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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2014奈良県立医科大 後期数学1



第1問

  実数全体で連続な関数f(x)が、任意の実数xに対して
  関係式
        $\small\sf{\begin{align*}\sf \int_0^xt\ f\ (x-t)\ dt=e^x-x-1\end{align*}}$
  を満たすとする。このとき、関数f(x)を求めよ。



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2014奈良県立医科大 後期数学2



第2問

 (1) nを正整数とし、2n個の実数x1、…、xn、y1、…、ynをとる。
    tの関数
        $\small\sf{\begin{align*}\sf f\ (t)=\sum_{i=1}^n\left(tx_i+y_i\right)^2\end{align*}}$
    は、どのような実数tに対してもf(t)≧0であることを用いて、
    任意の実数x1、…、xn、y1、…、ynに対して次の不等式が
    成り立つことを証明せよ。
        $\small\sf{\begin{align*}\sf \left(\sum_{i=1}^nx_i^{\ 2}\right)\left(\sum_{i=1}^ny_i^{\ 2}\right)\geqq\left(\sum_{i=1}^nx_i\ y_i\right)^2\end{align*}}$

 (2) nを正整数とする。任意の正の実数x1、x2、…、xnに対して
    次の不等式が成り立つことを証明せよ。
        $\small\sf{\begin{align*}\sf \sum_{i=1}^n\frac{1}{x_i^{\ 2}}\geq\frac{n^3}{\left(\sum_{i=1}^n x_i\right)^2}\end{align*}}$

 (3) ある正整数nを一つ固定しておき、実数aに対して次の条件(N)
    を考える。
     ・条件(N):不等式
        $\small\sf{\begin{align*}\sf a+\left[\sum_{i=1}^n\frac{1}{x_i^{\ 2}}\right]\gt\frac{n^3}{\left(\sum_{i=1}^nx_i\right)^2}\end{align*}}$
      が、n個の任意の正の実数x1、…、xnに対して成り立つ。
       (ただし、実数rに対してrを越えない最大の整数を[r]と
        表す。)
    このとき、条件(N)を満たす実数aの中でa=1は最小であること
    を証明せよ。



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2014奈良県立医科大 後期数学3



第3問

  xy平面上で方程式xy=1により与えられる曲線をC、
  方程式x2-y2=1により与えられる曲線をDとする。
        $\small\sf{\begin{align*}\sf A=\begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf c & \sf d \end{pmatrix}\end{align*}}$
  をすべての成分が実数からなる2行2列の行列とし、
  Aによって定まるxy平面の一次変換をφとおく。

 (1) C上のどのような点もφによってD上の点に移る
    ために、Aの成分a、b、c、dの満たすべき必要
    十分条件を求めよ。

 (2) (1)の仮定の下で、さらにφ(P)=PとなるC上の
    点Pが存在するとき、行列A、及び点Pの座標を
    求めよ。




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2014奈良県立医科大 後期数学4



第4問

  kとnは1≦k≦nを満たす正整数とする。このとき、k個の正整数
  からなる列(a1、a2、…、ak)で、以下の2条件をすべて満たす
  ものはいくつあるか。kとnを用いて表せ。
    条件(1):1≦a1<a2<…<ak≦n
    条件(2):各i(1≦i≦k)に対してai-iは偶数である。




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