第１問
実数全体で連続な関数f(x)が、任意の実数xに対して
関係式
$\small\sf{\begin{align*}\sf \int_0^xt\ f\ (x-t)\ dt=e^x-x-1\end{align*}}$
を満たすとする。このとき、関数f(x)を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
u＝x－tとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{du}{dt}=-1\end{align*}}$
であり、t：0→xのとき、u：x→0なので、与式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_x^0\left(x-u\right)\ f(u)\cdot\left(-du\right)=e^x-x-1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x\int_0^xf(u)\ du-\int_0^xu\ f(u)\ du=e^x-x-1\end{align*}}$
と変形できる。
この両辺をxで微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_0^xf(u)\ du+x\ f(x)-x\ f(x)=e^x-1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \int_0^xf(u)\ du=e^x-1\end{align*}}$
となり、さらに両辺をxで微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\ f\ (x)=e^x\ }\end{align*}}$
を得る。
u＝x－tの置換がすべてです。
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第２問
(１) nを正整数とし、2n個の実数x1、…、xn、y1、…、ynをとる。
tの関数
$\small\sf{\begin{align*}\sf f\ (t)=\sum_{i=1}^n\left(tx_i+y_i\right)^2\end{align*}}$
は、どのような実数tに対してもf(t)≧0であることを用いて、
任意の実数x1、…、xn、y1、…、ynに対して次の不等式が
成り立つことを証明せよ。
$\small\sf{\begin{align*}\sf \left(\sum_{i=1}^nx_i^{\ 2}\right)\left(\sum_{i=1}^ny_i^{\ 2}\right)\geqq\left(\sum_{i=1}^nx_i\ y_i\right)^2\end{align*}}$
(２) nを正整数とする。任意の正の実数x1、x2、…、xnに対して
次の不等式が成り立つことを証明せよ。
$\small\sf{\begin{align*}\sf \sum_{i=1}^n\frac{1}{x_i^{\ 2}}\geq\frac{n^3}{\left(\sum_{i=1}^n x_i\right)^2}\end{align*}}$
(３) ある正整数nを一つ固定しておき、実数aに対して次の条件(N)
を考える。
・条件(N)：不等式
$\small\sf{\begin{align*}\sf a+\left[\sum_{i=1}^n\frac{1}{x_i^{\ 2}}\right]\gt\frac{n^3}{\left(\sum_{i=1}^nx_i\right)^2}\end{align*}}$
が、n個の任意の正の実数x1、…、xnに対して成り立つ。
（ただし、実数rに対してrを越えない最大の整数を[r]と
表す。）
このとき、条件(N)を満たす実数aの中でa＝1は最小であること
を証明せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
f(t)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ (t)=\sum_{i=1}^n\left(t^2x_i^{\ 2} +2tx_i\ y_i+y_i^{\ 2}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\left(\sum_{i=1}^nx_i^{\ 2}\right)t^2+2\left(\sum_{i=1}^nx_i\ y_i\right)t+\left(\sum_{i=1}^ny_i^{\ 2}\right)\end{align*}}$
と変形できる。
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sum_{i=1}^nx_i^{\ 2}\ne 0\end{align*}}$ のとき
任意のtに対してf(t)≧0なので、方程式f(t)＝0の
判別式Dを考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf D/4=\left(\sum_{i=1}^nx_i\ y_i\right)^2-\left(\sum_{i=1}^nx_i^{\ 2}\right)\left(\sum_{i=1}^ny_i^{\ 2}\right)\leqq 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(\sum_{i=1}^nx_i^{\ 2}\right)\left(\sum_{i=1}^ny_i^{\ 2}\right)\geqq \left(\sum_{i=1}^nx_i\ y_i\right)^2\end{align*}}$
となる。
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sum_{i=1}^nx_i^{\ 2}=0\end{align*}}$ のときは、
x1＝x2＝…＝xn＝0
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sum_{i=1}^nx_i^{\ 2}=\sum_{i=1}^nx_i\ y_i=0\end{align*}}$
となり、明らかに成立する。
以上より、題意は示された。
(２)
x1、…、xnは正の実数なので、相加・相乗平均の関係を
用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sum_{i=1}^n\frac{1}{x_i^{\ 2}}\left(\sum_{i=1}^nx_i\right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \geqq n\sqrt[\rm n]{\rm \frac{1}{x_1^{\ 2}}\cdot\frac{1}{x_2^{\ 2}}\cdot\ldots\cdot\frac{1}{x_n^{\ 2}}}\cdot\bigg(n\sqrt[\rm n]{\rm x_1x_2\cdot\ldots\cdot x_n}\bigg)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{n^3\cdot\bigg(\sqrt[\rm n]{\rm x_1x_2\cdot\ldots\cdot x_n}\bigg)^2}{\sqrt[\rm n]{\rm x_1^{\ 2}x_2^{\ 2}\cdot\ldots\cdot x_n^{\ 2}}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =n^3\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sum_{i=1}^n\frac{1}{x_i^{\ 2}}\geqq \frac{n^3}{\left(\sum_{i=1}^n x_i\right)^2}\end{align*}}$
となる。
(３)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p=\sum_{i=1}^n\frac{1}{x_i^{\ 2}}-\left[\sum_{i=1}^n\frac{1}{x_i^{\ 2}}\right]\end{align*}}$
とおくと、(２)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{n^3}{\left(\sum_{i=1}^n x_i\right)^2}\leqq \sum_{i=1}^n\frac{1}{x_i^{\ 2}}=\left[\sum_{i=1}^n\frac{1}{x_i^{\ 2}}\right]+p\end{align*}}$ ……(ⅰ)
となる。
よって、記号[ ]の定義より、0≦p＜1なので、1≦aであれば、
任意の正の実数x1、…、xnに対して、不等式
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{n^3}{\left(\sum_{i=1}^n x_i\right)^2}\leqq \left[\sum_{i=1}^n\frac{1}{x_i^{\ 2}}\right]+p\lt \left[\sum_{i=1}^n\frac{1}{x_i^{\ 2}}\right]+a\end{align*}}$ ……(ⅱ)
が成り立つ。
0≦a＜1のときに、不等式(ⅱ)が成り立つとする。
(２)の不等式において、等号が成立するのは、x1＝x2＝…＝xn
のときである。このとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sum_{i=1}^n\frac{1}{x_i^{\ 2}}=\frac{n^3}{\left(\sum_{i=1}^n x_i\right)^2}=\frac{n}{x_1^{\ 2}}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf M=\left[\frac{n}{x_1^{\ 2}}\right]\end{align*}}$
とおくと、(ⅱ)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{n}{x_1^{\ 2}}\lt M+a\end{align*}}$ ……(ⅲ)
と変形できる。
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sqrt{\frac{n}{M+1}}\lt x_1\lt \sqrt{\frac{n}{M+a}}\end{align*}}$
であるx1を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{n}{M+1}\lt x_1^{\ 2}\lt\frac{n}{M+a}\ \ \Leftrightarrow\ \ M+a\lt \frac{n}{x_1^{\ 2}}\lt M+1\end{align*}}$
となり、(ⅲ)に反する。
よって、任意のx1、…、xnに対して(ⅱ)が成り立つ
わけではないので、0≦a＜1のときは条件(N)を満たさない。
また、a＜0のときは、0≦p＜1より、明らかに(ⅱ)を満たさない。
以上より、条件(N)を満たすようなaの範囲は、1≦aなので、
求めるaの最小値は1である。
(２)、(３)は厳しいでしょうね。
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第３問
xy平面上で方程式xy＝1により与えられる曲線をC、
方程式x2－y2＝1により与えられる曲線をDとする。
$\small\sf{\begin{align*}\sf A=\begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf c & \sf d \end{pmatrix}\end{align*}}$
をすべての成分が実数からなる2行2列の行列とし、
Aによって定まるxy平面の一次変換をφとおく。
(１) C上のどのような点もφによってD上の点に移る
ために、Aの成分a、b、c、dの満たすべき必要
十分条件を求めよ。
(２) (１)の仮定の下で、さらにφ(P)＝PとなるC上の
点Pが存在するとき、行列A、及び点Pの座標を
求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
C上の点P$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(t\ ,\ \frac{1}{t}\right)\ \ \ (t\ne 0)\end{align*}}$ のφによる像は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf A\binom{t}{\frac{1}{t}}=\begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf c & \sf d \end{pmatrix}\binom{t}{\frac{1}{t}}=\binom{at+\frac{b}{t}}{ct+\frac{d}{t}}\end{align*}}$ ……(#)
となり、これがD上にあるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(at+\frac{b}{t}\right)^2-\left(ct+\frac{d}{t}\right)^2=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(a^2-c^2\right)t^4+\left(2ab-2cd-1\right)t^2+b^2-d^2=0\end{align*}}$ ．
これが任意のtに対して成り立つので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a^2-c^2=2ab-2cd-1=b^2-d^2=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left\{ \begin{array}{ll}\sf |c|=|a| \\ \sf |d|=|b| \\ \sf 2\left(ab-cd\right)=1\\\end{array} \right.\end{align*}}$ ……(ⅰ)
・a＝c かつ b＝dのときは、(ⅰ)を満たさず不適
・a＝－c かつ b＝－dのときも同様に不適
・a＝c かつ b＝－dのとき、(ⅰ)より、4ab＝1
・a＝－c かつ b＝dのとき、(ⅰ)より、4ab＝1
以上より、求める条件は
(ア) a＝c かつ b＝－d かつ 4ab＝1 または
(イ) a＝－c かつ b＝d かつ 4ab＝1
である。
(２)
(ア)のとき、(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf A\binom{t}{\frac{1}{t}}=\begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf a & \sf -b \end{pmatrix}\binom{t}{\frac{1}{t}}=\binom{at+\frac{b}{t}}{at-\frac{b}{t}}\ \ \ \ \left(4ab=1\right)\end{align*}}$
なので、φ(P)＝Pを満たすとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf t=at+\frac{b}{t}\end{align*}}$ かつ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{t}=at-\frac{b}{t}\end{align*}}$ ．
これら2式の和および差をとると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2at=t+\frac{1}{t}\ \ ,\ \ \frac{2b}{t}=t-\frac{1}{t}\end{align*}}$ ……(ⅱ)
となり、これら2式を辺々かけると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 4ab=\left(t+\frac{1}{t}\right)\left(t-\frac{1}{t}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 1=t^2-\frac{1}{t^2}\end{align*}}$ ←4ab＝1より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ t^4-t^2-1=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ t^2=\frac{\sqrt5 +1}{2}\ \ (>0)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ t=\pm\sqrt{\frac{\sqrt5 +1}{2}}\end{align*}}$ ．
よって、点Pの座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P\left(\pm\sqrt{\frac{\sqrt5 +1}{2}}\ ,\ \pm\sqrt{\frac{2}{\sqrt5 +1}}\right)=\underline{\ \pm\left(\sqrt{\frac{\sqrt5 +1}{2}}\ ,\ \sqrt{\frac{\sqrt5 -1}{2}}\right)}\end{align*}}$ ．
また、(ⅱ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{t^2}\right)=\frac{1}{2}\left(1+\frac{\sqrt5-1}{2}\right)=\frac{\sqrt5+1}{4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b=\frac{1}{2}\left(t^2-1\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt5 +1}{2}-1\right)=\frac{\sqrt5 -1}{4}\end{align*}}$
となるので、行列Aは
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\ A=\frac{1}{4}\begin{pmatrix} \sf \sqrt5+1&\sf \sqrt5-1 \\ \sf \sqrt5+1 & \sf -\sqrt5+1 \end{pmatrix}\ }\end{align*}}$
(イ)のとき、(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf A\binom{t}{\frac{1}{t}}=\begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf -a & \sf b \end{pmatrix}\binom{t}{\frac{1}{t}}=\binom{at+\frac{b}{t}}{-at+\frac{b}{t}}\ \ \ \ \left(4ab=1\right)\end{align*}}$
なので、φ(P)＝Pを満たすとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf t=at+\frac{b}{t}\end{align*}}$ かつ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{t}=-at+\frac{b}{t}\end{align*}}$ ．
これら2式の差および和をとると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2at=t-\frac{1}{t}\ \ ,\ \ \frac{2b}{t}=t+\frac{1}{t}\end{align*}}$ ……(ⅲ)
これら2式を辺々かけると、(ア)と同様に、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf t^2=\frac{\sqrt5 +1}{2}\ \ (>0)\end{align*}}$
を得るので、点Pの座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\ \pm\left(\sqrt{\frac{\sqrt5 +1}{2}}\ ,\ \sqrt{\frac{\sqrt5 -1}{2}}\right)}\end{align*}}$ ．
また、(ⅲ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{t^2}\right)=\frac{1}{2}\left(1-\frac{\sqrt5-1}{2}\right)=\frac{3-\sqrt5}{4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b=\frac{1}{2}\left(t^2+1\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt5 +1}{2}+1\right)=\frac{3+\sqrt5}{4}\end{align*}}$
となるので、行列Aは
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\ A=\frac{1}{4}\begin{pmatrix} \sf 3-\sqrt5&\sf 3+\sqrt5 \\ \sf -3+\sqrt5 & \sf 3+\sqrt5 \end{pmatrix}\ }\end{align*}}$
これは計算だけです。大問の２、４が難しいので、落とせません。
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第４問
kとnは1≦k≦nを満たす正整数とする。このとき、k個の正整数
からなる列（a1、a2、…、ak）で、以下の2条件をすべて満たす
ものはいくつあるか。kとnを用いて表せ。
条件(１)：1≦a1＜a2＜…＜ak≦n
条件(２)：各i（1≦i≦k）に対してai－iは偶数である。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
条件(２)より、ai－iは偶数なので、0以上の整数Aiを用いて、
ai－i＝2Ai （1≦i≦k）
と表すことができる。
これと条件(１)より
・i＝1のとき
1≦a1 ⇔ 1≦2A1＋1
⇔ 0≦A1
・1≦i≦k－1のとき
ai＜ai+1 ⇔ ai＋1≦ai+1
⇔ (2Ai＋i)＋1≦2Ai+1＋(i＋1)
⇔ Ai≦Ai+1
・i＝kのとき
ak≦n ⇔ 2Ak＋k≦n
⇔ Ak≦ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{n-k}{2}\end{align*}}$
Aiはすべて整数なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf N=\left[\frac{n-k}{2}\right]\end{align*}}$ （[x]はxを越えない最大の整数を表す）
とおくと、これらより
0≦A1≦A2≦……≦Ak≦N ……(#)
条件(１)、(２)を満たす列（a1、a2、…、ak）の個数は、
不等式(#)を満たす整数列（A1、A2、…、Ak）の個数に等しく、
これは、0～NのN＋1個の整数の中から重複を許してk個の数を
選ぶ組み合わせの数に等しい。
さらにこれは、k個の○印と、N本の｜印を並べる順列の数に
等しいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{\left(N+k\right)!}{N!\ k!}=\frac{\left(\left[\frac{n-k}{2}\right]+k\right)!}{\left[\frac{n-k}{2}\right]!\ k!}=\underline{\ \frac{\left[\frac{n+k}{2}\right]!}{\left[\frac{n-k}{2}\right]!\ k!}\ }\end{align*}}$
これも試験会場では難しいでしょうね。
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