第１問
さいころをn回 （n≧1）投げて、出た目の最小公倍数をLと
するとき、次の確率を求めよ。
(１) 2と3の少なくとも一方が一度も出ない確率
(２) Lが素数となる確率
(３) Lが出た目の一つに等しい確率
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
目の出方の総数は6n通り
(１)
2が一度も出ない場合……5n通り
3が一度も出ない場合……5n通り
2も3が一度も出ない場合……4n通り
これらより、2と3の少なくとも一方が一度も出ない確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\ \frac{2\cdot 5^n-4^n}{6^n}\ }\end{align*}}$
(２)
Lが素数になるのは、L＝2，3，5のいずれか。
L＝2のとき
すべての目が2の約数（1、2）である目の出方は 2n通りあり、
このうちで2が一度も出ない（すなわち1ばかり出る）場合は
1通りなので、L＝2となる場合は、2n－1通りある。
L＝3，5のときも同じなので、Lが素数になる確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\ \frac{3\left(2^n-1\right)}{6^n}\ \ }\end{align*}}$
(３)
L＝1のとき
すべての目が1であればよいので 1通り
L＝4のとき
すべての目が4の約数（1、2、4）である目の出方は
3n通りあり、このうちで4が一度も出ない（1、2のみ）
場合は2n通りなので、
L＝4となる場合は、3n－2n通りある。
L＝6のとき
すべての目が6の約数（1、2、3、6）である目の出方は
4n通りあり、このうちで6が一度も出ない（1、2、3のみ）
場合は3n通りなので、
L＝6となる場合は、4n－3n通りある。
これらと(２)より、Lが出た目の一つに等しい確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1+3\left(2^n-1\right)+\left(3^n-2^n\right)+\left(4^n-3^n\right)}{6^n}=\underline{\ \frac{-2+2^{n+1}+4^n}{6^n}\ }\end{align*}}$
これはそんなに難しくないですね。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/07(日) 01:01:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .滋賀医科大 2014
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第２問
OA＝BC、OB＝CA、OC＝ABである四面体OABCを考える。
$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OA}=\overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf OB}=\overrightarrow{\sf b}\ ,\ \overrightarrow{\sf OC}=\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ とする。$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\ ,\ \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ は、
$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf a}=\overrightarrow{\sf y}+\overrightarrow{\sf z}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}=\overrightarrow{\sf z}+\overrightarrow{\sf x}\ ,\ \overrightarrow{\sf c}=\overrightarrow{\sf x}+\overrightarrow{\sf y}\end{align*}}$
と表されている。
(１) $\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf x}\ ,\ \overrightarrow{\sf y}\ ,\ \overrightarrow{\sf z}\end{align*}}$ を$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\ ,\ \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ を用いて表せ。
(２) 内積 $\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf x}\cdot\overrightarrow{\sf y}\ ,\ \overrightarrow{\sf y}\cdot\overrightarrow{\sf z}\ ,\ \overrightarrow{\sf z}\cdot\overrightarrow{\sf x}\end{align*}}$ を求めよ。
(３) 点Pが4点O、A、B、Cから等距離にあるとき、$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OP}\end{align*}}$ を$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\ ,\ \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$
を用いて表せ。さらに長さOPをOA、OB、OCを用いて表せ。
(４) 点O、A、Bの座標がそれぞれ(0，0，0)、(0，2，2)、(0，3，0)
であるとき、点Cの座標をすべて求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf a}=\overrightarrow{\sf y}+\overrightarrow{\sf z}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}=\overrightarrow{\sf z}+\overrightarrow{\sf x}\ ,\ \overrightarrow{\sf c}=\overrightarrow{\sf x}+\overrightarrow{\sf y}\end{align*}}$ ……(ⅰ)
これら3式を辺々加えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}+\overrightarrow{\sf c}=2\left(\overrightarrow{\sf x}+\overrightarrow{\sf y}+\overrightarrow{\sf z}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf x}+\overrightarrow{\sf y}+\overrightarrow{\sf z}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}+\overrightarrow{\sf c}\right)\end{align*}}$ ……(ⅱ)
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf x}=\left(\overrightarrow{\sf x}+\overrightarrow{\sf y}+\overrightarrow{\sf z}\right)-\left(\overrightarrow{\sf y}+\overrightarrow{\sf z}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}+\overrightarrow{\sf c}\right)-\overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ ←(ⅰ)、(ⅱ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{\ \frac{1}{2}\left(-\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}+\overrightarrow{\sf c}\right)\ }\end{align*}}$ ．
同様にすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\ \overrightarrow{\sf y}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{\sf a}-\overrightarrow{\sf b}+\overrightarrow{\sf c}\right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf z}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}-\overrightarrow{\sf c}\right)\ }\end{align*}}$
(２)
(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf x}\cdot\overrightarrow{\sf y}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{1}{4}\left(-\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}+\overrightarrow{\sf c}\right)\cdot\left(\overrightarrow{\sf a}-\overrightarrow{\sf b}+\overrightarrow{\sf c}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{1}{4}\left\{\overrightarrow{\sf c}+\left(\overrightarrow{\sf b}-\overrightarrow{\sf a}\right)\right\}\cdot\left\{\overrightarrow{\sf c}-\left(\overrightarrow{\sf b}-\overrightarrow{\sf a}\right)\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{1}{4}\left(\left|\overrightarrow{\sf c}\right|^2-\left|\overrightarrow{\sf b}-\overrightarrow{\sf a}\right|^2\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{1}{4}\left(\left|\overrightarrow{\sf OC}\right|^2-\left|\overrightarrow{\sf AB}\right|^2\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{\ 0\ \ \ \left(\because\ OC=AB\right)}\end{align*}}$
同様に、OA＝BC、OB＝CAより
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf y}\cdot\overrightarrow{\sf z}=\frac{1}{4}\left(\left|\overrightarrow{\sf OA}\right|^2-\left|\overrightarrow{\sf BC}\right|^2\right)=\underline{\ 0\ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf z}\cdot\overrightarrow{\sf x}=\frac{1}{4}\left(\left|\overrightarrow{\sf OB}\right|^2-\left|\overrightarrow{\sf CA}\right|^2\right)=\underline{\ 0\ }\end{align*}}$
(３)の前半
3つのベクトル $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf x}\ ,\ \overrightarrow{\sf y}\ ,\ \overrightarrow{\sf z}\end{align*}}$ なので、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OP}\end{align*}}$ は、
実数p1、p2、p3を用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OP}=p_1\overrightarrow{\sf x}+p_2\overrightarrow{\sf y}+p_3\overrightarrow{\sf z}\end{align*}}$ ……(ⅲ)
と表すことができる。
題意より、OP＝APなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left|\overrightarrow{\sf OP}\right|^2=\left|\overrightarrow{\sf OP}-\overrightarrow{\sf OA}\right|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ |\overrightarrow{\sf OA}|^2-2\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OP}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ |\overrightarrow{\sf y}+\overrightarrow{\sf z}|^2-2\left(\overrightarrow{\sf y}+\overrightarrow{\sf z}\right)\cdot\left(p_1\overrightarrow{\sf x}+p_2\overrightarrow{\sf y}+p_3\overrightarrow{\sf z}\right)=0\end{align*}}$ ←(ⅰ)、(ⅲ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(1-2p_2\right)|\overrightarrow{\sf y}|^2+\left(1-2p_3\right)|\overrightarrow{\sf z}|^2=0\end{align*}}$ ・ ←(２)より
同様に、OP＝PB、OP＝PCより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(1-2p_3\right)|\overrightarrow{\sf z}|^2+\left(1-2p_1\right)|\overrightarrow{\sf x}|^2=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(1-2p_1\right)|\overrightarrow{\sf x}|^2+\left(1-2p_2\right)|\overrightarrow{\sf y}|^2=0\end{align*}}$
となるので、これら3式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(1-2p_1\right)|\overrightarrow{\sf x}|^2=\left(1-2p_2\right)|\overrightarrow{\sf y}|^2=\left(1-2p_3\right)|\overrightarrow{\sf z}|^2=0\end{align*}}$ ……(ⅳ)
ここで、(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left|\overrightarrow{\sf x}\right|=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{\sf b}-\left(\overrightarrow{\sf a}-\overrightarrow{\sf c}\right)\right|=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{\sf OB}-\overrightarrow{\sf CA}\right|\end{align*}}$ ……(ⅴ)
となり、4点O、A、B、Cは四面体の頂点をなすので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OB}\ne\overrightarrow{\sf CA}\end{align*}}$ より $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left|\overrightarrow{\sf x}\right|\ne 0\end{align*}}$ ・
同様に、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left|\overrightarrow{\sf y}\right|\ne 0\ ,\ \left|\overrightarrow{\sf z}\right|\ne 0\end{align*}}$ なので、(ⅳ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p_1=p_2=p_3=\frac{1}{2}\end{align*}}$
となり、これらを(ⅲ)に代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OP}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{\sf x}+\overrightarrow{\sf y}+\overrightarrow{\sf z}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{\ \frac{1}{4}\left(\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}+\overrightarrow{\sf c}\right)\ }\end{align*}}$ ←(ⅱ)より
(３)の後半
(３)前半の結論より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left|\overrightarrow{\sf OP}\right|^2=\frac{1}{4}\left|\overrightarrow{\sf x}+\overrightarrow{\sf y}+\overrightarrow{\sf z}\right|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{1}{4}\left(\left|\overrightarrow{\sf x}\right|^2+\left|\overrightarrow{\sf y}\right|^2+\left|\overrightarrow{\sf z}\right|^2\right)\end{align*}}$ ……(ⅵ) ←(２)より
ここで、(ⅴ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left|\overrightarrow{\sf x}\right|^2=\frac{1}{4}\left|\overrightarrow{\sf OB}-\overrightarrow{\sf CA}\right|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{1}{4}\left(\left|\overrightarrow{\sf OB}\right|^2-2\overrightarrow{\sf OB}\cdot\overrightarrow{\sf CA}+\left|\overrightarrow{\sf CA}\right|^2\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{1}{2}\left(\left|\overrightarrow{\sf OB}\right|^2-\overrightarrow{\sf OB}\cdot\overrightarrow{\sf CA}\right)\end{align*}}$ ←OB＝CAより
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{1}{2}\left\{\left|\overrightarrow{\sf b}\right|^2-\left(\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}-\overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}\right)\right\}\end{align*}}$
同様に、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left|\overrightarrow{\sf y}\right|^2=\frac{1}{2}\left\{\left|\overrightarrow{\sf c}\right|^2-\left(\overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}-\overrightarrow{\sf c}\cdot\overrightarrow{\sf a}\right)\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left|\overrightarrow{\sf z}\right|^2=\frac{1}{2}\left\{\left|\overrightarrow{\sf a}\right|^2-\left(\overrightarrow{\sf c}\cdot\overrightarrow{\sf a}-\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}\right)\right\}\end{align*}}$
なので、これらを(ⅵ)に代入すると
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left|\overrightarrow{\sf OP}\right|^2=\frac{1}{8}\left\{\left|\overrightarrow{\sf b}\right|^2-\left(\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}-\overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}\right)\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf +\frac{1}{8}\left\{\left|\overrightarrow{\sf c}\right|^2-\left(\overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}-\overrightarrow{\sf c}\cdot\overrightarrow{\sf a}\right)\right\}+\frac{1}{8}\left\{\left|\overrightarrow{\sf a}\right|^2-\left(\overrightarrow{\sf c}\cdot\overrightarrow{\sf a}-\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}\right)\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{1}{8}\left(\left|\overrightarrow{\sf a}\right|^2+\left|\overrightarrow{\sf b}\right|^2+\left|\overrightarrow{\sf c}\right|^2\right)\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\ OP=\frac{1}{4}\sqrt{2\left(OA^2+OB^2+OC^2\right)}}\end{align*}}$ ．
(４)
点Cの座標を(X，Y，Z)とおくと、(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf x}=\frac{1}{2}\left(X\ ,\ Y+1\ ,\ Z-2\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf y}=\frac{1}{2}\left(X\ ,\ Y-1\ ,\ Z+2\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf z}=-\frac{1}{2}\left(X\ ,\ Y-5\ ,\ Z-2\right)\end{align*}}$
となり、(２)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf x}\cdot\overrightarrow{\sf y}=\frac{1}{4}\left\{X^2+\left(Y^2-1\right)+\left(Z^2-4\right)\right\}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf y}\cdot\overrightarrow{\sf z}=-\frac{1}{4}\left\{X^2+\left(Y^2-6Y+5\right)+\left(Z^2-4\right)\right\}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf z}\cdot\overrightarrow{\sf x}=-\frac{1}{4}\left\{X^2+\left(Y^2-4Y-5\right)+\left(Z^2-4Z+4\right)\right\}=0\end{align*}}$
を得る。
これら3式を連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf Y=1\ ,\ Z=0\ ,\ X=\pm 2\end{align*}}$
となるので、点Cの座標は、(±2，1，0)である。
すごいボリュームの答案になってしまいました。
(１)、(２)あたりは、もう少し簡略化してもよかったかもしれません。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/07(日) 01:02:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .滋賀医科大 2014
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第３問
$\small\sf{\begin{align*}\sf f\ (x)=\frac{\sin x}{e^x}\ \ ,\ \ g\ (x)=\frac{\cos x}{e^x}\end{align*}}$ とする。
(１) 関数f(x)の第4次までの導関数を求めよ。
(２) 0≦x≦2$\small\sf{\pi}$ の範囲において、2つの曲線y＝f(x)、y＝g(x)の
概形を描け。
(３) x≧0の範囲において、2つの曲線y＝f(x)、y＝g(x)の交点を
x座標の小さい順にP1、P2、・・・、Pn、・・・とするとき、Pnの
座標を求めよ。
(４) Pnのx座標をanとする。an≦x≦an+1の範囲において、2つの
曲線y＝f(x)、y＝g(x)で囲まれた部分の面積をSnとする。
$\small\sf{\begin{align*}\sf \sum_{n=1}^{\infty}S_n\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ (x)=e^{-x}\sin x\end{align*}}$ に対して、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ '(x)=-e^{-x}\sin x+e^{-x}\cos x\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{\ \sqrt2 e^{-x}\sin\left(x+\frac{3}{4}\pi\right)}\end{align*}}$ ←合成
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ ''(x)=\sqrt2\left\{-e^{-x}\sin\left(x+\frac{3}{4}\pi\right)+e^{-x}\cos\left(x+\frac{3}{4}\pi\right)\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{\ 2 e^{-x}\sin\left(x+\frac{3}{2}\pi\right)}\end{align*}}$ ←合成
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ '''(x)=2\left\{-e^{-x}\sin\left(x+\frac{3}{2}\pi\right)+e^{-x}\cos\left(x+\frac{3}{2}\pi\right)\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =2\sqrt2 e^{-x}\sin\left(x+\frac{9}{4}\pi\right)\end{align*}}$ ←合成
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{\ 2\sqrt2 e^{-x}\sin\left(x+\frac{1}{4}\pi\right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ ^{(4)}(x)=2\sqrt2\left\{-e^{-x}\sin\left(x+\frac{1}{4}\pi\right)+e^{-x}\cos\left(x+\frac{1}{4}\pi\right)\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{\ 4 e^{-x}\sin\left(x+\pi\right)}\end{align*}}$ ←合成
(２)
(１)より、f(x)の0≦x≦2$\scriptsize\sf{\pi}$ における増減は次のようになる。
また、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g\ (x)=e^{-x}\cos x\end{align*}}$ に対して、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g\ '(x)=-e^{-x}\cos x-e^{-x}\sin x\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\sqrt2 e^{-x}\sin\left(x+\frac{5}{4}\pi\right)\end{align*}}$ ←合成
なので、g(x)の0≦x≦2$\scriptsize\sf{\pi}$ における増減は次のようになる。
これらより、2曲線y＝f(x)、y＝g(x)の概形は下図のようになる。
(３)
f(x)とg(x)の2式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{\sin x}{e^x}=\frac{\cos x}{e^x}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sin x=\cos x\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \tan x=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{\pi}{4}\ ,\ \frac{5}{4}\pi\ ,\ \frac{9}{4}\pi\ ,\ \ldots\ldots\end{align*}}$
より、交点のx座標は、初項$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{\pi}{4}\end{align*}}$ 、公差$\scriptsize\sf{\pi}$ の等差数列をなす。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=\frac{\pi}{4}+\pi\left(n-1\right)=\left(n-\frac{3}{4}\right)\pi\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=\frac{\sin\left(n-\frac{3}{4}\right)\pi}{e^{\left(n-\frac{3}{4}\right)\pi}}=\frac{\left(-1\right)^{n-1}}{\sqrt2}e^{\left(\frac{3}{4}-n\right)\pi}\end{align*}}$
より、点Pnの座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\ P_n\left(\left(n-\frac{3}{4}\right)\pi\ ,\ \frac{\left(-1\right)^{n-1}}{\sqrt2}e^{\left(\frac{3}{4}-n\right)\pi}\right)\ }\end{align*}}$
(４)
区間an≦x≦an+1内で、2曲線の上下関係が入れかわる
ことはないので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_n=\left|\int_{a_n}^{a_{n+1}}\left\{g\ (x)-f\ (x)\right\}dx\right|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\left|\int_{a_n}^{a_{n+1}}\left(e^{-x}\cos x-e^{-x}\sin x\right)dx\right|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\left|\int_{a_n}^{a_{n+1}}f\ '(x)dx\right|\end{align*}}$ ←(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\left|\bigg[\ f\ (x)\ \bigg]_{a_n}^{a_{n+1}}\right|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\bigg|f\ (a_{n+1})-f\ (a_{n})\bigg|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\bigg|e^{-\left(n+\frac{1}{4}\right)\pi}\sin\left(n+\frac{1}{4}\right)\pi-e^{-\left(n-\frac{3}{4}\right)\pi}\sin\left(n-\frac{3}{4}\right)\pi\bigg|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{1}{\sqrt2}\left\{e^{-\left(n+\frac{1}{4}\right)\pi}+e^{-\left(n-\frac{3}{4}\right)\pi}\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{1}{\sqrt2}\left(e^{-\frac{\pi}{4}}+e^{\frac{3}{4}\pi}\right)e^{-n\pi}\end{align*}}$ ．
となり、Snは等比数列をなす。
公比は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\lt e^{-\pi}\lt 1\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sum_{n=1}^{\infty}S_n=\frac{1}{\sqrt2}\left(e^{-\frac{\pi}{4}}+e^{\frac{3}{4}\pi}\right)\cdot\frac{e^{-\pi}}{1-e^{-\pi}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{\ \frac{e^{-\frac{\pi}{4}}+e^{\frac{3}{4}\pi}}{\sqrt2\left(e^{\pi}-1\right)}}\end{align*}}$
４が捨て問題なので、これは絶対に落とせない問題です！
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/07(日) 01:03:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .滋賀医科大 2014
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第４問
関数f(x)は導関数f’(x)および第2次導関数f”(x)をもち、
区間0≦x≦1において、
f(x)＞0
{f’(x)}2≦f(x)f”(x)≦2{f’(x)}2
を満たしている。f(0)＝a、f(1)＝bとするとき、
次の不等式を示せ。
(１) $\small\sf{\begin{align*}\sf f\left(\frac{1}{2}\right)\leqq\frac{a+b}{}2\end{align*}}$
(２) $\small\sf{\begin{align*}\sf f\left(\frac{1}{3}\right)\leqq\sqrt[3]{\sf a^2b}\end{align*}}$
(３) $\small\sf{\begin{align*}\sf f\left(\frac{1}{4}\right)\geqq\frac{4ab}{a+3b}\end{align*}}$
(４) $\small\sf{\begin{align*}\sf \int_0^1f\ (x)\ dx\leqq\frac{1}{4}a+\frac{1}{2}\sqrt{ab}+\frac{1}{4}b\end{align*}}$
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
f(x)＞0
{f’(x)}2≦f(x)f”(x)≦2{f’(x)}2 ……(ⅰ)
(１)
題意より
f(x)＞0 かつ 0≦{f’(x)}2≦f(x)f”(x)
なので、
f”(x)≧0 ……(ⅱ)
2点(0，f(0)) 、(1，f(1))を通る直線は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=\left\{f\ (1)-f\ (0)\right\}x+f\ (0)\end{align*}}$
であり、関数F(x)を
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf F\ (x)=\left\{f\ (1)-f\ (0)\right\}x+f\ (0)-f\ (x)\ \ \ \ \left(0\leqq x\leqq 1\right)\end{align*}}$
と定める。F(x)の第1次および第2次導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf F\ '(x)=f\ (1)-f\ (0)-f\ '(x)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf F\ ''(x)=-f\ ''(x)\leqq 0\end{align*}}$ ←(ⅱ)より
となるので、F’(x)は単調に減少する。
F(x)は0≦x≦1において、連続かつ微分可能なので、
平均値の定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf F\ '(c)=\frac{F\ (1)-F\ (0)}{1-0}=0\end{align*}}$
となる、cが0＜c＜1の範囲にただ1つ存在する。
よって、F(x)の増減は次のようになる。
これより、常にF(x)≧0となるので、
0≦x≦1においてf”(x)≧0であるf(x)は、常に
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ (x)\leqq \left\{f\ (1)-f\ (0)\right\} x+f\ (0)\end{align*}}$ ……(#)
を満たす。
(#)にx＝$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\left(\frac{1}{2}\right)\leqq\left\{f\ (1)-f\ (0)\right\}\cdot\frac{1}{2}+f\ (0)=\frac{a+b}{2}\end{align*}}$
となり、題意は示された。
(２)
f(x)＞0より、関数
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g\ (x)=\log f\ (x)\ \ \ \ \left(0\leqq x\leqq 1\right)\end{align*}}$
を定義することができ、第1次および第2次導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g\ '(x)=\frac{f\ '(x)}{f\ (x)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g\ ''(x)=\frac{f\ ''(x)\ f\ (x)-\left\{f\ '(x)\right\}^2}{\left\{f\ (x)\right\}^2}\geqq 0\end{align*}}$ ←(ⅰ)より
となる。
よって、(#)と同様に考えれるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g\ (x)\leqq \left\{g\ (1)-g\ (0)\right\} x+g\ (0)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \log f\ (x)\leqq\left(\log b-\log a\right)x+\log a=\log a^{1-x}b^x\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ f\ (x)\leqq a^{1-x}b^x\ \ \ \ \left(\because e>1\right)\end{align*}}$ ． ……(ⅲ)
これにx＝$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{3}\end{align*}}$ を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\left(\frac{1}{3}\right)\leqq a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{\sf a^2b}\end{align*}}$
となり、題意は示された。
(３)
f(x)＞0より、関数
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf h\ (x)=\frac{1}{f\ (x)}\ \ \ \ \left(0\leqq x\leqq 1\right)\end{align*}}$
を定義することができ、第1次および第2次導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf h\ '(x)=-\frac{f\ '(x)}{\left\{f\ (x)\right\}^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf h\ ''(x)=-\frac{f\ ''(x)\left\{ f\ (x)\right\}^2-f\ '(x)\cdot 2f\ (x)\cdot f\ '(x)}{\left\{f\ (x)\right\}^4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =-\frac{f\ ''(x)\ f\ (x)-2\left\{f\ '(x)\right\}^2}{\left\{f\ (x)\right\}^3}\geqq 0\end{align*}}$ ←(ⅰ)より
となる。
よって、(#)と同様に考えれるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf h\ (x)\leqq \left\{h\ (1)-h\ (0)\right\} x+h\ (0)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{f\ (x)}\leqq\left(\frac{1}{b}-\frac{1}{a}\right)x+\frac{1}{a}\end{align*}}$
これにx＝$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{4}\end{align*}}$ を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (0<)\ \frac{1}{f\left(\frac{1}{4}\right)}\leqq\frac{1}{4}\left(\frac{1}{b}-\frac{1}{a}\right)+\frac{1}{a}=\frac{a+3b}{4ab}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ f\left(\frac{1}{4}\right)\geqq \frac{4ab}{a+3b}\end{align*}}$
となり、題意は示された。
(４)
f(x)＞0より、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_0^1f\ (x)\ dx\end{align*}}$ は右図の
水色部分の面積を表す。
(#)より、水色部分は赤色部分より小さいので、
点Pのx座標をpとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_0^1f\ (x)\ dx\leqq\frac{1}{2}\left\{a+f\ (p)\right\}p+\frac{1}{2}\left\{f\ (p)+b\right\}\left(1-p\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{1}{2}\left\{ap+b\left(1-p\right)+f\ (p)\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \leqq\frac{1}{2}\left\{ap+b\left(1-p\right)+a^{1-p}b^{p}\right\}\end{align*}}$ ←(ⅲ)より
これにp＝$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_0^1f\ (x)\ dx\leqq\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b+a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{1}{4}a+\frac{1}{2}\sqrt{ab}+\frac{1}{4}b\end{align*}}$
となり、題意は示された。
ズバリ捨て問題です！
(１)は丁寧に書いておきまきましたが、f”(x)≧0のとき、
グラフが下に凸になるので、(#)は自明です。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/07(日) 01:04:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .滋賀医科大 2014
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
