{align*}}$ ……(#)
ここで、$\scriptsize\sf{0\lt\theta\lt\pi}$ より、$\scriptsize\sf{0\lt\sin\theta}$ かつ$\scriptsize\sf{-1\lt\cos\theta}$ なので
(#)の下線部＞0
である。よって、(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sin\theta-\cos\theta=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \tan\theta-1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ \theta=\frac{\pi}{4}\ \ \ \ \left(\because 0<\theta <\pi\right)}\end{align*}}$
これも確実に得点しましょう。
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第５問
次の値を求めよ。
$\small\sf{\begin{align*}\sf \sum_{r=0}^{10}\ r^2\ _{10}C_r\end{align*}}$
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
二項定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(1+x\right)^{10}=\sum_{r=0}^{10}_{10}C_r\ x^r\end{align*}}$ ．
両辺をxで微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 10\left(1+x\right)^{9}=\sum_{r=0}^{10}r\ _{10}C_r\ x^{r-1}\end{align*}}$ ．
両辺にxをかけると
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 10x\left(1+x\right)^{9}=\sum_{r=0}^{10}r\ _{10}C_r\ x^{r}\end{align*}}$ ．
さらに両辺をxで微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 10\left(1+x\right)^{9}+10\cdot 9\left(1+x\right)^{8}=\sum_{r=0}^{10}r^2\ _{10}C_r\ x^{r-1}\end{align*}}$
となり、これにx＝1を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 10\cdot 2^{9}+10\cdot 9\cdot 2^{8}=\sum_{r=0}^{10}r^2\ _{10}C_r\cdot 1^{r-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sum_{r=0}^{10}r^2\ _{10}C_r=\left(20+90\right)\cdot 2^8=\underline{\ 28160 }\end{align*}}$
これは思いつかないでしょうね。根性で計算しても10分近くかかるでしょうから、
捨て問題でしょう！？
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第６問
△ABCの頂点Aから辺BCへ下ろした垂線の足Hが頂点Bと頂点Cの
間にあって
$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{AB^2}{AC^2}=\frac{BH}{CH}\end{align*}}$
であるとき、△ABCはどのような形であるか。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
BH＝x、 CH＝y、 AH＝h とおくと、三平方の定理より
AB2＝x2＋h2
AC2＝y2＋h2
なので、与式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{x^2+h^2}{y^2+h^2}=\frac{x}{y}\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2y+h^2y=xy^2+h^2x\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(x-y\right)\left(xy-h^2\right)=0\end{align*}}$
(ⅰ) x＝yのとき
△ABH≡△ACHとなるので、AB＝AC．
よって、△ABCは、AB＝ACの二等辺三角形
(ⅱ) xy＝h2のとき
x：h＝h：y ⇔ BH：AH＝AH：CH
となるので、△BHA∽△AHC．
よって、
∠BAC＝∠BAH＋∠CAH
＝ACH＋∠CAH
＝90°
となるので、△ABCは、∠BAC＝90°の直角三角形
直角三角形の方は、ちょっと気づきにくいかもしれません。
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第７問
abc＝nのとき
$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{3a}{ab+a+1}+\frac{3nb}{bc+nb+n}+\frac{3c}{ca+c+n}\end{align*}}$
の値を求めよ。ただし、a、b、cはすべて正の実数とする。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
abc＝nより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf c=\frac{n}{ab}\end{align*}}$
を代入していくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{3a}{ab+a+1}+\frac{3nb}{b\cdot\frac{n}{ab}+nb+n}+\frac{3\cdot\frac{n}{ab}}{a\cdot\frac{n}{ab}+\frac{n}{ab}+n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{3a}{ab+a+1}+\frac{3ab}{1+ab+a}+\frac{3}{a+1+ab}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{3(ab+a+1)}{ab+a+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{\ 3\ }\end{align*}}$
迷わずに１文字消しましょう。どうせキレイな数値になるように
問題を作ってあるはずです（笑）
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第８問
xの関数
$\small\sf{\begin{align*}\sf f\ (x)=\left(\log_{10}\frac{x}{a}\right)\left(\log_{10}\frac{x}{b}\right)\end{align*}}$
の最小値が $\small\sf{\begin{align*}\sf -\frac{1}{4}\end{align*}}$ であるとき、a、bの値を求めよ。ただし、a、bは
ab＝100、a＞bを満たす正の実数とする。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
A＝log10a、 B＝log10b とおくと、ab＝100、a＞bより
A＋B＝log10ab＝2、 A＞B ……(#)．
与式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ (x)=\left(\log_{10}x-A\right)\left(\log_{10}x-B\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\left(\log_{10}x\right)^2-2\log_{10}x+AB\end{align*}}$ ←(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\left(\log_{10}x-1\right)^2+AB-1\end{align*}}$
となるので、log10x＝1のとき、最小値をとる。
題意より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf AB-1=-\frac{1}{4}\ \ \Leftrightarrow\ \ AB=\frac{3}{4}\end{align*}}$ ．
解と係数の関係より、A、Bは
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf t^2-2t+\frac{3}{4}=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \left(2t-3\right)\left(2t-1\right)=0\end{align*}}$
の2解であり、A＞Bなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf A=\frac{3}{2}\ \ ,\ \ B=\frac{1}{2}\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \log_{10}a=\frac{3}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ a=10^{\frac{3}{2}}\ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \log_{10}b=\frac{3}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ b=10^{\frac{1}{2}}\ }\end{align*}}$
途中で何回も書くのが面倒でしょうから
A＝log10a、 B＝log10b
と置き換えましょう。
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第９問
2次方程式 x2－3ax＋2a－3＝0 が2つの相異なる整数解をもつ。
このときaの値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
x2－3ax＋2a－3＝0 ……(#) の解は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=\frac{3a\pm\sqrt{9a^2-4(2a-3)}}{2}\end{align*}}$
であり、これが整数になるためには、根号の中が平方数である
必要がある。
よって、0以上の整数nを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 9a^2-4(2a-3)=n^2\end{align*}}$
と表すことができ、この式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(3a-\frac{4}{3}\right)^2+\frac{92}{9}=n^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 9n^2-\left(9a-4\right)^2=92\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(3n+9a-4\right)\left(3n-9a+4\right)=92\end{align*}}$
となる。
ここで、
A＝3n＋9a－4、 B＝3n－9a＋4
とおくと、
AB＝92 ……(ⅰ)
であり、
A－B＝2(9a－4) （偶数）
より、AとBの偶奇は一致するので、
(ⅰ)を満たすためには、A、Bがともに偶数である必要がある。
また、n≧0なので、
A＋B＝6n≧0
である。
よって、これらを満たすような整数A、Bの組は、
(A，B)＝(2，46)、(46，2)
のいずれかである。
(ⅰ) (A，B)＝(2，46)のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2\left(9a-4\right)=A-B=-44\ \ \Leftrightarrow\ \ a=-2\end{align*}}$
このとき(#)は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x^2+6x-7=(x+7)(x-1)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=-7\ ,\ 1\end{align*}}$
となり題意を満たす。
(ⅱ) (A，B)＝(46，2)のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2\left(9a-4\right)=A-B=44\ \ \Leftrightarrow\ \ a=2\end{align*}}$
このとき(#)は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x^2-6x1=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=3\pm\sqrt{35}\end{align*}}$
となり題意を満たさない。
(ⅰ)、(ⅱ)より、求めるaの値は、a＝－2 である。
整数方程式を解く際に、符号や偶奇を調べて、上手く候補を絞っていきましょう。
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第10問
次の2つの不等式を同時に満たす整数xの個数が2個であるため
にはａはどんな範囲の値であればよいか。
(x＋2)(3x－1)(x－4)＞0
(x－2)(x－a)≦0
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(x＋2)(3x－1)(x－4)＞0 ……(A)
(x－2)(x－a)≦0 ……(B)
右図より、(A)の解は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -2\lt x\lt \frac{1}{3}\ \ ,\ \ 4\lt x\end{align*}}$
である。
(ⅰ) 2≦aのとき
(B)の解は、2≦x≦aとなるので、
題意を満たすためには、(A)、(B)を同時に
満たす整数が5と6であればよいので、aの
値の範囲は
6≦a＜7
(ⅱ) a＜2のとき
(B)の解は、a≦x≦2となるので、
題意を満たすためには、(A)、(B)を同時に
満たす整数が0と－1であればよいので、aの
値の範囲は
－3＜a≦－1
(ⅰ)、(ⅱ)より
－3＜a≦－1、 6≦a＜7
≦と＜の区別に気をつけましょう。
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