第１問
log102＝0.3010、log103＝0.4771とする。$\small\sf{\begin{align*}\sf \left(\frac{2}{3}\right)^{50}\end{align*}}$ は小数第何位に
初めて0でない数字が現れるか。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \log_{10}\left(\frac{2}{3}\right)^{50}=50\left(log_{10}2-log_{10}3\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =50\times\left(0.3010-0.4771\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =-8.805\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -9<\log_{10}\left(\frac{2}{3}\right)^{50}<-8\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \log_{10}10^{-9}<\log_{10}\left(\frac{2}{3}\right)^{50}<\log_{10}10^{-8}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 10^{-9}<\left(\frac{2}{3}\right)^{50}<10^{-8}\end{align*}}$ ←底＞1より
となるので、初めて0でない数字が現れるのは、
小数第9位である。
最後、小数第8位か第9位か迷ったら、簡単な数字で実験してみましょう。
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第２問
実数xに対して、n≦x＜n＋1を満たす整数nを[x]で表すとき
4[x]2－36[x]＋45＜0
を満たすxの範囲を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 4[x]^2-36[x]+45=\left(2[x]-3\right)\left(2[x]-15\right)\lt 0 \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{3}{2}\lt x\lt \frac{15}{2}\end{align*}}$
[x]は整数なので、2≦[x]＜7となる。
よって、xの範囲は、2≦x＜8である。
不等号に注意を！
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第３問
(4x3－2x2＋3)3をx2－x＋1で割ったときの余りを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
A＝x2－x＋1、 B＝4x3－2x2＋3
とおく。筆算を用いてBをAで割ると
B＝(4x＋2)A－2x＋1
となる。よって、
B3＝{(4x＋2)A－2x＋1}3
＝(xの整式)・A＋(－2x＋1)3
＝(xの整式)・A－8x3＋12x2－6x＋1
さらに、筆算を用いて－8x3＋12x2－6x＋1をAで割ると、
－8x3＋12x2－6x＋1＝(－8x＋4)A＋6x－3
となるので、
B3＝(xの整式)・A＋6x－3．
よって、B3をAで割った余りは、6x－3である。
そのまま計算すると死にますよ！
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第４問
$\small\sf{\begin{align*}\sf y=\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}+\sin x \ \ \ \left(0\leq x\lt 2\pi\right)\end{align*}}$
とする。このときyの取り得る範囲を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf t=\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}=\sqrt2\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\leq x<2\pi\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{\pi}{4}\leq\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}<\frac{5\pi}{4}\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -\frac{1}{\sqrt2}\leq\sqrt2\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\leq1\ \ \Leftrightarrow\ \ -1\leq t\leq\sqrt2\end{align*}}$ ……(#)
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}\right)^2=\sin^2\frac{x}{2}+\cos^2\frac{x}{2}+2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ t^2=1+\sin x\end{align*}}$ ←倍角公式
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sin x=t^2-1\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}+\sin x\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =t+\left(t^2-1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\left(t+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{5}{4}\end{align*}}$ ．
この式をf(t)とおくと、(#)の範囲において、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y_{min}=f\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{5}{4}\ \ ,\ \ y_{max}=f\left(\sqrt2\right)=1+\sqrt2\end{align*}}$
となるので、yのとり得る値の範囲は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\ -\frac{5}{4}\leq y\leq 1+\sqrt2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf {\color{blue}t=\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}}\end{align*}}$ の置換に気づくかが勝負です。
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第５問
四角形ABCDが次の等式を満たすとき、四角形ABCDはどのような
形であるか。
AB2＋BC2＋CD2＋DA2＝AC2＋BD2
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{\rm b}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\rm AC}=\overrightarrow{\rm c}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\rm AD}=\overrightarrow{\rm d}\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=AC^2+BD^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ |\overrightarrow{\rm b}|^2+|\overrightarrow{\rm c}-\overrightarrow{\rm b}|^2+|\overrightarrow{\rm d}-\overrightarrow{\rm c}|^2+|\overrightarrow{\rm d}|^2=|\overrightarrow{\rm c}-\overrightarrow{\rm a}|^2+|\overrightarrow{\rm d}-\overrightarrow{\rm b}|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ |\overrightarrow{\rm b}|^2+|\overrightarrow{\rm c}|^2+|\overrightarrow{\rm d}|^2-2\overrightarrow{\rm b}\cdot\overrightarrow{\rm c}+2\overrightarrow{\rm c}\cdot\overrightarrow{\rm d}+2\overrightarrow{\rm b}\cdot\overrightarrow{\rm d}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ |\overrightarrow{\rm b}-\overrightarrow{\rm c}|^2+2d\cdot\left(\overrightarrow{\rm b}-\overrightarrow{\rm c}\right)+|\overrightarrow{\rm d}|^2=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ |\overrightarrow{\rm b}-\overrightarrow{\rm c}+\overrightarrow{\rm d}|^2=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\rm b}-\overrightarrow{\rm c}+\overrightarrow{\rm d}=\overrightarrow{\rm 0}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\rm b}+\overrightarrow{\rm d}=\overrightarrow{\rm c}\end{align*}}$
となるので、四角形ABCDは平行四辺形である。
平面図形の知識だけで解こうとすると、泥沼にはまります。
ベクトルでサクっと計算してしまいましょう！
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第６問
2桁の自然数で、正の約数を最も多くもつものをすべて挙げよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)ただ1つの素因数をもつ2桁の自然数の場合
正の約数を最も多くもつものは
64＝26であり、6＋1＝7個の正の約数を持つ。
(２)2つの素因数をもつ2桁の自然数の場合
96＝25×3の正の約数は、6×2＝12個
72＝23×32の正の約数は、4×3＝12個
54＝2×33の正の約数は、2×4＝8個
(3)3つの素因数をもつ2桁の自然数の場合
60＝22×3×5の正の約数は、3×2×2＝12個
84＝22×3×7の正の約数は、3×2×2＝12個
90＝2×32×5の正の約数は、2×3×2＝12個
(４)4つ以上の素因数をもつ自然数で最小の自然数は
2×3×5×7＝210 なので2桁にならない。
以上より、正の約数を最も多くもつものは、
60、72、84、90、96
である。
しらみつぶしに探しましょう。
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第７問
x3＝1の解のうち1でないものの1つをωとし、
y＝(x1＋ωx2＋ω2x3)3
を考える。x1、x2、x3に1から3までの自然数を重複を許さないように
代入するときyが取り得る値は何通りあるか。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
ωはx3＝1の解なので
ω3＝1 ……(ア)
また、
x3－1＝(x－1)(x2＋x＋1)＝０
より、ωはx2＋x＋1＝0の解なので、
ω2＋ω＋1＝0 ……(イ)
(１) x1＝1、x2＝2、x3＝3のとき
y＝(1＋2ω＋3ω2)3
＝－(2＋ω)3 ←(ア)より
＝－(8＋12ω＋6ω2＋ω3)
＝－3－6ω ←(ア)(イ)より
(２) x1＝1、x2＝3、x3＝2のとき
y＝(1＋3ω＋2ω2)3
＝－(1－ω)3 ←(ア)より
＝－(1－3ω＋3ω2－ω3)
＝3＋6ω ←(ア)(イ)より
(３) x1＝2、x2＝1、x3＝3のとき
y＝(2＋ω＋3ω2)3
＝－(1＋2ω)3 ←(ア)より
＝－(1＋6ω＋12ω2＋8ω3)
＝3＋6ω ←(ア)(イ)より
(４) x1＝2、x2＝3、x3＝1のとき
y＝(2＋3ω＋ω2)3
＝(1＋2ω)3 ←(ア)より
＝－3－6ω ←(３)より
(５) x1＝3、x2＝1、x3＝2のとき
y＝(3＋ω＋2ω2)3
＝(1－ω)3 ←(ア)より
＝－3－6ω ←(２)より
(６) x1＝3、x2＝2、x3＝1のとき
y＝(3＋2ω＋ω2)3
＝(2＋ω)3 ←(ア)より
＝3＋6ω ←(１)より
(１)～(６)より、
yの取り得る値は、±(3＋6ω) の 2通り である。
ひたすら計算ですが、(ア)と(イ)を駆使しないと面倒なことになります。
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第８問
次の極限値を求めよ。
$\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\pi}{n^2}\left(\cos\frac{\pi}{2n}+2\cos\frac{2\pi}{2n}+\ldots +n\cos\frac{n\pi}{2n}\right)\end{align*}}$
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\pi}{n^2}\left(\cos\frac{\pi}{2n}+2\cos\frac{2\pi}{2n}+\ldots +n\cos\frac{n\pi}{2n}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\pi\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\frac{k}{n}\cos\frac{k\pi}{2n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\pi\int_0^1x\cos\frac{\pi\ x}{2}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\pi\left\{\left[\frac{2}{\pi}x\sin\frac{\pi\ x}{2}\right]_0^1-\frac{2}{\pi}\int_0^1\sin\frac{\pi\ x}{2}dx\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\pi\left\{\frac{2}{\pi}-\frac{2}{\pi}\left[-\frac{2}{\pi}\cos\frac{\pi\ x}{2}\right]_0^1\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\pi\left(\frac{2}{\pi}-\frac{4}{\pi^2}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{\ 2-\frac{4}{\pi}}\end{align*}}$
見え見えの区分求積法です。
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第９問
数列an＝(50－2n)2n （n＝0，1，2，…）の初項から第n項までの
和をSnとする。Sn＜0となる最小のnと、そのときのSnの値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
Sn－2Snを計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_n=50+48\cdot 2+46\cdot 2^2+\ldots\ldots+(52-2n)2^{n-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\ -)\ 2S_n=\ \ \ \ \ \ 50\cdot 2+48\cdot 2^2+\ldots\ldots+(54-2n)2^{n-1}+(52-2n)2^{n}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -S_n=50-2\cdot 2\ -2\cdot 2^2-\ldots\ldots\ldots\ \ -2\cdot2^{n-1}\ \ \ \ \ \ -(52-2n)2^{n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ S_n=-50+\left(2^2+2^3+\ldots\ldots+2^{n}\right)+(26-n)2^{n+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =-50+\frac{2^2\left(2^{n-1}-1\right)}{2-1}+(26-n)2^{n+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\left(27-n\right)2^{n+1}-54\end{align*}}$ ．
a0＞0、a1＞0、……、a24＞0、a25＝0より
S1＞0、S2＞0、……、S25＞0、S26＞0
これらと、
S27＝－54＜0
より、Sn＜0となる最小のnは、n＝27であり、
そのときのSnの値は、S27＝－54
n＝0から始まるところに注意が必要です。
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第10問
次の定積分を求めよ。
$\small\sf{\begin{align*}\sf \int_{-1}^1\left(x^2+x-\frac{x^5}{x^2+2}\right)dx\end{align*}}$
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ (x)=x-\frac{x^5}{x^2+2}\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ (-x)=(-x)-\frac{(-x)^5}{(-x)^2+2}=-\left(x-\frac{x^5}{x^2+2}\right)=-f\ (x)\end{align*}}$
より、f(x)は奇関数である。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_{-1}^1\left(x^2+x-\frac{x^5}{x^2+2}\right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =2\int_{0}^1x^2dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =2\left[\frac{1}{3}x^3\right]_0^1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{\ \frac{2}{3}}\end{align*}}$
奇関数に気づけば瞬殺です！
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